Ecuación diofántica

Polynomial equation whose integer solutions are sought

Encontrar todos los triángulos rectángulos con lados de longitudes enteras es equivalente a resolver la ecuación diofántica. ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

En matemáticas , una ecuación diofántica es una ecuación , típicamente una ecuación polinómica con dos o más incógnitas y coeficientes enteros , para la que solo interesan las soluciones enteras . Una ecuación diofántica lineal equivale a una constante, la suma de dos o más monomios , cada uno de grado uno. Una ecuación diofántica exponencial es aquella en la que las incógnitas pueden aparecer en los exponentes .

Los problemas diofánticos tienen menos ecuaciones que incógnitas e implican encontrar números enteros que resuelvan simultáneamente todas las ecuaciones. Como estos sistemas de ecuaciones definen curvas algebraicas , superficies algebraicas o, de manera más general, conjuntos algebraicos , su estudio es una parte de la geometría algebraica que se denomina geometría diofántica .

La palabra diofántico hace referencia al matemático helenístico del siglo III, Diofanto de Alejandría , que realizó un estudio de dichas ecuaciones y fue uno de los primeros matemáticos en introducir el simbolismo en el álgebra . El estudio matemático de los problemas diofánticos que inició Diofanto se denomina ahora análisis diofántico .

Si bien las ecuaciones individuales presentan una especie de rompecabezas y han sido consideradas a lo largo de la historia, la formulación de teorías generales de ecuaciones diofánticas (más allá del caso de ecuaciones lineales y cuadráticas ) fue un logro del siglo XX.

Ejemplos

En las siguientes ecuaciones diofánticas, w, x, y y z son las incógnitas y las otras letras son constantes dadas:

Ecuaciones diofánticas lineales

Una ecuación

La ecuación diofántica lineal más simple tiene la forma donde a , b y c son números enteros. Las soluciones se describen mediante el siguiente teorema: $${\displaystyle ax+by=c,}$$

Esta ecuación diofántica tiene una solución (donde x e y son números enteros) si y solo si c es un múltiplo del máximo común divisor de a y b . Además, si ( x, y ) es una solución, entonces las otras soluciones tienen la forma ( x + kv, y − ku ) , donde k es un número entero arbitrario, y u y v son los cocientes de a y b (respectivamente) por el máximo común divisor de a y b .

Demostración: Si d es este máximo común divisor, la identidad de Bézout afirma la existencia de números enteros e y f tales que ae + bf = d . Si c es un múltiplo de d , entonces c = dh para algún entero h , y ( eh, fh ) es una solución. Por otra parte, para cada par de números enteros x e y , el máximo común divisor d de a y b divide ax + por . Por tanto, si la ecuación tiene solución, entonces c debe ser un múltiplo de d . Si a = ud y b = vd , entonces para cada solución ( x, y ) , tenemos demostrando que ( x + kv, y − ku ) es otra solución. Finalmente, dadas dos soluciones tales que se deduce que Como u y v son coprimos , el lema de Euclides demuestra que v divide a x ₂ − x ₁ , y por tanto que existe un entero k tal que ambos Por tanto, lo que completa la demostración. $${\displaystyle {\begin{aligned}a(x+kv)+b(y-ku)&=ax+by+k(av-bu)\\&=ax+by+k(udv-vdu)\\&=ax+by,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle ax_{1}+by_{1}=ax_{2}+by_{2}=c,}$$ $${\displaystyle u(x_{2}-x_{1})+v(y_{2}-y_{1})=0.}$$ $${\displaystyle x_{2}-x_{1}=kv,\quad y_{2}-y_{1}=-ku.}$$ $${\displaystyle x_{2}=x_{1}+kv,\quad y_{2}=y_{1}-ku,}$$

Teorema del resto chino

El teorema del resto chino describe una clase importante de sistemas diofánticos lineales de ecuaciones: sean k enteros coprimos por pares mayores que uno, k enteros arbitrarios y N el producto de El teorema del resto chino afirma que el siguiente sistema diofántico lineal tiene exactamente una solución tal que 0 ≤ x < N , y que las otras soluciones se obtienen sumando a x un múltiplo de N : ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{k}}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$ ${\displaystyle n_{1}\cdots n_{k}.}$ ${\displaystyle (x,x_{1},\dots ,x_{k})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a_{1}+n_{1}\,x_{1}\\&\;\;\vdots \\x&=a_{k}+n_{k}\,x_{k}\end{aligned}}}$$

