Libro de HSM Coxeter y colegas sobre las estelaciones del icosaedro regular
Diagrama de estelación del icosaedro con el triángulo central marcado para el icosaedro original.
Los cincuenta y nueve icosaedros es un libro escrito e ilustrado por HSM Coxeter , P. Du Val , HT Flather y JF Petrie. En él se enumeran ciertas estelaciones del icosaedro regular convexo o platónico , según un conjunto de reglas propuestas por JCP Miller .
Publicado por primera vez por la Universidad de Toronto en 1938, le siguió una reimpresión de segunda edición por Springer-Verlag en 1982. La tercera edición de Tarquin de 1999 incluyó nuevo material de referencia y fotografías de K. y D. Crennell.
Contribuciones de los autores
Reglas de Miller
Aunque Miller no contribuyó directamente al libro, fue un colega cercano de Coxeter y Petrie. Su contribución está inmortalizada en su conjunto de reglas para definir qué formas de estelación deben considerarse "adecuadamente significativas y distintas": [1]
(i) Las caras deben estar en veinte planos, es decir, los planos delimitadores del icosaedro regular.
(ii) Todas las partes que componen las caras deben ser las mismas en cada plano, aunque puedan estar bastante desconectadas.
(iii) Las partes incluidas en un plano cualquiera deben tener simetría trigonal, con o sin reflexión. Esto garantiza la simetría icosaédrica para todo el sólido.
(iv) Las partes incluidas en cualquier plano deben ser todas "accesibles" en el sólido completo (es decir, deben estar en el "exterior". En ciertos casos, necesitaríamos modelos de un tamaño enorme para poder ver todo el exterior. Con un modelo de tamaño normal, algunas partes del "exterior" sólo podrían ser exploradas por un insecto rastrero).
(v) Excluimos de la consideración los casos en que las partes pueden dividirse en dos conjuntos, cada uno de los cuales da un sólido con tanta simetría como la figura entera. Pero permitimos la combinación de un par enantiomorfo que no tenga ninguna parte común (lo que en realidad ocurre en un solo caso).
Las reglas (i) a (iii) son requisitos de simetría para los planos de las caras. La regla (iv) excluye los agujeros enterrados, para asegurar que no haya dos estelaciones que parezcan idénticas en apariencia. La regla (v) impide cualquier combinación desconectada de estelaciones más simples.
Coxeter
Coxeter fue el principal impulsor del trabajo. Realizó el análisis original basándose en las reglas de Miller, adoptando una serie de técnicas como la combinatoria y la teoría abstracta de grafos, cuyo uso en un contexto geométrico era entonces novedoso.
Observó que el diagrama de estelación comprendía muchos segmentos de línea. Luego desarrolló procedimientos para manipular combinaciones de regiones planas adyacentes, a fin de enumerar formalmente las combinaciones permitidas según las reglas de Miller.
Su gráfico, reproducido aquí, muestra la conectividad de las distintas caras identificadas en el diagrama de estelación (ver más abajo). Los símbolos griegos representan conjuntos de alternativas posibles:
λ puede ser 3 o 4
μ puede ser 7 u 8
ν puede ser 11 o 12
Del Val
Du Val ideó una notación simbólica para identificar conjuntos de celdas congruentes, basándose en la observación de que se encuentran en "capas" alrededor del icosaedro original. Basándose en esto, probó todas las combinaciones posibles con las reglas de Miller, confirmando el resultado del enfoque más analítico de Coxeter.
Más plano
La contribución de Flather fue indirecta: hizo modelos en tarjeta de las 59. Cuando conoció a Coxeter ya había hecho muchas estelaciones, incluyendo algunos ejemplos "no Miller". Continuó completando la serie de cincuenta y nueve, que se conserva en la biblioteca de matemáticas de la Universidad de Cambridge, Inglaterra. La biblioteca también tiene algunos modelos no Miller, pero no se sabe si fueron hechos por Flather o por los estudiantes posteriores de Miller. [2]
Petrie
John Flinders Petrie fue amigo de Coxeter durante toda su vida y poseía una notable capacidad para visualizar la geometría cuatridimensional. Él y Coxeter habían trabajado juntos en muchos problemas matemáticos. Su contribución directa a los cincuenta y nueve icosaedros fue el exquisito conjunto de dibujos tridimensionales que proporciona gran parte de la fascinación de la obra publicada.
