Ecuación de onda acústica

Ecuación para la propagación de ondas sonoras a través de un medio

En física , la ecuación de onda acústica es una ecuación diferencial parcial de segundo orden que rige la propagación de ondas acústicas a través de un medio material o de un campo de ondas estacionarias . La ecuación describe la evolución de la presión acústica p o la velocidad de la partícula u en función de la posición x y el tiempo t . Una forma simplificada (escalar) de la ecuación describe las ondas acústicas en una sola dimensión espacial, mientras que una forma más general describe las ondas en tres dimensiones.

En el caso de los medios con pérdidas, es necesario aplicar modelos más complejos para tener en cuenta la atenuación dependiente de la frecuencia y la velocidad de fase. Dichos modelos incluyen ecuaciones de ondas acústicas que incorporan términos de derivadas fraccionarias ; consulte también el artículo sobre atenuación acústica o el artículo de la encuesta. ^[1]

Definición en una dimensión

La ecuación de onda que describe un campo de ondas estacionarias en una dimensión (posición ) es ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle p_{xx}-{\frac {1}{c^{2}}}p_{tt}=0,}$$

¿Dónde está la presión acústica (la desviación local de la presión ambiental) y dónde está la velocidad del sonido ? ^[2] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle c}$

Derivación

Empecemos con la ley de los gases ideales

${\displaystyle P=\rho R_{\text{specific}}T,}$

donde la temperatura absoluta del gas y la constante específica del gas son . Entonces, suponiendo que el proceso es adiabático , la presión puede considerarse una función de la densidad . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R_{\text{specific}}}$ ${\displaystyle P(\rho )}$ ${\displaystyle \rho }$

Derivación de la ecuación de onda acústica

La conservación de la masa y la conservación del momento se pueden escribir como un sistema cerrado de dos ecuaciones ^[3] Este sistema acoplado de dos leyes de conservación no lineales se puede escribir en forma vectorial como: con $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{t}+(\rho u)_{x}&=0,\\(\rho u)_{t}+(\rho u^{2}+P(\rho ))_{x}&=0.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle q_{t}+f(q)_{x}=0,}$$ $${\displaystyle q={\begin{bmatrix}\rho \\\rho u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}q_{(1)}\\q_{(2)}\end{bmatrix}},\quad f(q)={\begin{bmatrix}\rho u\\\rho u^{2}+P(\rho )\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}q_{(2)}\\q_{(2)}^{2}/q_{(1)}+P(q_{(1)})\end{bmatrix}}.}$$