Sistema de ecuaciones diofánticas lineales

En términos más generales, cada sistema de ecuaciones diofánticas lineales puede resolverse calculando la forma normal de Smith de su matriz, de una manera similar al uso de la forma escalonada reducida para resolver un sistema de ecuaciones lineales sobre un cuerpo. Usando la notación matricial, cada sistema de ecuaciones diofánticas lineales puede escribirse donde A es una matriz de números enteros de m × n , X es una matriz de incógnitas de n × 1 columnas y C es una matriz de números enteros de m × 1 columnas. $${\displaystyle AX=C,}$$

El cálculo de la forma normal de Smith de A proporciona dos matrices unimodulares (es decir, matrices que son invertibles sobre los enteros y tienen ±1 como determinante) U y V de dimensiones respectivas m × m y n × n , tales que la matriz es tal que b _i,i no es cero para i no mayor que algún entero k , y todas las demás entradas son cero. El sistema a resolver puede entonces reescribirse como Llamando y _i a las entradas de V ⁻¹ X y d _i a las de D = UC , esto conduce al sistema $${\displaystyle B=[b_{i,j}]=UAV}$$ $${\displaystyle B(V^{-1}X)=UC.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&b_{i,i}y_{i}=d_{i},\quad 1\leq i\leq k\\&0y_{i}=d_{i},\quad k<i\leq n.\end{aligned}}}$$

Este sistema es equivalente al dado en el siguiente sentido: Una matriz columna de números enteros x es una solución del sistema dado si y sólo si x = Vy para alguna matriz columna de números enteros y tal que By = D .

De ello se deduce que el sistema tiene solución si y solo si b _i,i divide a d _i para i ≤ k y d _i = 0 para i > k . Si se cumple esta condición, las soluciones del sistema dado son donde h _{k +1} , …, h _n son números enteros arbitrarios. $${\displaystyle V\,{\begin{bmatrix}{\frac {d_{1}}{b_{1,1}}}\\\vdots \\{\frac {d_{k}}{b_{k,k}}}\\h_{k+1}\\\vdots \\h_{n}\end{bmatrix}}\,,}$$

La forma normal de Hermite también puede utilizarse para resolver sistemas de ecuaciones diofánticas lineales. Sin embargo, la forma normal de Hermite no proporciona directamente las soluciones; para obtener las soluciones de la forma normal de Hermite, uno tiene que resolver sucesivamente varias ecuaciones lineales. No obstante, Richard Zippel escribió que la forma normal de Smith "es algo más de lo que realmente se necesita para resolver ecuaciones diofánticas lineales. En lugar de reducir la ecuación a la forma diagonal, solo necesitamos hacerla triangular, lo que se llama la forma normal de Hermite. La forma normal de Hermite es sustancialmente más fácil de calcular que la forma normal de Smith". ^[6]

La programación lineal entera consiste en encontrar algunas soluciones enteras (óptimas en cierto sentido) de sistemas lineales que también incluyen inecuaciones . Por lo tanto, los sistemas de ecuaciones diofánticas lineales son básicos en este contexto, y los libros de texto sobre programación entera suelen incluir un tratamiento de los sistemas de ecuaciones diofánticas lineales. ^[7]

Ecuaciones homogéneas

Una ecuación diofántica homogénea es una ecuación diofántica que se define mediante un polinomio homogéneo . Una ecuación típica de este tipo es la ecuación del último teorema de Fermat.

${\displaystyle x^{d}+y^{d}-z^{d}=0.}$

Como un polinomio homogéneo en n indeterminados define una hipersuperficie en el espacio proyectivo de dimensión n − 1 , resolver una ecuación diofántica homogénea es lo mismo que encontrar los puntos racionales de una hipersuperficie proyectiva.