Los Crennells
Para la tercera edición, Kate y David Crennell rehicieron el texto y rediseñaron los diagramas. También agregaron una sección de referencia que contenía tablas, diagramas y fotografías de algunos de los modelos de Cambridge (que en ese momento se creía que eran todos de Flather). Las correcciones a esta edición se han publicado en línea. [3]
Lista de los cincuenta y nueve icosaedros
Diagrama de estelación con conjuntos de caras numeradasDiagrama de celdas con notación Du Val para celdas
Antes de Coxeter, solo Brückner y Wheeler habían registrado conjuntos significativos de estelaciones, aunque algunas, como el gran icosaedro, se conocían desde hacía más tiempo. Desde la publicación de The 59 , Wenninger publicó instrucciones para hacer modelos de algunas de ellas; el esquema de numeración utilizado en su libro se ha convertido en una referencia generalizada, aunque solo registró unas pocas estelaciones.
Notas sobre la lista
Los números de índice son de Crennell a menos que se indique lo contrario:
Crennell
En la numeración de índice agregada a la Tercera Edición por los Crennell, las primeras 32 formas (índices 1-32) son modelos reflexivos y las últimas 27 (índices 33-59) son quirales y solo se enumeran las formas diestras. Esto sigue el orden en el que se representan las estelaciones en el libro.
Células
En la notación de Du Val, cada capa se identifica en negrita, de afuera hacia afuera, como a , b , c , ..., h , siendo a el icosaedro original. Algunas capas se subdividen en dos tipos de celdas, por ejemplo, e comprende e 1 y e 2 . El conjunto f 1 se subdivide a su vez en formas dextrógiras e levógiras, respectivamente f 1 (letra simple) y f 1 (cursiva). Cuando una estelación tiene todas las celdas presentes dentro de una capa externa, la capa externa se escribe con mayúscula y la interna se omite, por ejemplo, a + b + c + e 1 se escribe como Ce 1 .
Caras
Todas las estelaciones se pueden especificar mediante un diagrama de estelación . En el diagrama que se muestra aquí, los colores numerados indican las regiones del diagrama de estelación que deben aparecer juntas como un conjunto, si se desea mantener la simetría icosaédrica completa. El diagrama tiene 13 conjuntos de este tipo. Algunos de estos se subdividen en pares quirales (no se muestran), lo que permite estelaciones con simetría rotacional pero no reflexiva. En la tabla, las caras que se ven desde abajo se indican con un apóstrofo, por ejemplo 3 ' .
Wenninger
Los números de índice y los nombres numerados fueron asignados arbitrariamente por el editor de Wenninger de acuerdo con su aparición en su libro Polyhedron models y no guardan relación con ninguna secuencia matemática. Sólo unos pocos de sus modelos eran de icosaedros. Sus nombres se dan en forma abreviada, sin la palabra "... del icosaedro".
Rodador
Wheeler encontró sus figuras, o "formas" del icosaedro, seleccionando segmentos de línea del diagrama de estelación. Distinguió cuidadosamente esto del proceso de estelación clásico de Kepler . Coxeter et al. ignoraron esta distinción y se refirieron a todas ellas como estelaciones.
Bruckner
Max Brückner hizo y fotografió modelos de muchos poliedros, de los cuales sólo unos pocos eran icosaedros. Taf. es una abreviatura de Tafel , que en alemán significa placa .
Observaciones
El número 8 se denomina a veces equidnaedro por su aparente similitud con el oso hormiguero espinoso o equidna . Este uso es independiente de la descripción que Kepler hizo de sus poliedros estelares regulares como sus equidnas .
Tabla de los cincuenta y nueve icosaedros
Algunas imágenes ilustran el icosaedro reflejado con la celda f 1 en lugar de la celda f 1 .
AH Wheeler (1924) "Ciertas formas del icosaedro y un método para derivar y designar poliedros superiores", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos , Toronto, Vol. 1, págs. 701–708.
Enlaces externos
Ejemplo de estelaciones del icosaedro
Las cincuenta y nueve estelaciones del icosaedro regular
