Precesión

La precesión es un cambio en la orientación del eje de rotación de un cuerpo giratorio . En un sistema de referencia apropiado se puede definir como un cambio en el primer ángulo de Euler , mientras que el tercer ángulo de Euler define la rotación misma . En otras palabras, si el eje de rotación de un cuerpo gira alrededor de un segundo eje, se dice que ese cuerpo está precediendo alrededor del segundo eje. Un movimiento en el que cambia el segundo ángulo de Euler se llama nutación . En física , existen dos tipos de precesión: sin par y inducida por par.

En astronomía, la precesión se refiere a cualquiera de varios cambios lentos en los parámetros rotacionales u orbitales de un cuerpo astronómico. Un ejemplo importante es el cambio constante en la orientación del eje de rotación de la Tierra , conocido como precesión de los equinoccios .

Sin par o par descuidado

La precesión sin par implica que no se aplica ningún momento externo (par) al cuerpo. En la precesión sin par, el momento angular es constante, pero el vector de velocidad angular cambia de orientación con el tiempo. Lo que hace esto posible es un momento de inercia variable en el tiempo o, más precisamente, una matriz de inercia variable en el tiempo . La matriz de inercia se compone de los momentos de inercia de un cuerpo calculados con respecto a ejes de coordenadas separados (por ejemplo, $x$ , $y$ , $z$ ). Si un objeto es asimétrico con respecto a su eje principal de rotación, el momento de inercia con respecto a cada dirección coordenada cambiará con el tiempo, conservando el momento angular. El resultado es que la componente de las velocidades angulares del cuerpo alrededor de cada eje variará inversamente con el momento de inercia de cada eje.

La tasa de precesión sin torsión de un objeto con un eje de simetría, como un disco, que gira alrededor de un eje no alineado con ese eje de simetría se puede calcular de la siguiente manera: ^[1]

{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {p} }={\frac {{\boldsymbol {I}}_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }}{{\boldsymbol {I}}_{\mathrm {p} }\cos({\boldsymbol {\alpha }})}}

ω p

ω s

I s

I p

α

^[2]

Cuando un objeto no es perfectamente rígido , la disipación inelástica tenderá a amortiguar la precesión libre de torque, ^[3] y el eje de rotación se alineará con uno de los ejes de inercia del cuerpo.

Para un objeto sólido genérico sin ningún eje de simetría, se puede simular numéricamente la evolución de la orientación del objeto, representada (por ejemplo) por una matriz de rotación $R que transforma las coordenadas internas en externas.$ Dado el tensor de momento de inercia interno $fijo I 0$ del objeto y el momento angular externo fijo $L$ , la velocidad angular instantánea es

{\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {I}}_{0}^{-1}{\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {L}}

ω

vector de rotación

ω dt

dt

{\boldsymbol {R}}_{\text{new}}=\exp \left(\left[{\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}_{\text{old}}\right)\right]_{\times }dt\right){\boldsymbol {R}}_{\text{old}}

matriz simétrica sesgada

[ω] \times

E\left({\boldsymbol {R}}\right)={\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)\cdot {\frac {\boldsymbol {L}}{2}}

v

ω

a L

E\left(\exp \left(\left[{\boldsymbol {v}}\right]_{\times }\right){\boldsymbol {R}}\right)\approx E\left({\boldsymbol {R}}\right)+\left({\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)\times {\boldsymbol {L}}\right)\cdot {\boldsymbol {v}}

Torque inducido

La precesión inducida por el par ( precesión giroscópica ) es el fenómeno en el que el eje de un objeto que gira (por ejemplo, un giroscopio ) describe un cono en el espacio cuando se le aplica un par externo. El fenómeno se ve comúnmente en un trompo de juguete que gira , pero todos los objetos en rotación pueden sufrir precesión. Si la velocidad de rotación y la magnitud del par externo son constantes, el eje de giro se moverá en ángulo recto con respecto a la dirección que intuitivamente resultaría del par externo. En el caso de un trompo de juguete, su peso actúa hacia abajo desde su centro de masa y la fuerza normal (reacción) del suelo lo empuja hacia arriba en el punto de contacto con el soporte. Estas dos fuerzas opuestas producen un par que hace que la peonza precese.