Resolver una ecuación diofántica homogénea es, en general, un problema muy difícil, incluso en el caso más simple y no trivial de tres indeterminados (en el caso de dos indeterminados, el problema es equivalente a comprobar si un número racional es la d -ésima potencia de otro número racional). Un testigo de la dificultad del problema es el Último Teorema de Fermat (para d > 2 , no hay solución entera de la ecuación anterior), que necesitó más de tres siglos de esfuerzos matemáticos antes de ser resuelto.

Para grados superiores a tres, la mayoría de los resultados conocidos son teoremas que afirman que no hay soluciones (por ejemplo, el último teorema de Fermat) o que el número de soluciones es finito (por ejemplo, el teorema de Falting ).

Para el grado tres, existen métodos de solución generales que funcionan en casi todas las ecuaciones que se encuentran en la práctica, pero no se conoce ningún algoritmo que funcione para todas las ecuaciones cúbicas. ^[8]

Grado dos

Las ecuaciones diofánticas homogéneas de grado dos son más fáciles de resolver. El método de resolución estándar se lleva a cabo en dos pasos. Primero hay que encontrar una solución o demostrar que no hay solución. Cuando se ha encontrado una solución, se deducen todas las soluciones.

Para demostrar que no hay solución, se puede reducir la ecuación módulo p . Por ejemplo, la ecuación diofántica

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=3z^{2},}$

no tiene otra solución que la solución trivial (0, 0, 0) . De hecho, al dividir x, y y z por su máximo común divisor , se puede suponer que son coprimos . Los cuadrados módulo 4 son congruentes con 0 y 1. Por lo tanto, el lado izquierdo de la ecuación es congruente con 0, 1 o 2, y el lado derecho es congruente con 0 o 3. Por lo tanto, la igualdad solo se puede obtener si x, y y z son todos pares y, por lo tanto, no son coprimos. Por lo tanto, la única solución es la solución trivial (0, 0, 0) . Esto demuestra que no hay ningún punto racional en un círculo de radio centrado en el origen. ${\displaystyle {\sqrt {3}},}$

De manera más general, el principio de Hasse permite decidir si una ecuación diofántica homogénea de grado dos tiene una solución entera y calcular una solución si existe.

Si se conoce una solución entera no trivial, se pueden producir todas las demás soluciones de la siguiente manera.

Interpretación geométrica

Dejar

${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

sea ​​una ecuación diofántica homogénea, donde es una forma cuadrática (es decir, un polinomio homogéneo de grado 2), con coeficientes enteros. La solución trivial es la solución donde todos son cero. Si es una solución entera no trivial de esta ecuación, entonces son las coordenadas homogéneas de un punto racional de la hipersuperficie definida por Q . Por el contrario, si son coordenadas homogéneas de un punto racional de esta hipersuperficie, donde son números enteros, entonces es una solución entera de la ecuación diofántica. Además, las soluciones enteras que definen un punto racional dado son todas sucesiones de la forma ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$ ${\textstyle \left({\frac {p_{1}}{q}},\ldots ,{\frac {p_{n}}{q}}\right)}$ ${\displaystyle q,p_{1},\ldots ,p_{n}}$ ${\displaystyle \left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)}$

${\displaystyle \left(k{\frac {p_{1}}{d}},\ldots ,k{\frac {p_{n}}{d}}\right),}$

donde k es cualquier número entero y d es el máximo común divisor del ${\displaystyle p_{i}.}$

De ello se deduce que la solución de la ecuación diofántica se reduce completamente a encontrar los puntos racionales de la hipersuperficie proyectiva correspondiente. ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

Parametrización

Sea ahora una solución entera de la ecuación Como Q es un polinomio de grado dos, una recta que pasa por A corta la hipersuperficie en un único otro punto, que es racional si y sólo si la recta es racional (es decir, si la recta está definida por parámetros racionales). Esto permite parametrizar la hipersuperficie por las rectas que pasan por A , y los puntos racionales son los que se obtienen a partir de rectas racionales, es decir, los que corresponden a valores racionales de los parámetros. ${\displaystyle A=\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$ ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0.}$

Más precisamente, se puede proceder de la siguiente manera.