Para linealizar esta ecuación, sea ^[4] donde es el estado de fondo (constante) y es una perturbación suficientemente pequeña, es decir, se pueden descartar todas las potencias o productos de. Por lo tanto, la expansión de Taylor de da: donde Esto da como resultado la ecuación linealizada Del mismo modo, pequeñas perturbaciones de los componentes de se pueden reescribir como: de modo que las perturbaciones de presión y se relacionan con las perturbaciones de densidad como: de modo que: donde es una constante, lo que da como resultado la forma alternativa de las ecuaciones acústicas lineales: donde es el módulo volumétrico de compresibilidad. Después de eliminar la tilde por conveniencia, el sistema lineal de primer orden se puede escribir como: Si bien, en general, es posible una velocidad de fondo distinta de cero (por ejemplo, al estudiar la propagación del sonido en un viento de fuerza constante), se supondrá que . Luego, el sistema lineal se reduce a la ecuación de onda de segundo orden: con la velocidad del sonido . $${\displaystyle q(x,t)=q_{0}+{\tilde {q}}(x,t),}$$ ${\displaystyle q_{0}=(\rho _{0},\rho _{0}u_{0})}$ ${\displaystyle {\tilde {q}}}$ ${\displaystyle {\tilde {q}}}$ ${\displaystyle f(q)}$ $${\displaystyle f(q_{0}+{\tilde {q}})\approx f(q_{0})+f'(q_{0}){\tilde {q}}}$$ $${\displaystyle f'(q)={\begin{bmatrix}\partial f_{(1)}/\partial q_{(1)}&\partial f_{(1)}/\partial q_{(2)}\\\partial f_{(2)}/\partial q_{(1)}&\partial f_{(2)}/\partial q_{(2)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-u^{2}+P'(\rho )&2u\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle {\tilde {q}}_{t}+f'(q_{0}){\tilde {q}}_{x}=0\quad \Leftrightarrow \quad {\begin{aligned}{\tilde {\rho }}_{t}+({\widetilde {\rho u}})_{x}&=0\\({\widetilde {\rho u}})_{t}+(-u_{0}^{2}+P'(\rho _{0})){\tilde {\rho }}_{x}+2u_{0}({\widetilde {\rho u}})_{x}&=0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle \rho u=(\rho _{0}+{\tilde {\rho }})(u_{0}+{\tilde {u}})=\rho _{0}u_{0}+{\tilde {\rho }}u_{0}+\rho _{0}{\tilde {u}}+{\tilde {\rho }}{\tilde {u}}}$$ $${\displaystyle {\widetilde {\rho u}}\approx {\tilde {\rho }}u_{0}+\rho _{0}{\tilde {u}},}$$ $${\displaystyle p=p_{0}+{\tilde {p}}=P(\rho _{0}+{\tilde {\rho }})=P(\rho _{0})+P'(\rho _{0}){\tilde {\rho }}+\dots }$$ $${\displaystyle p_{0}=P(\rho _{0}),\quad {\tilde {p}}\approx P'(\rho _{0}){\tilde {\rho }},}$$ ${\displaystyle P'(\rho _{0})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {p}}_{t}+u_{0}{\tilde {p}}_{x}+K_{0}{\tilde {u}}_{x}&=0,\\\rho _{0}{\tilde {u}}_{t}+{\tilde {p}}_{x}+\rho _{0}u_{0}{\tilde {u}}_{x}&=0.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle K_{0}=\rho _{0}P'(\rho _{0})}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}p\\u\end{bmatrix}}_{t}+{\begin{bmatrix}u_{0}&K_{0}\\1/\rho _{0}&u_{0}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p\\u\end{bmatrix}}_{x}=0.}$$ ${\displaystyle u_{0}=0}$ $${\displaystyle p_{tt}=-K_{0}u_{xt}=-K_{0}u_{tx}=K_{0}\left({\frac {1}{\rho _{0}}}p_{x}\right)_{x}=c_{0}^{2}p_{xx},}$$ ${\displaystyle c_{0}={\sqrt {K_{0}/\rho _{0}}}}$

Por lo tanto, la ecuación acústica se puede derivar de un sistema de ecuaciones de advección de primer orden que se derivan directamente de la física, es decir, las primeras integrales : con Por el contrario, dada la ecuación de segundo orden , se puede derivar un sistema de primer orden: con donde la matriz y son similares . ^[5] $${\displaystyle q_{t}+Aq_{x}=0,}$$ $${\displaystyle q={\begin{bmatrix}p\\u\end{bmatrix}},\quad A={\begin{bmatrix}0&K_{0}\\1/\rho _{0}&0\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle p_{tt}=c_{0}^{2}p_{xx}}$ $${\displaystyle q_{t}+{\hat {A}}q_{x}=0,}$$ $${\displaystyle q={\begin{bmatrix}p_{t}\\-p_{x}\end{bmatrix}},\quad {\hat {A}}={\begin{bmatrix}0&c_{0}^{2}\\1&0\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

Solución

Siempre que la velocidad sea constante, no dependiente de la frecuencia (el caso sin dispersión), entonces la solución más general es ${\displaystyle c}$

${\displaystyle p=f(ct-x)+g(ct+x)}$

donde y son dos funciones dos veces diferenciables. Esto puede representarse como la superposición de dos formas de onda de perfil arbitrario, una ( ) que viaja hacia arriba por el eje x y la otra ( ) que viaja hacia abajo por el eje x a la velocidad . El caso particular de una onda sinusoidal que viaja en una dirección se obtiene eligiendo que o sea una sinusoide y que la otra sea cero, lo que da ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle p=p_{0}\sin(\omega t\mp kx)}$.

