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Ecuaciones de Bargmann-Wigner

En la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos , las ecuaciones de Bargmann-Wigner describen partículas libres con masa distinta de cero y espín arbitrario j , un número entero para bosones ( j = 1, 2, 3 ... ) o medio entero para fermiones ( j = 12 , 32 , 52 ... ). Las soluciones de las ecuaciones son funciones de onda , matemáticamente en forma de campos de espinores multicomponentes .

Llevan el nombre de Valentine Bargmann y Eugene Wigner .

Historia

Paul Dirac publicó por primera vez la ecuación de Dirac en 1928, y más tarde (1936) la extendió a partículas de cualquier espín semientero antes de que Fierz y Pauli encontraran posteriormente las mismas ecuaciones en 1939, y aproximadamente una década antes que Bargman y Wigner. [1] Eugene Wigner escribió un artículo en 1937 sobre representaciones unitarias del grupo no homogéneo de Lorentz , o el grupo de Poincaré . [2] Wigner señala que Ettore Majorana y Dirac utilizaron operadores infinitesimales aplicados a funciones. Wigner clasifica las representaciones como irreducibles, factoriales y unitarias.

En 1948, Valentine Bargmann y Wigner publicaron las ecuaciones que ahora llevan su nombre en un artículo sobre una discusión teórica grupal de ecuaciones de onda relativistas. [3]

Enunciado de las ecuaciones

Para una partícula libre de espín j sin carga eléctrica , las ecuaciones de BW son un conjunto de 2 ecuaciones diferenciales parciales lineales acopladas j , cada una con una forma matemática similar a la ecuación de Dirac . El conjunto completo de ecuaciones es: [nota 1] [1] [4] [5]

que siguen el patrón;

para r = 1, 2, ... 2 j . (Algunos autores, por ejemplo Loide y Saar [4] utilizan n = 2 j para eliminar los factores de 2. Además, el número cuántico de espín suele denotarse por s en mecánica cuántica, sin embargo, en este contexto, j es más típico en la literatura). La función de onda completa ψ = ψ ( r , t ) tiene componentes

y es un campo de espinor de 4 componentes de rango 2 j . Cada índice toma los valores 1, 2, 3 o 4, por lo que hay 4 componentes 2 j de todo el campo de espinor ψ , aunque una función de onda completamente simétrica reduce el número de componentes independientes a 2(2 j + 1) . Además, γ μ = (γ 0 , γ ) son las matrices gamma , y

es el operador de 4 momentos .

El operador que constituye cada ecuación, (−γ μ P μ + mc ) = (− γ μμ + mc ) , es una matriz 4 × 4 , debido a las matrices γ μ , y el término mc multiplica por escalar la matriz identidad 4 × 4 (normalmente no se escribe para simplificar). Explícitamente, en la representación de Dirac de las matrices gamma : [1]

donde σ = (σ 1 , σ 2 , σ 3 ) = (σ x , σ y , σ z ) es un vector de las matrices de Pauli , E es el operador de energía , p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) = ( p x , p y , p z ) es el operador de 3-momento , I 2 denota la matriz identidad 2 × 2 , los ceros (en la segunda línea) son en realidad bloques 2 × 2 de matrices cero .

El operador matricial anterior se contrae con un índice bispinolar de ψ a la vez (ver multiplicación de matrices ), por lo que algunas propiedades de la ecuación de Dirac también se aplican a las ecuaciones de BW:

A diferencia de la ecuación de Dirac, que puede incorporar el campo electromagnético a través del acoplamiento mínimo , el formalismo B–W comprende contradicciones y dificultades intrínsecas cuando se incorpora la interacción del campo electromagnético. En otras palabras, no es posible realizar el cambio P μP μeA μ , donde e es la carga eléctrica de la partícula y A μ = ( A 0 , A ) es el tetra-potencial electromagnético . [6] [7] Un enfoque indirecto para investigar las influencias electromagnéticas de la partícula es derivar las cuatro corrientes electromagnéticas y los momentos multipolares para la partícula, en lugar de incluir las interacciones en las propias ecuaciones de onda. [8] [9]

Estructura del grupo de Lorentz

La representación del grupo de Lorentz para las ecuaciones de BW es [6]

donde cada D r es una representación irreducible. Esta representación no tiene espín definido a menos que j sea igual a 1/2 o 0. Se puede realizar una descomposición de Clebsch-Gordan para encontrar los términos irreducibles ( A , B ) y, por lo tanto, el contenido de espín. Esta redundancia requiere que una partícula de espín definido j que se transforma bajo la representación D BW satisfaga las ecuaciones de campo.