Permutando los índices, se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que Luego se puede pasar al caso afín considerando la hipersuperficie afín definida por ${\displaystyle a_{n}\neq 0.}$

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=Q(x_{1},\ldots ,x_{n-1},1),}$

que tiene el punto racional

${\displaystyle R=(r_{1},\ldots ,r_{n-1})=\left({\frac {a_{1}}{a_{n}}},\ldots ,{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\right).}$

Si este punto racional es un punto singular , es decir, si todas las derivadas parciales son cero en R , todas las líneas que pasan por R están contenidas en la hipersuperficie y se tiene un cono . El cambio de variables

${\displaystyle y_{i}=x_{i}-r_{i}}$

no cambia los puntos racionales y transforma q en un polinomio homogéneo en n − 1 variables. En este caso, el problema puede resolverse aplicando el método a una ecuación con menos variables.

Si el polinomio q es un producto de polinomios lineales (posiblemente con coeficientes no racionales), entonces define dos hiperplanos . La intersección de estos hiperplanos es un plano racional , y contiene puntos singulares racionales. Este caso es, por tanto, una instancia especial del caso anterior.

En el caso general, considere la ecuación paramétrica de una línea que pasa por R :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=r_{2}+t_{2}(x_{1}-r_{1})\\&\;\;\vdots \\x_{n-1}&=r_{n-1}+t_{n-1}(x_{1}-r_{1}).\end{aligned}}}$

Sustituyendo esto en q , se obtiene un polinomio de grado dos en x ₁ , que es cero para x ₁ = r ₁ . Por lo tanto, es divisible por x ₁ – r ₁ . El cociente es lineal en x ₁ , y se puede resolver para expresar x ₁ como cociente de dos polinomios de grado dos como máximo en con coeficientes enteros: ${\displaystyle t_{2},\ldots ,t_{n-1},}$

${\displaystyle x_{1}={\frac {f_{1}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}}.}$

Sustituyendo esto en las expresiones se obtiene, para i = 1, …, n − 1 , ${\displaystyle x_{2},\ldots ,x_{n-1},}$

${\displaystyle x_{i}={\frac {f_{i}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}},}$

donde son polinomios de grado como máximo dos con coeficientes enteros. ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$

Luego, se puede volver al caso homogéneo. Sea, para i = 1, …, n ,

${\displaystyle F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})=t_{1}^{2}f_{i}\left({\frac {t_{2}}{t_{1}}},\ldots ,{\frac {t_{n-1}}{t_{1}}}\right),}$

sea ​​la homogeneización de Estos polinomios cuadráticos con coeficientes enteros forman una parametrización de la hipersuperficie proyectiva definida por Q : ${\displaystyle f_{i}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=F_{1}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})\\&\;\;\vdots \\x_{n}&=F_{n}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).\end{aligned}}}$

Un punto de la hipersuperficie proyectiva definida por Q es racional si y sólo si puede obtenerse a partir de valores racionales de Como son polinomios homogéneos, el punto no cambia si todos los t _i se multiplican por el mismo número racional. Por lo tanto, se puede suponer que son números enteros coprimos . De ello se deduce que las soluciones enteras de la ecuación diofántica son exactamente las sucesiones donde, para i = 1, ..., n , ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}.}$ ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle x_{i}=k\,{\frac {F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}{d}},}$

donde k es un número entero, son números enteros coprimos y d es el máximo común divisor de los n números enteros ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$ ${\displaystyle F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).}$

Se podría esperar que la coprimalidad de t _i , pudiera implicar que d = 1 . Lamentablemente, este no es el caso, como se muestra en la siguiente sección.

Ejemplo de ternas pitagóricas

La ecuación

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}$

es probablemente la primera ecuación diofántica homogénea de grado dos que se ha estudiado. Sus soluciones son las ternas pitagóricas . Esta es también la ecuación homogénea del círculo unitario . En esta sección, mostramos cómo el método anterior permite recuperar la fórmula de Euclides para generar ternas pitagóricas.