donde es la frecuencia angular de la onda y es su número de onda . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$

En tres dimensiones

Ecuación

Feynman ^[6] proporciona una derivación de la ecuación de onda para el sonido en tres dimensiones como

${\displaystyle \nabla ^{2}p-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0,}$

donde es el operador de Laplace , es la presión acústica (la desviación local de la presión ambiental) y es la velocidad del sonido . ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle c}$

Una ecuación de onda de aspecto similar pero para la velocidad de la partícula del campo vectorial viene dada por

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {u} \;-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {u} \; \over \partial t^{2}}=0}$.

En algunas situaciones, es más conveniente resolver la ecuación de onda para un potencial de velocidad de campo escalar abstracto que tiene la forma

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\Phi \over \partial t^{2}}=0}$

y luego derivar las cantidades físicas velocidad de partículas y presión acústica mediante las ecuaciones (o definición, en el caso de la velocidad de partículas):

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \Phi \;}$,

${\displaystyle p=-\rho {\partial \over \partial t}\Phi }$.

Solución

Las siguientes soluciones se obtienen por separación de variables en diferentes sistemas de coordenadas. Son soluciones fasoriales , es decir, tienen un factor implícito de dependencia temporal de donde es la frecuencia angular . La dependencia temporal explícita viene dada por ${\displaystyle e^{i\omega t}}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$

${\displaystyle p(r,t,k)=\operatorname {Real} \left[p(r,k)e^{i\omega t}\right]}$

Aquí está el número de onda . ${\displaystyle k=\omega /c\ }$

Coordenadas cartesianas

${\displaystyle p(r,k)=Ae^{\pm ikr}}$.

Coordenadas cilíndricas

${\displaystyle p(r,k)=AH_{0}^{(1)}(kr)+\ BH_{0}^{(2)}(kr)}$.

donde las aproximaciones asintóticas a las funciones de Hankel , cuando , son ${\displaystyle kr\rightarrow \infty }$

${\displaystyle H_{0}^{(1)}(kr)\simeq {\sqrt {\frac {2}{\pi kr}}}e^{i(kr-\pi /4)}}$

${\displaystyle H_{0}^{(2)}(kr)\simeq {\sqrt {\frac {2}{\pi kr}}}e^{-i(kr-\pi /4)}}$.

Coordenadas esféricas

${\displaystyle p(r,k)={\frac {A}{r}}e^{\pm ikr}}$.

Dependiendo de la convención de Fourier elegida, una de ellas representa una onda que se propaga hacia afuera y la otra una onda que se propaga hacia adentro de forma no física. La onda que se propaga hacia adentro es no física solo debido a la singularidad que ocurre en r=0; las ondas que se propagan hacia adentro existen.

Véase también

• Acústica
• Atenuación acústica
• Teoría acústica
• Ecuación de onda
• Ecuación de onda unidireccional
• Ecuaciones diferenciales
• Termodinámica
• Dinámica de fluidos
• Presión
• Ley de los gases ideales

Notas

1. SP Näsholm y S. Holm, "Sobre una ecuación de onda elástica Zener fraccionaria", Fract. Calc. Appl. Anal. Vol. 16, N.º 1 (2013), págs. 26-50, DOI: 10.2478/s13540-013--0003-1 Enlace a la versión impresa
2. Richard Feynman , Lectures in Physics, Volumen 1, Capítulo 47: Sonido. La ecuación de onda, Caltech 1963, 2006, 2013
3. LeVeque 2002, pág. 26.
4. LeVeque 2002, págs. 27-28.
5. LeVeque 2002, pág. 33.
6. Richard Feynman , Conferencias de física, Volumen 1, 1969, Addison Publishing Company, Addison

Referencias

• LeVeque, Randall J. (2002). Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos . Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511791253. ISBN 978-0-521-81087-6.