Las representaciones D ( j , 0) y D (0, j ) pueden representar por separado partículas de espín j . Un estado o campo cuántico en una representación de este tipo no satisfaría ninguna ecuación de campo excepto la ecuación de Klein–Gordon.

Formulación en el espacio-tiempo curvo

Siguiendo a M. Kenmoku, [10] en el espacio local de Minkowski, las matrices gamma satisfacen las relaciones de anticonmutación :

donde η ij = diag(−1, 1, 1, 1) es la métrica de Minkowski . Para los índices latinos aquí, i, j = 0, 1, 2, 3. En el espacio-tiempo curvo son similares:

donde las matrices gamma espaciales se contraen con el vierbein b i μ para obtener γ μ = b i μ γ i , y g μν = b i μ b i ν es el tensor métrico . Para los índices griegos; μ, ν = 0, 1, 2, 3 .

Una derivada covariante para los espinores viene dada por

con la conexión Ω dada en términos de la conexión de espín ω por:

La derivada covariante se transforma como ψ :

Con esta configuración, la ecuación ( 1 ) se convierte en:

Véase también

Notas

  1. ^ Este artículo utiliza la convención de suma de Einstein para los índices tensoriales / espinorales y utiliza sombreros para los operadores cuánticos.

Referencias

  1. ^ abc EA Jeffery (1978). "Minimización de componentes de la función de onda de Bargman-Wigner". Revista australiana de física . 31 (2): 137. Código Bibliográfico :1978AuJPh..31..137J. doi : 10.1071/ph780137 .
  2. ^ E. Wigner (1937). "Sobre representaciones unitarias del grupo de Lorentz no homogéneo" (PDF) . Anales de Matemáticas . 40 (1): 149–204. Código Bibliográfico :1939AnMat..40..149W. doi :10.2307/1968551. JSTOR  1968551. S2CID  121773411. Archivado desde el original (PDF) el 2015-10-04 . Consultado el 20 de febrero de 2013 .
  3. ^ Bargmann, V.; Wigner, EP (1948). "Discusión teórica grupal de ecuaciones de onda relativistas". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 34 (5): 211–23. Bibcode :1948PNAS...34..211B. doi : 10.1073/pnas.34.5.211 . PMC 1079095 . PMID  16578292. 
  4. ^ ab RK Loide; I.Ots; R. Saar (2001). "Generalizaciones de la ecuación de Dirac en forma covariante y hamiltoniana". Journal of Physics A . 34 (10): 2031–2039. Bibcode :2001JPhA...34.2031L. doi :10.1088/0305-4470/34/10/307.
  5. ^ H. Shi-Zhong; R. Tu-Nan; W. Ning; Z. Zhi-Peng (2002). "Funciones de onda para partículas con espín arbitrario". Communications in Theoretical Physics . 37 (1): 63. Bibcode :2002CoTPh..37...63H. doi :10.1088/0253-6102/37/1/63. S2CID  123915995. Archivado desde el original el 27 de noviembre de 2012 . Consultado el 17 de septiembre de 2012 .
  6. ^ ab T. Jaroszewicz; PS Kurzepa (1992). "Geometría de la propagación espaciotemporal de partículas giratorias". Anales de Física . 216 (2): 226–267. Código Bibliográfico :1992AnPhy.216..226J. doi :10.1016/0003-4916(92)90176-M.
  7. ^ CR Hagen (1970). "El método Bargmann-Wigner en la relatividad galileana". Communications in Mathematical Physics . 18 (2): 97–108. Bibcode :1970CMaPh..18...97H. doi :10.1007/BF01646089. S2CID  121051722.
  8. ^ Cédric Lorcé (2009). "Propiedades electromagnéticas para partículas de espín arbitrario: Parte 1 − Corriente electromagnética y descomposición multipolar". arXiv : 0901.4199 [hep-ph].
  9. ^ Cédric Lorcé (2009). "Propiedades electromagnéticas para partículas de espín arbitrario: Parte 2 − Momentos naturales y densidades de carga transversal". Physical Review D . 79 (11): 113011. arXiv : 0901.4200 . Código Bibliográfico :2009PhRvD..79k3011L. doi :10.1103/PhysRevD.79.113011. S2CID  17801598.
  10. ^ K. Masakatsu (2012). "Problema de superradiancia de bosones y fermiones para agujeros negros en rotación en la formulación de Bargmann-Wigner". arXiv : 1208.0644 [gr-qc].

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Enlaces externos

Ecuaciones de onda relativistas :

Grupos de Lorentz en la física cuántica relativista: