Cardenal extensible

En matemáticas , los cardinales extensibles son cardinales grandes introducidos por Reinhardt (1974), quien en parte se inspiró en los principios de reflexión . Intuitivamente, un cardinal de este tipo representa un punto más allá del cual las partes iniciales del universo de conjuntos comienzan a verse similares, en el sentido de que cada una es elementalmente integrable en una posterior.

Definición

Para cada ordinal η , un cardinal κ se llama η-extensible si para algún ordinal λ hay una incrustación elemental no trivial j de V _κ+η en V _λ , donde κ es el punto crítico de j , y como es habitual V _α denota el α ésimo nivel de la jerarquía de von Neumann . Un cardinal κ se llama cardinal extensible si es η -extensible para cada ordinal η distinto de cero (Kanamori 2003).

Propiedades

Para un cardinal , digamos que una lógica es -compacta si para cada conjunto de -oraciones, si cada subconjunto de o cardinalidad tiene un modelo, entonces tiene un modelo. (El teorema de compacidad usual muestra la -compacidad de la lógica de primer orden). Sea la lógica infinitaria para la teoría de conjuntos de segundo orden, que permite conjunciones y disyunciones infinitarias de longitud . es extensible si y solo si es -compacta. ^[1] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle <\kappa }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle L_{\kappa }^{2}}$ ${\displaystyle <\kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle L_{\kappa }^{2}}$ ${\displaystyle \kappa }$

Variantes y relación con otros cardenales

Un cardinal κ se llama η-C ⁽ⁿ⁾ -extensible si hay una incrustación elemental j que atestigua que κ es η -extensible (es decir, j es elemental desde V _κ+η hasta algún V _λ con punto crítico κ ) tal que además, V _j(κ) es Σ _n -correcto en V . Es decir, para cada Σ n fórmula φ , φ se cumple en V _j(κ) si y solo si φ se cumple en V . Se dice que un cardinal κ es C ⁽ⁿ⁾ -extensible si es η-C ⁽ⁿ⁾ -extensible para cada ordinal η . Todo cardinal extensible es C ⁽¹⁾ -extensible, pero para n≥1 , el cardinal menos C ⁽ⁿ⁾ -extensible nunca es C ⁽ⁿ⁺¹⁾ -extensible (Bagaria 2011).

El principio de Vopěnka implica la existencia de cardinales extensibles; de hecho, el principio de Vopěnka (para clases definibles) es equivalente a la existencia de cardinales C ⁽ⁿ⁾ -extensibles para todo n (Bagaria 2011). Todos los cardinales extensibles son cardinales supercompactos (Kanamori 2003).

Véase también

• Lista de grandes propiedades cardinales
• Cardenal Reinhardt

Referencias

1. Magidor, M. (1971). "Sobre el papel de los cardinales supercompactos y extensibles en la lógica". Revista israelí de matemáticas . 10 (2): 147–157. doi : 10.1007/BF02771565 .

• Bagaria, Joan (23 de diciembre de 2011). « C ⁽ⁿ⁾ -cardinales ». Archivo de Lógica Matemática . 51 (3–4): 213–240. doi :10.1007/s00153-011-0261-8. S2CID  208867731.
• Friedman, Harvey . "Restricciones y extensiones" (PDF) .
• Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardinales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2.ª ed.). Springer. ISBN 3-540-00384-3.
• Reinhardt, WN (1974), "Observaciones sobre principios de reflexión, grandes cardinales e incrustaciones elementales", Teoría de conjuntos axiomática , Proc. Sympos. Pure Math., vol. XIII, Parte II, Providence, RI: Amer. Math. Soc., págs. 189–205, MR  0401475