Dominio de prueba

En matemáticas , un dominio de Prüfer es un tipo de anillo conmutativo que generaliza los dominios de Dedekind en un contexto no noetheriano . Estos anillos poseen las propiedades ideales y teóricas de módulos de los dominios de Dedekind, pero normalmente solo para módulos finitamente generados . Los dominios de Prüfer reciben su nombre del matemático alemán Heinz Prüfer .

Ejemplos

El anillo de funciones enteras en el plano complejo abierto forma un dominio de Prüfer. El anillo de polinomios de valores enteros con coeficientes racionales es un dominio de Prüfer, aunque el anillo de polinomios enteros no lo es (Narkiewicz 1995, p. 56). Mientras que cada anillo de números es un dominio de Dedekind , su unión, el anillo de enteros algebraicos , es un dominio de Prüfer. Así como un dominio de Dedekind es localmente un anillo de valuación discreto , un dominio de Prüfer es localmente un anillo de valuación , de modo que los dominios de Prüfer actúan como análogos no noetherianos de los dominios de Dedekind. De hecho, un dominio que es el límite directo de subanillos que son dominios de Prüfer es un dominio de Prüfer (Fuchs & Salce 2001, pp. 93–94). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

Muchos dominios de Prüfer son también dominios de Bézout , es decir, no sólo son proyectivos los ideales finitamente generados , sino que incluso son libres (es decir, principales ). Por ejemplo, el anillo de funciones analíticas en cualquier superficie de Riemann no compacta es un dominio de Bézout (Helmer 1940), y el anillo de números enteros algebraicos es un dominio de Bézout.

Definiciones

Un dominio de Prüfer es un dominio integral semihereditario . De manera equivalente, un dominio de Prüfer puede definirse como un anillo conmutativo sin divisores de cero en el que todo ideal finitamente generado distinto de cero es invertible. Se conocen muchas caracterizaciones diferentes de los dominios de Prüfer. Bourbaki enumera catorce de ellos, (Gilmer 1972) tiene alrededor de cuarenta y (Fontana, Huckaba y Papick 1997, p. 2) comienzan con nueve.

A modo de ejemplo, las siguientes condiciones en un dominio integral R son equivalentes a que R sea un dominio de Prüfer, es decir, todo ideal finitamente generado de R es proyectivo :

Aritmética ideal

• Todo ideal I de R finitamente generado distinto de cero es invertible : es decir , donde y es el campo de fracciones de R. De manera equivalente, todo ideal distinto de cero generado por dos elementos es invertible. ${\displaystyle \ I\cdot I^{-1}=R}$ ${\displaystyle I^{-1}=\{r\in q(R):rI\subseteq R\}}$ ${\displaystyle q(R)}$
• Para cualquier ideal distinto de cero (finitamente generado) I , J , K de R , se cumple la siguiente propiedad de distributividad:

${\displaystyle I\cap (J+K)=(I\cap J)+(I\cap K).}$

• Para cualquier ideal (finitamente generado) I , J , K de R , se cumple la siguiente propiedad de distributividad:

${\displaystyle I(J\cap K)=IJ\cap IK.}$

• Para cualquier ideal distinto de cero (finitamente generado) I , J de R , se cumple la siguiente propiedad:

${\displaystyle (I+J)(I\cap J)=IJ.}$

• Para cualesquiera ideales finitamente generados I , J , K de R , si IJ = IK entonces J = K o I = 0.

Localizaciones

• Para cada ideal primo P de R , la localización R _P de R en P es un dominio de valoración .
• Para cada ideal máximo m en R , la localización R _m de R en m es un dominio de valoración.
• R está integralmente cerrado y cada anillo superior de R (es decir, un anillo contenido entre R y su cuerpo de fracciones) es la intersección de las localizaciones de R

Llanura

• Cada módulo R libre de torsión es plano .
• Todo módulo R sin torsión es plano.
• Todo ideal de R es plano
• Cada anillo superior de R es R -bemol
• Cada submódulo de un módulo R plano es plano.
• Si M y N son módulos R libres de torsión , entonces su producto tensorial M  ⊗ _R  N es libre de torsión.
• Si I y J son dos ideales de R entonces I  ⊗ _R  J está libre de torsión.
• El submódulo de torsión de cada módulo generado finitamente es un sumando directo (Kaplansky 1960).

