El artículo " Sur quelques point d'algèbre homologique " de Alexander Grothendieck , [1] ahora conocido como el artículo de Tôhoku , [2] fue publicado en 1957 en el Tôhoku Mathematical Journal . Revolucionó el tema del álgebra homológica , un aspecto puramente algebraico de la topología algebraica . [3] Eliminó la necesidad de distinguir los casos de módulos sobre un anillo y haces de grupos abelianos sobre un espacio topológico . [4]
El material del artículo data del año que Grothendieck pasó en la Universidad de Kansas en 1955-1956. La investigación allí le permitió poner el álgebra homológica sobre una base axiomática, introduciendo el concepto de categoría abeliana . [5] [6]
En 1956 apareció un libro de texto que trata el álgebra homológica, "Cartan-Eilenberg", en honor a los autores Henri Cartan y Samuel Eilenberg . El trabajo de Grothendieck fue en gran medida independiente de él. Su concepto de categoría abeliana había sido anticipado, al menos parcialmente, por otros. [7] David Buchsbaum en su tesis doctoral escrita bajo la dirección de Eilenberg había introducido una noción de " categoría exacta " cercana al concepto de categoría abeliana (que necesita sólo sumas directas para ser idénticas); y había formulado la idea de " bastantes inyectivas ". [8] El artículo de Tôhoku contiene un argumento para demostrar que una categoría de Grothendieck (un tipo particular de categoría abeliana, cuyo nombre viene más adelante) tiene suficientes inyectivos; el autor indicó que la prueba era de tipo estándar. [9] Al mostrar de esta manera que las categorías de haces de grupos abelianos admitían resoluciones inyectivas , Grothendieck fue más allá de la teoría disponible en Cartan-Eilenberg, para demostrar la existencia de una teoría de cohomología en general. [10]
Después del teorema de Gabriel-Popescu de 1964, se sabía que cada categoría de Grothendieck es una categoría de cociente de una categoría de módulo . [11]
El artículo de Tôhoku también introdujo la secuencia espectral de Grothendieck asociada a la composición de functores derivados . [12] En una mayor reconsideración de los fundamentos del álgebra homológica, Grothendieck introdujo y desarrolló con Jean-Louis Verdier el concepto de categoría derivada . [13] La motivación inicial, como anunció Grothendieck en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1958 , fue formular resultados sobre la dualidad coherente , ahora bajo el nombre de "dualidad de Grothendieck". [14]