En matemáticas , un grupo diedro es el grupo de simetrías de un polígono regular , [1] [2] que incluye rotaciones y reflexiones . Los grupos diedros se encuentran entre los ejemplos más simples de grupos finitos y desempeñan un papel importante en la teoría de grupos y la geometría .
La notación para el grupo diedro difiere en geometría y álgebra abstracta . En geometría , D n o Dih n se refiere a las simetrías del n -gono , un grupo de orden 2 n . En álgebra abstracta , D 2 n se refiere a este mismo grupo diedro. [3] Este artículo utiliza la convención geométrica, D n .
La palabra diedro proviene de di- y -hedron. Este último proviene del griego hédra, que significa "cara de un cuerpo geométrico". En general, se refiere a las dos caras de un polígono.
Un polígono regular con lados tiene diferentes simetrías: simetrías rotacionales y simetrías de reflexión . Generalmente, tomamos aquí. Las rotaciones y reflexiones asociadas forman el grupo diedro . Si es impar, cada eje de simetría conecta el punto medio de un lado con el vértice opuesto. Si es par, hay ejes de simetría que conectan los puntos medios de lados opuestos y ejes de simetría que conectan vértices opuestos. En cualquier caso, hay ejes de simetría y elementos en el grupo de simetría. [4] La reflexión en un eje de simetría seguida de la reflexión en otro eje de simetría produce una rotación a través del doble del ángulo entre los ejes. [5]
Como sucede con cualquier objeto geométrico, la composición de dos simetrías de un polígono regular es a su vez una simetría de este objeto. Con la composición de simetrías para producir otra como operación binaria, esto da a las simetrías de un polígono la estructura algebraica de un grupo finito . [6]
La siguiente tabla de Cayley muestra el efecto de la composición en el grupo D 3 (las simetrías de un triángulo equilátero ). r 0 denota la identidad; r 1 y r 2 denotan rotaciones en sentido antihorario de 120° y 240° respectivamente, y s 0 , s 1 y s 2 denotan reflexiones a través de las tres líneas que se muestran en la imagen adyacente.
Por ejemplo, s 2 s 1 = r 1 , porque la reflexión s 1 seguida de la reflexión s 2 da como resultado una rotación de 120°. El orden de los elementos que denotan la composición es de derecha a izquierda, lo que refleja la convención de que el elemento actúa sobre la expresión a su derecha. La operación de composición no es conmutativa . [6]
En general, el grupo D n tiene elementos r 0 , ..., r n −1 y s 0 , ..., s n −1 , con composición dada por las siguientes fórmulas:
En todos los casos, la suma y resta de subíndices se deben realizar utilizando aritmética modular con módulo n .
Si centramos el polígono regular en el origen, entonces los elementos del grupo diedro actúan como transformaciones lineales del plano . Esto nos permite representar elementos de D n como matrices , siendo la composición la multiplicación de matrices . Este es un ejemplo de una representación de grupo (bidimensional) .
Por ejemplo, los elementos del grupo D 4 pueden representarse mediante las siguientes ocho matrices:
En general, las matrices para elementos de D n tienen la siguiente forma:
r k es una matriz de rotación , que expresa una rotación en sentido antihorario a través de un ángulo de 2 πk / n . s k es una reflexión a través de una línea que forma un ángulo de πk / n con el eje x .
D n también se puede definir como el grupo con presentación
Usando la relación , obtenemos la relación . Se deduce que se genera por y . Esta sustitución también muestra que tiene la presentación
En particular, D n pertenece a la clase de grupos de Coxeter .
D 1 es isomorfo a Z 2 , el grupo cíclico de orden 2.
D 2 es isomorfo a K 4 , el cuatro-grupo de Klein .
Los modelos D 1 y D 2 son excepcionales porque:
Los gráficos de ciclos de los grupos diedros consisten en un ciclo de n elementos y n ciclos de 2 elementos. El vértice oscuro en los gráficos de ciclos a continuación de varios grupos diedros representa el elemento identidad, y los otros vértices son los otros elementos del grupo. Un ciclo consiste en potencias sucesivas de cualquiera de los elementos conectados al elemento identidad .
