Ecuación de onda para partículas de espín arbitrario
En la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos , las ecuaciones de Bargmann-Wigner describen partículas libres con masa distinta de cero y espín arbitrario j , un número entero para bosones ( j = 1, 2, 3 ... ) o medio entero para fermiones ( j = 1 ⁄ 2 , 3 ⁄ 2 , 5 ⁄ 2 ... ). Las soluciones de las ecuaciones son funciones de onda , matemáticamente en forma de campos de espinores multicomponentes .
Llevan el nombre de Valentine Bargmann y Eugene Wigner .
Historia
Paul Dirac publicó por primera vez la ecuación de Dirac en 1928, y más tarde (1936) la extendió a partículas de cualquier espín semientero antes de que Fierz y Pauli encontraran posteriormente las mismas ecuaciones en 1939, y aproximadamente una década antes que Bargman y Wigner. [1] Eugene Wigner escribió un artículo en 1937 sobre representaciones unitarias del grupo no homogéneo de Lorentz , o el grupo de Poincaré . [2] Wigner señala que Ettore Majorana y Dirac utilizaron operadores infinitesimales aplicados a funciones. Wigner clasifica las representaciones como irreducibles, factoriales y unitarias.
En 1948, Valentine Bargmann y Wigner publicaron las ecuaciones que ahora llevan su nombre en un artículo sobre una discusión teórica grupal de ecuaciones de onda relativistas. [3]
Enunciado de las ecuaciones
Para una partícula libre de espín j sin carga eléctrica , las ecuaciones de BW son un conjunto de 2 ecuaciones diferenciales parciales lineales acopladas j , cada una con una forma matemática similar a la ecuación de Dirac . El conjunto completo de ecuaciones es: [nota 1] [1] [4] [5]
que siguen el patrón;
para r = 1, 2, ... 2 j . (Algunos autores, por ejemplo Loide y Saar [4] utilizan n = 2 j para eliminar los factores de 2. Además, el número cuántico de espín suele denotarse por s en mecánica cuántica, sin embargo, en este contexto, j es más típico en la literatura). La función de onda completa ψ = ψ ( r , t ) tiene componentes
y es un campo de espinor de 4 componentes de rango 2 j . Cada índice toma los valores 1, 2, 3 o 4, por lo que hay 4 componentes 2 j de todo el campo de espinor ψ , aunque una función de onda completamente simétrica reduce el número de componentes independientes a 2(2 j + 1) . Además, γ μ = (γ 0 , γ ) son las matrices gamma , y
es el operador de 4 momentos .
El operador que constituye cada ecuación, (−γ μ P μ + mc ) = (− iħ γ μ ∂ μ + mc ) , es una matriz 4 × 4 , debido a las matrices γ μ , y el término mc multiplica por escalar la matriz identidad 4 × 4 (normalmente no se escribe para simplificar). Explícitamente, en la representación de Dirac de las matrices gamma : [1]
donde σ = (σ 1 , σ 2 , σ 3 ) = (σ x , σ y , σ z ) es un vector de las matrices de Pauli , E es el operador de energía , p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) = ( p x , p y , p z ) es el operador de 3-momento , I 2 denota la matriz identidad 2 × 2 , los ceros (en la segunda línea) son en realidad bloques 2 × 2 de matrices cero .
El operador matricial anterior se contrae con un índice bispinolar de ψ a la vez (ver multiplicación de matrices ), por lo que algunas propiedades de la ecuación de Dirac también se aplican a las ecuaciones de BW:
- Las ecuaciones son covariantes de Lorentz,
- todos los componentes de las soluciones ψ también satisfacen la ecuación de Klein–Gordon y, por lo tanto, cumplen la relación relativista energía-momento ,
A diferencia de la ecuación de Dirac, que puede incorporar el campo electromagnético a través del acoplamiento mínimo , el formalismo B–W comprende contradicciones y dificultades intrínsecas cuando se incorpora la interacción del campo electromagnético. En otras palabras, no es posible realizar el cambio P μ → P μ − eA μ , donde e es la carga eléctrica de la partícula y A μ = ( A 0 , A ) es el tetra-potencial electromagnético . [6] [7] Un enfoque indirecto para investigar las influencias electromagnéticas de la partícula es derivar las cuatro corrientes electromagnéticas y los momentos multipolares para la partícula, en lugar de incluir las interacciones en las propias ecuaciones de onda. [8] [9]
Estructura del grupo de Lorentz
La representación del grupo de Lorentz para las ecuaciones de BW es [6]
donde cada D r es una representación irreducible. Esta representación no tiene espín definido a menos que j sea igual a 1/2 o 0. Se puede realizar una descomposición de Clebsch-Gordan para encontrar los términos irreducibles ( A , B ) y, por lo tanto, el contenido de espín. Esta redundancia requiere que una partícula de espín definido j que se transforma bajo la representación D BW satisfaga las ecuaciones de campo.
Las representaciones D ( j , 0) y D (0, j ) pueden representar por separado partículas de espín j . Un estado o campo cuántico en una representación de este tipo no satisfaría ninguna ecuación de campo excepto la ecuación de Klein–Gordon.
Formulación en el espacio-tiempo curvo
Siguiendo a M. Kenmoku, [10] en el espacio local de Minkowski, las matrices gamma satisfacen las relaciones de anticonmutación :
donde η ij = diag(−1, 1, 1, 1) es la métrica de Minkowski . Para los índices latinos aquí, i, j = 0, 1, 2, 3. En el espacio-tiempo curvo son similares:
donde las matrices gamma espaciales se contraen con el vierbein b i μ para obtener γ μ = b i μ γ i , y g μν = b i μ b i ν es el tensor métrico . Para los índices griegos; μ, ν = 0, 1, 2, 3 .
Una derivada covariante para los espinores viene dada por
con la conexión Ω dada en términos de la conexión de espín ω por:
La derivada covariante se transforma como ψ :
Con esta configuración, la ecuación ( 1 ) se convierte en:
Véase también
Notas
Referencias
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- ^ E. Wigner (1937). "Sobre representaciones unitarias del grupo de Lorentz no homogéneo" (PDF) . Anales de Matemáticas . 40 (1): 149–204. Código Bibliográfico :1939AnMat..40..149W. doi :10.2307/1968551. JSTOR 1968551. S2CID 121773411. Archivado desde el original (PDF) el 2015-10-04 . Consultado el 20 de febrero de 2013 .
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Lectura adicional
Libros
Artículos seleccionados
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Enlaces externos
Ecuaciones de onda relativistas :
- Matrices de Dirac en dimensiones superiores, Proyecto de Demostraciones Wolfram
- Aprendiendo sobre los campos de espín 1, P. Cahill, K. Cahill, Universidad de Nuevo México [ enlace muerto permanente ]
- Ecuaciones de campo para bosones sin masa a partir de un formalismo de Dirac-Weinberg, RW Davies, KTR Davies, P. Zory, DS Nydick, American Journal of Physics
- Teoría cuántica de campos I, Martin Mojžiš Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
- La ecuación de Bargmann-Wigner: ecuación de campo para espín arbitrario, FarzadQassemi, IPM School and Workshop on Cosmology, IPM, Teherán, Irán
Grupos de Lorentz en la física cuántica relativista:
- Representaciones del grupo de Lorentz, indiana.edu
- Apéndice C: El grupo de Lorentz y el álgebra de Dirac, mcgill.ca [ enlace muerto permanente ]
- El grupo de Lorentz, partículas relativistas y mecánica cuántica, DE Soper, Universidad de Oregon, 2011
- Representaciones de los grupos de Lorentz y Poincaré, J. Maciejko, Universidad de Stanford
- Representaciones del grupo de simetría del espacio-tiempo, K. Drake, M. Feinberg, D. Guild, E. Turetsky, 2009