Cierre integral

• Cada anillo superior está integralmente cerrado ${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle R}$es integralmente cerrado y hay algún entero positivo tal que para cada , en uno tiene . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (a,b)^{n}=(a^{n},b^{n})}$
• ${\displaystyle R}$es integralmente cerrado y cada elemento del campo cociente de es una raíz de un polinomio en cuyos coeficientes se generan como un -módulo (Gilmer y Hoffmann 1975, p. 81). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Propiedades

• Un anillo conmutativo es un dominio de Dedekind si y solo si es un dominio de Prüfer y noetheriano .
• Aunque los dominios de Prüfer no necesitan ser noetherianos, deben ser coherentes , ya que los módulos proyectivos generados finitamente están finitamente relacionados .
• Aunque los ideales de los dominios de Dedekind pueden ser generados por dos elementos, para cada entero positivo n , hay dominios de Prüfer con ideales finitamente generados que no pueden ser generados por menos de n elementos (Swan 1984). Sin embargo, los ideales maximales finitamente generados de los dominios de Prüfer son de dos generaciones (Fontana, Huckaba y Papick 1997, p. 31).
• Si R es un dominio de Prüfer y K es su campo de fracciones , entonces cualquier anillo S tal que R ⊆ S ⊆ K es un dominio de Prüfer.
• Si R es un dominio de Prüfer, K es su campo de fracciones y L es un campo de extensión algebraica de K , entonces el cierre integral de R en L es un dominio de Prüfer (Fuchs y Salce 2001, p. 93).
• Un módulo M finitamente generado sobre un dominio de Prüfer es proyectivo si y solo si está libre de torsión. De hecho, esta propiedad caracteriza a los dominios de Prüfer.
• (Teorema de Gilmer-Hoffmann) Supóngase que es un dominio integral, su cuerpo de fracciones, y es la clausura integral de en . Entonces es un dominio de Prüfer si y solo si cada elemento de es una raíz de un polinomio en al menos uno de cuyos coeficientes es una unidad de (Gilmer y Hoffmann 1975, Teorema 2). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle R}$
• Un dominio conmutativo es un dominio de Dedekind si y solo si el submódulo de torsión es un sumando directo siempre que esté acotado ( M está acotado significa rM = 0 para algún r en R ), (Chase 1960). De manera similar, un dominio conmutativo es un dominio de Prüfer si y solo si el submódulo de torsión es un sumando directo siempre que esté finitamente generado (Kaplansky 1960).

Generalizaciones

De manera más general, un anillo de Prüfer es un anillo conmutativo en el que cada ideal finitamente generado distinto de cero que contiene un divisor distinto de cero es invertible (es decir, proyectivo).

Se dice que un anillo conmutativo es aritmético si para cada ideal maximalista m en R , la localización R _m de R en m es un anillo de cadena . Con esta definición, un dominio de Prüfer es un dominio aritmético. De hecho, un dominio aritmético es lo mismo que un dominio de Prüfer.

Los dominios semihereditarios derechos o izquierdos no conmutativos también podrían considerarse como generalizaciones de los dominios de Prüfer.

Véase también

• Dominio dividido

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1998) [1989], Álgebra conmutativa. Capítulos 1–7 , Elements of Mathematics (Berlín), Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64239-0
• Chase, Stephen U. (1960), "Productos directos de módulos", Transactions of the American Mathematical Society , 97 (3): 457–473, doi : 10.2307/1993382 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1993382, MR  0120260
• Fontana, Marco; Huckaba, James A.; Papick, Ira J. (1997), Dominios de Prüfer , Monografías y libros de texto en matemáticas puras y aplicadas, vol. 203, Nueva York: Marcel Dekker Inc., ISBN 978-0-8247-9816-1, Sr.  1413297
• Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Módulos sobre dominios no noetherianos , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 84, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1963-0, Sr.  1794715
• Gilmer, Robert (1972), Teoría ideal multiplicativa , Nueva York: Marcel Dekker Inc., MR  0427289
• Gilmer, Robert; Hoffmann, Joseph F. (1975), "Una caracterización de los dominios de Prüfer en términos de polinomios", Pacific J. Math. , 60 (1): 81–85, doi : 10.2140/pjm.1975.60.81 , ISSN  0030-8730, MR  0412175.
• Helmer, Olaf (1940), "Propiedades de divisibilidad de funciones integrales", Duke Mathematical Journal , 6 (2): 345–356, doi :10.1215/S0012-7094-40-00626-3, ISSN  0012-7094, MR  0001851
• Kaplansky, Irving (1960), "Una caracterización de los anillos de Prufer", J. Indian Math. Soc. , New Series, 24 : 279–281, MR  0125137
• Lam, TY (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.º 189, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98428-3
• Narkiewicz, Władysław (1995), Asignaciones polinomiales , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1600, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-59435-2, Zbl  0829.11002
• Swan, Richard G. (1984), "Ideales de n-generadores en dominios de Prüfer", Pacific Journal of Mathematics , 111 (2): 433–446, doi : 10.2140/pjm.1984.111.433 , ISSN  0030-8730, MR  0734865