La respuesta de un sistema giratorio a un par aplicado. Cuando el dispositivo gira y se añade algo de balanceo, la rueda tiende a cabecear.

El dispositivo que se muestra a la derecha está montado en un cardán . De dentro a fuera hay tres ejes de rotación: el cubo de la rueda, el eje del cardán y el pivote vertical.

Para distinguir entre los dos ejes horizontales, la rotación alrededor del cubo de la rueda se llamará giro y la rotación alrededor del eje del cardán se llamará cabeceo . La rotación alrededor del eje de pivote vertical se llama rotación .

Primero, imagine que todo el dispositivo gira alrededor del eje de pivote (vertical). Luego, se agrega el giro de la rueda (alrededor del cubo de la rueda). Imagine que el eje del cardán está bloqueado, de modo que la rueda no puede cabecear. El eje del cardán tiene sensores que miden si hay un par alrededor del eje del cardán.

En la imagen, una sección de la rueda lleva el nombre $dm 1$ . En el momento representado, la sección $dm 1$ se encuentra en el perímetro del movimiento giratorio alrededor del eje de pivote (vertical). La sección $dm 1$ , por lo tanto, tiene mucha velocidad de rotación angular con respecto a la rotación alrededor del eje de pivote, y a medida que $dm 1$ se fuerza más cerca del eje de pivote de rotación (por la rueda que gira más), debido al efecto Coriolis , con respecto al eje de pivote vertical, $dm 1$ tiende a moverse en la dirección de la flecha superior izquierda en el diagrama (mostrada a 45°) en la dirección de rotación alrededor del eje de pivote. ^[4] La sección $dm 2$ de la rueda se aleja del eje de pivote, por lo que una fuerza (nuevamente, una fuerza de Coriolis) actúa en la misma dirección que en el caso de $dm 1$ . Tenga en cuenta que ambas flechas apuntan en la misma dirección.

El mismo razonamiento se aplica a la mitad inferior de la rueda, pero allí las flechas apuntan en la dirección opuesta a la de las flechas superiores. Combinado en toda la rueda, hay un par alrededor del eje del cardán cuando se agrega algo de giro a la rotación alrededor de un eje vertical.

Es importante señalar que el par alrededor del eje del cardán surge sin demora; la respuesta es instantánea.

En la discusión anterior, la configuración se mantuvo sin cambios evitando el cabeceo alrededor del eje del cardán. En el caso de una peonza de juguete, cuando la peonza comienza a inclinarse, la gravedad ejerce un par. Sin embargo, en lugar de darse la vuelta, la peonza simplemente se inclina un poco. Este movimiento de cabeceo reorienta la peonza con respecto al par que se está ejerciendo. El resultado es que el par ejercido por la gravedad, a través del movimiento de cabeceo, provoca una precesión giroscópica (que a su vez produce un par contrario al par de la gravedad) en lugar de hacer que la peonza caiga hacia un lado.

Las consideraciones de precesión o giroscópicas tienen un efecto sobre el rendimiento de la bicicleta a alta velocidad. La precesión es también el mecanismo detrás de los girocompás .

Clásico (newtoniano)

El par causado por la fuerza normal – $F g$ y el peso de la peonza provoca un cambio en el momento angular $L$ en la dirección de ese par. Esto hace que la parte superior precese.

La precesión es el cambio de velocidad angular y momento angular producido por un par. La ecuación general que relaciona el par con la tasa de cambio del momento angular es:

{\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}

{\boldsymbol {\tau }}

\mathbf {L}

Por la forma en que se definen los vectores de torsión, es un vector perpendicular al plano de las fuerzas que lo crean. Por tanto, se puede ver que el vector del momento angular cambiará perpendicular a esas fuerzas. Dependiendo de cómo se crean las fuerzas, a menudo girarán con el vector de momento angular y luego se crea una precesión circular.

