The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from its Beginnings es una monografía sobre teoría de conjuntos de Akihiro Kanamori , sobre la historia y la teoría de los grandes cardinales , conjuntos infinitos caracterizados por propiedades tan fuertes que su existencia no puede probarse en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. (ZFC). [1] Este libro fue publicado en 1994 por Springer-Verlag en su serie Perspectives in Mathematical Logic, con una segunda edición en 2003 en su serie Springer Monographs in Mathematics, [2] y una reimpresión en rústica de la segunda edición en 2009 ( ISBN 978-3-540-88866-6 ). [3]
Sin contar el material introductorio y los apéndices, El Infinito Superior consta de seis capítulos , ordenados aproximadamente en orden cronológico según la historia del desarrollo del tema. El autor escribe que eligió este orden "tanto porque proporciona la exposición más coherente de las matemáticas como porque contiene la clave para cualquier preocupación epistemológica". [1] [4]
En el primer capítulo, "Inicios", [4] el material incluye cardenales inaccesibles , cardenales de Mahlo , cardenales mensurables , cardenales compactos y cardenales indescriptibles . El capítulo cubre el universo construible y los modelos internos , las incrustaciones elementales y los ultrapoderes , y el resultado de Dana Scott de que los cardinales mensurables son inconsistentes con el axioma de la constructibilidad . [5] [6]
El segundo capítulo, "Propiedades de partición", [4] incluye el cálculo de partición de Paul Erdős y Richard Rado , árboles y árboles de Aronszajn , el estudio teórico de modelos de cardinales grandes y la existencia del conjunto 0 # de fórmulas verdaderas sobre indiscernibles. . También incluye a los cardenales Jónsson y a los cardenales Rowbottom . [5] [6]
A continuación hay dos capítulos sobre "Forzados y conjuntos de reales" y "Aspectos de la mensurabilidad". [4] El tema principal del primero de estos capítulos es el forzamiento , una técnica introducida por Paul Cohen para demostrar resultados de consistencia e inconsistencia en la teoría de conjuntos; también incluye material en teoría descriptiva de conjuntos . El segundo de estos capítulos cubre la aplicación del forzamiento por parte de Robert M. Solovay para demostrar la consistencia de cardinales mensurables y resultados relacionados utilizando nociones más sólidas de forzamiento. [5]
El capítulo cinco es "Hipótesis fuertes". [4] Incluye material sobre cardenales supercompactos y sus propiedades de reflexión , sobre cardenales enormes , sobre el principio de Vopěnka , [5] sobre cardenales extensibles , sobre cardenales fuertes y sobre cardenales de Woodin . [6] El libro concluye con el capítulo "Determinación", [4] que trata del axioma de la determinabilidad y la teoría de los juegos infinitos. [5] El crítico Frank R. Drake considera este capítulo, y la prueba que en él hace Donald A. Martin del teorema de determinabilidad de Borel , como central para Kanamori, "un triunfo para la teoría que presenta". [7]
Aunque a lo largo del libro aparecen citas que expresan las posiciones filosóficas de los investigadores en esta área, [1] una cobertura más detallada de cuestiones de filosofía de las matemáticas relacionadas con los fundamentos de las matemáticas se remite a un apéndice. [8]
El crítico Pierre Matet escribe que este libro "sin duda servirá durante muchos años como principal referencia para los grandes cardenales", [4] y los críticos Joel David Hamkins , Azriel Lévy y Philip Welch expresan sentimientos similares. [1] [6] [8] Hamkins escribe que el libro está "lleno de información histórica, redacción clara, teoremas interesantes y pruebas elegantes". [1] Debido a que este tema utiliza muchas de las herramientas importantes de la teoría de conjuntos en general, Lévy recomienda el libro "a cualquiera que quiera comenzar a investigar en teoría de conjuntos", [6] y Welch lo recomienda a todas las bibliotecas universitarias. [8]