Para obtener exactamente la fórmula de Euclides, partimos de la solución (−1, 0, 1) , correspondiente al punto (−1, 0) del círculo unitario. Una recta que pasa por este punto puede parametrizarse por su pendiente:

${\displaystyle y=t(x+1).}$

Poniendo esto en la ecuación del círculo

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0,}$

Uno consigue

${\displaystyle x^{2}-1+t^{2}(x+1)^{2}=0.}$

Dividiendo por x + 1 , resulta en

${\displaystyle x-1+t^{2}(x+1)=0,}$

que es fácil de resolver en x :

${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.}$

Se deduce lo siguiente

${\displaystyle y=t(x+1)={\frac {2t}{1+t^{2}}}.}$

Homogeneizando como se describe arriba se obtienen todas las soluciones como

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=k\,{\frac {s^{2}-t^{2}}{d}}\\y&=k\,{\frac {2st}{d}}\\z&=k\,{\frac {s^{2}+t^{2}}{d}},\end{aligned}}}$

donde k es cualquier número entero, s y t son números enteros coprimos y d es el máximo común divisor de los tres numeradores. De hecho, d = 2 si s y t son impares, y d = 1 si uno es impar y el otro par.

Las triples primitivas son las soluciones donde k = 1 y s > t > 0 .

Esta descripción de las soluciones difiere ligeramente de la fórmula de Euclides porque la fórmula de Euclides considera solo las soluciones tales que x, y y z son todas positivas, y no distingue entre dos triples que difieren por el intercambio de x e y .

Análisis diofántico

Preguntas típicas

Las preguntas que se plantean en el análisis diofántico incluyen:

1. ¿Existen soluciones?
2. ¿Existen soluciones más allá de algunas que se encuentran fácilmente mediante inspección ?
3. ¿Existen un número finito o infinito de soluciones?
4. ¿Es posible encontrar todas las soluciones en teoría?
5. ¿Se puede en la práctica calcular una lista completa de soluciones?

Estos problemas tradicionales a menudo permanecieron sin solución durante siglos, y los matemáticos gradualmente llegaron a comprender su profundidad (en algunos casos), en lugar de tratarlos como rompecabezas.

Problema típico

La información dada es que la edad de un padre es 1 menos que el doble de la de su hijo, y que los dígitos AB que forman la edad del padre están invertidos en la edad del hijo (es decir, BA ). Esto lleva a la ecuación 10 A + B = 2(10 B + A ) − 1 , por lo tanto 19 B − 8 A = 1 . La inspección da el resultado A = 7 , B = 3 , y por lo tanto AB es igual a 73 años y BA es igual a 37 años. Se puede demostrar fácilmente que no hay otra solución con A y B enteros positivos menores que 10.

Muchos acertijos conocidos en el campo de las matemáticas recreativas conducen a ecuaciones diofánticas. Algunos ejemplos son el problema de la bala de cañón , el problema del ganado de Arquímedes y el problema del mono y los cocos .

Siglos XVII y XVIII

En 1637, Pierre de Fermat garabateó en el margen de su copia de Aritmética : «Es imposible separar un cubo en dos cubos, o una cuarta potencia en dos cuartas potencias, o en general, cualquier potencia mayor que la segunda en dos potencias iguales». Expresado en un lenguaje más moderno, «La ecuación a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ no tiene soluciones para ningún n mayor que 2». A continuación, escribió: «He descubierto una prueba verdaderamente maravillosa de esta proposición, que este margen es demasiado estrecho para contener». Sin embargo, tal prueba eludió a los matemáticos durante siglos, y como tal, su afirmación se hizo famosa como el Último Teorema de Fermat . No fue hasta 1995 que fue demostrada por el matemático británico Andrew Wiles .

En 1657, Fermat intentó resolver la ecuación diofántica 61 x ² + 1 = y ² (resuelta por Brahmagupta más de 1000 años antes). La ecuación fue finalmente resuelta por Euler a principios del siglo XVIII, quien también resolvió varias otras ecuaciones diofánticas. La solución más pequeña de esta ecuación en números enteros positivos es x = 226153980 , y = 1766319049 (véase el método de Chakravala ).

Décimo problema de Hilbert

En 1900, David Hilbert propuso la resolubilidad de todas las ecuaciones diofánticas como el décimo de sus problemas fundamentales . En 1970, Yuri Matiyasevich lo resolvió negativamente, basándose en el trabajo de Julia Robinson , Martin Davis y Hilary Putnam para demostrar que no puede existir un algoritmo general para resolver todas las ecuaciones diofánticas .