En estas circunstancias, la velocidad angular de precesión viene dada por: ^[5]

{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {p} }={\frac {\ mgr}{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }}}={\frac {\tau }{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}}

donde $I s$ es el momento de inercia , $ω s$ es la velocidad angular de giro alrededor del eje de giro, $m$ es la masa, $g$ es la aceleración debida a la gravedad, $θ$ es el ángulo entre el eje de giro y el eje de precesión y $r$ es la distancia entre el centro de masa y el pivote. El vector de torsión se origina en el centro de masa. Usando $ω =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}2π/t$ , encontramos que el período de precesión viene dado por: ^[6]

T_{\mathrm {p} }={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }}{\ mgrT_{\mathrm {s} }}}={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}{\ \tau T_{\mathrm {s} }}}

Donde $I s$ es el momento de inercia , $T s$ es el período de giro alrededor del eje de giro y $τ$ es el par . Sin embargo, en general el problema es más complicado.

Relativista (einsteiniano)

Las teorías especial y general de la relatividad dan tres tipos de correcciones a la precesión newtoniana de un giroscopio cerca de una gran masa como la Tierra, descrita anteriormente. Ellos son:

Precesión de Thomas , una corrección relativista especial que tiene en cuenta que un objeto (como un giroscopio) se acelera a lo largo de una trayectoria curva.
Precesión de Sitter , una corrección relativista general que tiene en cuenta la métrica de Schwarzschild del espacio curvo cerca de una gran masa no giratoria.
Precesión de Lense-Thirring , una corrección relativista general que tiene en cuenta el arrastre del cuadro por la métrica de Kerr del espacio curvo cerca de una gran masa giratoria.

Astronomía

En astronomía, la precesión se refiere a cualquiera de varios cambios lentos y continuos inducidos por la gravedad en el eje de rotación o trayectoria orbital de un cuerpo astronómico. La precesión de los equinoccios, la precesión del perihelio, los cambios en la inclinación del eje de la Tierra respecto de su órbita y la excentricidad de su órbita durante decenas de miles de años son partes importantes de la teoría astronómica de las edades de hielo . (Ver ciclos de Milankovitch .)

Precesión axial (precesión de los equinoccios)

La precesión axial es el movimiento del eje de rotación de un cuerpo astronómico, mediante el cual el eje traza lentamente un cono. En el caso de la Tierra, este tipo de precesión también se conoce como precesión de los equinoccios , precesión lunisolar o precesión del ecuador . La Tierra pasa por uno de esos ciclos precesionales completos en un período de aproximadamente 26.000 años o 1° cada 72 años, durante el cual las posiciones de las estrellas cambiarán lentamente tanto en las coordenadas ecuatoriales como en la longitud de la eclíptica . Durante este ciclo, el polo axial norte de la Tierra se mueve desde donde está ahora, dentro de 1° de Polaris , en un círculo alrededor del polo de la eclíptica , con un radio angular de aproximadamente 23,5°.

Se acepta generalmente que el antiguo astrónomo griego Hiparco (c. 190-120 a. C.) fue el primer astrónomo conocido en reconocer y evaluar la precesión de los equinoccios en aproximadamente 1° por siglo (que no está lejos del valor real de la antigüedad, 1,38). °), ^[7] aunque existe alguna disputa menor sobre si lo fue. ^[8] En la antigua China , el erudito y funcionario de la dinastía Jin Yu Xi ( Florida. 307–345 d. C.) hizo un descubrimiento similar siglos después, observando que la posición del Sol durante el solsticio de invierno se había desplazado aproximadamente un grado a lo largo del transcurso. de cincuenta años en relación con la posición de las estrellas. ^[9] La precesión del eje de la Tierra fue explicada posteriormente por la física newtoniana . Al ser un esferoide achatado , la Tierra tiene una forma no esférica, abultándose hacia afuera en el ecuador. Las fuerzas de marea gravitacional de la Luna y el Sol aplican un torque al ecuador, intentando empujar el abultamiento ecuatorial hacia el plano de la eclíptica , pero en lugar de eso provocan que precese. El par ejercido por los planetas, especialmente Júpiter , también influye. ^[10]

Movimiento precesional del eje (izquierda), precesión del equinoccio en relación con las estrellas distantes (centro) y trayectoria del polo norte celeste entre las estrellas debido a la precesión. Vega es la estrella brillante cerca de la parte inferior (derecha).