Un ejemplo de grupo abstracto D n , y una forma común de visualizarlo, es el grupo de isometrías del plano euclidiano que mantienen fijo el origen. Estos grupos forman una de las dos series de grupos de puntos discretos en dos dimensiones . D n consiste en n rotaciones de múltiplos de 360°/ n alrededor del origen, y reflexiones a través de n líneas a través del origen, formando ángulos de múltiplos de 180°/ n entre sí. Este es el grupo de simetría de un polígono regular con n lados (para n ≥ 3 ; esto se extiende a los casos n = 1 y n = 2 donde tenemos un plano con respectivamente un punto desplazado del "centro" del "1-gono" y un "2-gono" o segmento de línea).
D n se genera por una rotación r de orden n y una reflexión s de orden 2 tal que
En términos geométricos: en el espejo una rotación parece una rotación inversa.
En términos de números complejos : multiplicación por y conjugación compleja .
En forma matricial, estableciendo
y definiendo y para podemos escribir las reglas del producto para D n como
(Compare rotaciones de coordenadas y reflexiones ).
El grupo diedro D 2 se genera por la rotación r de 180 grados y la reflexión s a través del eje x . Los elementos de D 2 pueden entonces representarse como {e, r, s, rs}, donde e es la identidad o transformación nula y rs es la reflexión a través del eje y .
D 2 es isomorfo al cuatro-grupo de Klein .
Para n > 2 las operaciones de rotación y reflexión en general no conmutan y D n no es abeliano ; por ejemplo, en D 4 , una rotación de 90 grados seguida de una reflexión produce un resultado diferente de una reflexión seguida de una rotación de 90 grados.
Así, más allá de su obvia aplicación a problemas de simetría en el plano, estos grupos se encuentran entre los ejemplos más simples de grupos no abelianos y, como tales, surgen con frecuencia como contraejemplos fáciles de teoremas que están restringidos a los grupos abelianos.
Los 2 n elementos de D n se pueden escribir como e , r , r 2 , ... , r n −1 , s , rs , r 2 s , ... , r n −1 s . Los primeros n elementos enumerados son rotaciones y los n elementos restantes son reflexiones de eje (todos los cuales tienen orden 2). El producto de dos rotaciones o dos reflexiones es una rotación; el producto de una rotación y una reflexión es una reflexión.
Hasta ahora, hemos considerado que D n es un subgrupo de O(2) , es decir, el grupo de rotaciones (alrededor del origen) y reflexiones (a través de ejes que pasan por el origen) del plano. Sin embargo, la notación D n también se usa para un subgrupo de SO(3) que también es del tipo de grupo abstracto D n : el grupo de simetría propio de un polígono regular inserto en el espacio tridimensional (si n ≥ 3). Tal figura puede considerarse como un sólido regular degenerado con su cara contada dos veces. Por lo tanto, también se le llama diedro (griego: sólido con dos caras), lo que explica el nombre de grupo diedro (en analogía con grupo tetraédrico , octaédrico e icosaédrico , refiriéndose a los grupos de simetría propios de un tetraedro regular , octaedro e icosaedro respectivamente).
Las propiedades de los grupos diedros D n con n ≥ 3 dependen de si n es par o impar. Por ejemplo, el centro de D n consiste solamente en la identidad si n es impar, pero si n es par el centro tiene dos elementos, a saber, la identidad y el elemento r n /2 (con D n como subgrupo de O(2), esto es inversión ; dado que es multiplicación escalar por −1, es claro que conmuta con cualquier transformación lineal).
En el caso de isometrías 2D, esto corresponde a agregar inversión, dando rotaciones y espejos entre los existentes.
Para n dos veces un número impar, el grupo abstracto D n es isomorfo con el producto directo de D n / 2 y Z 2 . Generalmente, si m divide a n , entonces D n tiene n / m subgrupos de tipo D m , y un subgrupo m . Por lo tanto, el número total de subgrupos de D n ( n ≥ 1), es igual a d ( n ) + σ( n ), donde d ( n ) es el número de divisores positivos de n y σ ( n ) es la suma de los divisores positivos de n . Véase la lista de grupos pequeños para los casos n ≤ 8.
El grupo diedro de orden 8 (D 4 ) es el ejemplo más pequeño de un grupo que no es un grupo T. Cualquiera de sus dos subgrupos de cuatro grupos de Klein (que son normales en D 4 ) tiene como subgrupo normal subgrupos de orden 2 generados por una reflexión (inversión) en D 4 , pero estos subgrupos no son normales en D 4 .