Geometría diofántica

La geometría diofántica es la aplicación de técnicas de la geometría algebraica que considera ecuaciones que también tienen un significado geométrico. La idea central de la geometría diofántica es la de un punto racional , es decir, una solución a una ecuación polinómica o un sistema de ecuaciones polinómicas , que es un vector en un cuerpo prescrito K , cuando K no es algebraicamente cerrado .

Investigación moderna

El método general más antiguo para resolver una ecuación diofántica (o para demostrar que no tiene solución) es el método de descenso infinito , introducido por Pierre de Fermat . Otro método general es el principio de Hasse , que utiliza la aritmética modular módulo todos los números primos para hallar las soluciones. A pesar de las numerosas mejoras, estos métodos no pueden resolver la mayoría de las ecuaciones diofánticas.

La dificultad de resolver ecuaciones diofánticas se ilustra con el décimo problema de Hilbert , que fue planteado en 1900 por David Hilbert ; consistía en encontrar un algoritmo para determinar si una ecuación diofántica polinómica dada con coeficientes enteros tiene una solución entera. El teorema de Matiyasevich implica que tal algoritmo no puede existir.

Durante el siglo XX se ha explorado profundamente un nuevo enfoque que consiste en utilizar la geometría algebraica . De hecho, una ecuación diofántica puede considerarse como la ecuación de una hipersuperficie , y las soluciones de la ecuación son los puntos de la hipersuperficie que tienen coordenadas enteras.

Este enfoque condujo finalmente a la demostración por parte de Andrew Wiles en 1994 del Último Teorema de Fermat , enunciado sin prueba alrededor de 1637. Esta es otra ilustración de la dificultad de resolver ecuaciones diofánticas.

Infinitas ecuaciones diofánticas

Un ejemplo de una ecuación diofántica infinita es: que se puede expresar como "¿De cuántas maneras se puede escribir un entero dado n como la suma de un cuadrado más dos veces un cuadrado más tres veces un cuadrado y así sucesivamente?" La cantidad de formas en que esto se puede hacer para cada n forma una secuencia de números enteros. Las ecuaciones diofánticas infinitas están relacionadas con funciones theta y redes de dimensión infinita. Esta ecuación siempre tiene una solución para cualquier n positivo . ^[9] Compárese esto con: que no siempre tiene una solución para n positivo . $${\displaystyle n=a^{2}+2b^{2}+3c^{2}+4d^{2}+5e^{2}+\cdots ,}$$ $${\displaystyle n=a^{2}+4b^{2}+9c^{2}+16d^{2}+25e^{2}+\cdots ,}$$

Ecuaciones diofánticas exponenciales

Si una ecuación diofántica tiene como variable adicional o variables que aparecen como exponentes , se trata de una ecuación diofántica exponencial. Algunos ejemplos son:

• la ecuación de Ramanujan-Nagell , 2 ⁿ − 7 = x ²
• la ecuación de la conjetura de Fermat-Catalan y la conjetura de Beal , a ^m + b ⁿ = c ^k con restricciones de desigualdad en los exponentes
• la ecuación de Erdős-Moser , 1 ^k + 2 ^k + ⋯ + ( m – 1) ^k = m ^k

No existe una teoría general para estas ecuaciones; se han abordado casos particulares como la conjetura de Catalan y el último teorema de Fermat . Sin embargo, la mayoría se resuelven mediante métodos ad hoc como el teorema de Størmer o incluso mediante ensayo y error .