Precesión absidal

Las órbitas de los planetas alrededor del Sol no siguen realmente una elipse idéntica cada vez, sino que en realidad trazan la forma de un pétalo de flor porque el eje mayor de la órbita elíptica de cada planeta también precede dentro de su plano orbital, en parte en respuesta a perturbaciones en la forma. de las cambiantes fuerzas gravitacionales ejercidas por otros planetas. Esto se llama precesión del perihelio o precesión absidal .

En la imagen adjunta se ilustra la precesión absidal de la Tierra. A medida que la Tierra viaja alrededor del Sol, su órbita elíptica gira gradualmente con el tiempo. La excentricidad de su elipse y la tasa de precesión de su órbita están exageradas para su visualización. La mayoría de las órbitas del Sistema Solar tienen una excentricidad mucho menor y una precesión a un ritmo mucho más lento, lo que las hace casi circulares y casi estacionarias.

Las discrepancias entre la tasa de precesión del perihelio observada del planeta Mercurio y la predicha por la mecánica clásica fueron prominentes entre las formas de evidencia experimental que llevaron a la aceptación de la Teoría de la Relatividad de Einstein (en particular, su Teoría de la Relatividad General ), que predijo con precisión las anomalías. ^[11]^[12] Desviándose de la ley de Newton, la teoría de la gravitación de Einstein predice un término adicional de $A / r 4$ , que da con precisión la tasa de giro excesiva observada de 43 ″ cada 100 años.

Precesión nodal

Los nodos orbitales también predicen con el tiempo.

Ver también

Referencias

^ Schaub, Hanspeter (2003), Mecánica analítica de sistemas espaciales, AIAA, págs. 149-150, ISBN 9781600860270
^ Boal, David (2001). "Conferencia 26 - Rotación sin par - ejes con cuerpo fijo" (PDF) . Consultado el 17 de septiembre de 2008 .
^ Sharma, Ishan; Quemaduras, José A.; Hui, C.-H. (2005). "Tiempos de amortiguamiento nutacional en sólidos de revolución". Avisos mensuales de la Real Sociedad Astronómica . 359 (1): 79. doi :10.1111/j.1365-2966.2005.08864.x.
^ Teodorescu, Petre P (2002). Sistemas Mecánicos, Modelos Clásicos: Volumen II: Mecánica de Sistemas Discretos y Continuos. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 420.ISBN _ 978-1-4020-8988-6.
^ Moebs, William; Ling, Samuel J.; Sanny, Jeff (19 de septiembre de 2016). 11.4 Precesión de un giroscopio - Física universitaria Volumen 1 | AbiertoStax. Houston, Texas . Consultado el 23 de octubre de 2020 .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
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^ Barbieri, César (2007). Fundamentos de Astronomía . Nueva York: Taylor and Francis Group. pag. 71.ISBN _ 978-0-7503-0886-1.
^ Swerdlow, Noël (1991). Sobre los misterios cósmicos de Mitra . Filología clásica, 86, (1991), 48–63. pag. 59.
^ Sol, Kwok. (2017). Nuestro lugar en el universo: comprensión de la astronomía fundamental a partir de descubrimientos antiguos , segunda edición. Cham, Suiza: Springer. ISBN 978-3-319-54171-6 , pág. 120; véase también Needham, Joseph; Wang, Ling. (1995) [1959]. Ciencia y civilización en China: matemáticas y ciencias de los cielos y la tierra , vol. 3, edición reimpresa. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-05801-5 , pág. 220.
^ Bradt, sano (2007). Métodos de astronomía . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 66.ISBN _ 978-0-521-53551-9.
^ Max Born (1924), Teoría de la relatividad de Einstein (La edición de Dover de 1962, página 348 enumera una tabla que documenta los valores observados y calculados para la precesión del perihelio de Mercurio, Venus y la Tierra).
^ "Se ha encontrado un valor aún mayor para una precesión, para un agujero negro en órbita alrededor de un agujero negro mucho más masivo, que asciende a 39 grados en cada órbita".

enlaces externos

Wikilibros tiene un libro sobre el tema: Movimiento de rotación

Medios relacionados con la precesión en Wikimedia Commons
Explicación y derivación de la fórmula para la precesión de una cima.
La precesión y la teoría de Milankovich De los observadores de estrellas a las naves estelares