Todas las reflexiones son conjugadas entre sí siempre que n sea impar, pero caen en dos clases de conjugación si n es par. Si pensamos en las isometrías de un n -gono regular: para n impar hay rotaciones en el grupo entre cada par de espejos, mientras que para n par sólo se puede llegar a la mitad de los espejos desde uno mediante estas rotaciones. Geométricamente, en un polígono impar cada eje de simetría pasa por un vértice y un lado, mientras que en un polígono par hay dos conjuntos de ejes, cada uno correspondiente a una clase de conjugación: los que pasan por dos vértices y los que pasan por dos lados.
Algebraicamente, este es un ejemplo del teorema de Sylow conjugado (para n impar): para n impar, cada reflexión, junto con la identidad, forman un subgrupo de orden 2, que es un 2-subgrupo de Sylow ( 2 = 2 1 es la máxima potencia de 2 que divide a 2 n = 2[2 k + 1] ), mientras que para n par, estos subgrupos de orden 2 no son subgrupos de Sylow porque 4 (una potencia mayor de 2) divide el orden del grupo.
Para n par hay en cambio un automorfismo externo que intercambia los dos tipos de reflexiones (propiamente, una clase de automorfismos externos, que son todos conjugados por un automorfismo interno).
El grupo de automorfismos de D n es isomorfo al holomorfo de / n , es decir, a Hol( / n ) = { ax + b | ( a , n ) = 1} y tiene orden nϕ ( n ), donde ϕ es la función totiente de Euler , el número de k en 1, ..., n − 1 coprimos con n .
Se puede entender en términos de los generadores de una reflexión y una rotación elemental (rotación por k (2 π / n ), para k coprimo con n ); qué automorfismos son internos y externos depende de la paridad de n .
D 9 tiene 18 automorfismos internos . Como grupo de isometría 2D D 9 , el grupo tiene espejos a intervalos de 20°. Los 18 automorfismos internos proporcionan rotación de los espejos por múltiplos de 20° y reflexiones. Como grupo de isometría, todos estos son automorfismos. Como grupo abstracto, hay además de estos, 36 automorfismos externos ; por ejemplo, multiplicar los ángulos de rotación por 2.
D 10 tiene 10 automorfismos internos. Como grupo de isometría 2D D 10 , el grupo tiene espejos a intervalos de 18°. Los 10 automorfismos internos proporcionan rotación de los espejos por múltiplos de 36° y reflexiones. Como grupo de isometría hay 10 automorfismos más; son conjugados por isometrías fuera del grupo, rotando los espejos 18° con respecto a los automorfismos internos. Como grupo abstracto hay además de estos 10 automorfismos internos y 10 externos, 20 automorfismos externos más; por ejemplo, multiplicando las rotaciones por 3.
Comparemos los valores 6 y 4 de la función totiente de Euler , el grupo multiplicativo de los números enteros módulo n para n = 9 y 10, respectivamente. Esto triplica y duplica el número de automorfismos en comparación con los dos automorfismos como isometrías (manteniendo el mismo orden de las rotaciones o invirtiendo el orden).
Los únicos valores de n para los cuales φ ( n ) = 2 son 3, 4 y 6, y en consecuencia, solo hay tres grupos diedros que son isomorfos a sus propios grupos de automorfismo, a saber, D 3 (orden 6), D 4 (orden 8) y D 6 (orden 12). [7] [8] [9]
El grupo de automorfismo interno de D n es isomorfo a: [10]
Hay varias generalizaciones importantes de los grupos diedros:
Corolario 7.3.
Aut(D
n
) = D
n
si y solo si
φ
(
n
) = 2
![{\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {r} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right),\\[1em]\mathrm {s} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right).\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c72296b4c5f5de93a62ee7d535c60589b3da46cb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {r} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&-\sin {\frac {2 \pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ { \text{y}}\\[5pt]\mathrm {s} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac { 2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}. \end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df538c73fe0c524d36aebb6da4a6b9df94c97db)
![{\displaystyle \mathrm {r} _{1}={\begin{bmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\[4pt]\sin {2 \pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {s} _{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{ matrizb}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8bff7dfa39121ba3bd82f144fa7b762715e93c7)