Véase también

• Kuṭṭaka , algoritmo de Aryabhata para resolver ecuaciones diofánticas lineales con dos incógnitas

Notas

1. "Citas de Hardy". Gap.dcs.st-and.ac.uk. Archivado desde el original el 16 de julio de 2012. Consultado el 20 de noviembre de 2012 .
2. Everest, G.; Ward, Thomas (2006), Introducción a la teoría de números, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 232, Springer, pág. 117, ISBN 9781846280443.
3. Wiles, Andrew (1995). "Curvas elípticas modulares y el último teorema de Fermat" (PDF) . Anales de Matemáticas . 141 (3): 443–551. doi :10.2307/2118559. JSTOR  2118559. OCLC  37032255.
4. Elkies, Noam (1988). "Sobre A4 + B4 + C4 = D4" (PDF) . Matemáticas de la computación . 51 (184): 825–835. doi :10.2307/2008781. JSTOR  2008781. MR  0930224.
5. Frye, Roger E. (1988). "Hallazgo de 95800 ⁴ + 217519 ⁴ + 414560 ⁴ = 422481 ⁴ en la máquina de conexión". Actas de Supercomputing 88, vol. II: Ciencia y aplicaciones . págs. 106–116. doi :10.1109/SUPERC.1988.74138.
6. Richard Zippel (1993). Cálculo polinomial eficaz . Springer Science & Business Media. pág. 50. ISBN. 978-0-7923-9375-7.
7. Alexander Bockmayr, Volker Weispfenning (2001). "Resolución de restricciones numéricas". En John Alan Robinson y Andrei Voronkov (ed.). Handbook of Automated Reasoning Volume I. Elsevier y MIT Press. pág. 779. ISBN 0-444-82949-0. (Elsevier) (MIT Press).
8. Kovacic, Jerald (8 de mayo de 1985). "Un algoritmo para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas lineales de segundo orden" (PDF) . Core . Archivado (PDF) del original el 16 de abril de 2019.
9. "A320067 - Oeis".

Referencias

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• Schmidt, Wolfgang M. (1991). Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1467. Berlín: Springer-Verlag . ISBN. 3-540-54058-X.Zbl 0754.11020  .
• Shorey, TN; Tijdeman, R. (1986). Ecuaciones diofánticas exponenciales . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 87. Cambridge University Press . ISBN 0-521-26826-5.Zbl 0606.10011  .
• Smart, Nigel P. (1998). La resolución algorítmica de ecuaciones diofánticas . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 41. Cambridge University Press. ISBN. 0-521-64156-X.Zbl 0907.11001  .
• Stillwell, John (2004). Matemáticas y su historia (segunda edición). Springer Science + Business Media Inc. ISBN 0-387-95336-1.

Lectura adicional

• Bachmakova, Isabelle (1966). "Diofante y Fermat". Revue d'Histoire des Sciences et de Leurs Applications . 19 (4): 289–306. doi :10.3406/rhs.1966.2507. JSTOR  23905707.
• Bashmakova, Izabella G. Diophantus and Diophantine Equations . Moscú: Nauka 1972 [en ruso]. Traducción al alemán: Diophant und diophantische Gleichungen . Birkhauser, Basilea/ Stuttgart, 1974. Traducción al inglés: Diophantus and Diophantine Equations . Traducido por Abe Shenitzer con la asistencia editorial de Hardy Grant y actualizado por Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
• Bashmakova, Izabella G. "Aritmética de curvas algebraicas de Diofanto a Poincaré" Historia Mathematica 8 (1981), 393–416.
• Bashmakova, Izabella G., Slavutin, EI Historia del análisis diofántico desde Diofanto hasta Fermat . Moscú: Nauka 1984 [en ruso].
• Bashmakova, Izabella G. "Ecuaciones diofánticas y la evolución del álgebra", American Mathematical Society Translations 147 (2), 1990, págs. 85-100. Traducido por A. Shenitzer y H. Grant.
• Dickson, Leonard Eugene (2005) [1920]. Historia de la teoría de números . Volumen II: Análisis diofántico . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-44233-4.MR  0245500.Zbl 1214.11002  .​
• Bogdan Grechuk (2024). Ecuaciones diofánticas polinomiales: un enfoque sistemático , Springer.
• Rashed, Roshdi; Houzel, cristiano (2013). Les "Arithmétiques" de Diophante . doi :10.1515/9783110336481. ISBN 978-3-11-033593-4.
• Rashed, Roshdi, Histoire de l'analyse diophantienne classique: D'Abū Kāmil à Fermat , Berlín, Nueva York: Walter de Gruyter.

Enlaces externos

• Ecuación diofántica. De MathWorld en Wolfram Research .
• "Ecuaciones diofánticas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
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