Cuantización del campo electromagnético

Cuantización que da lugar a fotones

La cuantificación del campo electromagnético es un procedimiento de la física que convierte las ondas electromagnéticas clásicas de Maxwell en partículas llamadas fotones . Los fotones son partículas sin masa con energía , momento y espín definidos .

Para explicar el efecto fotoeléctrico , Albert Einstein supuso heurísticamente en 1905 que un campo electromagnético consiste en partículas de energía de cantidad hν , donde h es la constante de Planck y ν es la frecuencia de onda . En 1927 Paul AM Dirac fue capaz de tejer el concepto de fotón en el tejido de la nueva mecánica cuántica y describir la interacción de los fotones con la materia. ^[1] Aplicó una técnica que ahora generalmente se llama segunda cuantificación , ^[2] aunque este término es algo inapropiado para los campos electromagnéticos, porque son soluciones de las ecuaciones clásicas de Maxwell. En la teoría de Dirac los campos se cuantifican por primera vez y también es la primera vez que la constante de Planck entra en las expresiones. En su trabajo original, Dirac tomó las fases de los diferentes modos electromagnéticos ( componentes de Fourier del campo) y las energías de los modos como variables dinámicas a cuantificar (es decir, las reinterpretó como operadores y postuló relaciones de conmutación entre ellas). En la actualidad es más común cuantificar los componentes de Fourier del potencial vectorial . Esto es lo que se hace a continuación.

A continuación se presenta un estado de fotón mecánico cuántico perteneciente al modo y se muestra que tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle |\mathbf {k} ,\mu \rangle }$ ${\displaystyle (\mathbf {k} ,\mu )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\textrm {photon}}&=0\\H|\mathbf {k} ,\mu \rangle &=h\nu |\mathbf {k} ,\mu \rangle &&{\hbox{with}}\quad \nu =c|\mathbf {k} |\\P_{\textrm {EM}}|\mathbf {k} ,\mu \rangle &=\hbar \mathbf {k} |\mathbf {k} ,\mu \rangle \\S_{z}|\mathbf {k} ,\mu \rangle &=\mu |\mathbf {k} ,\mu \rangle &&\mu =\pm 1.\end{aligned}}}$

Estas ecuaciones dicen respectivamente: un fotón tiene masa en reposo cero; la energía del fotón es hν = hc | k | ( k es el vector de onda , c es la velocidad de la luz); su momento electromagnético es ħ k [ ħ = h /(2 π )]; la polarización μ = ±1 es el valor propio del componente z del espín del fotón.

Segunda cuantificación

La segunda cuantificación comienza con una expansión de un campo escalar o vectorial (o funciones de onda) en una base que consiste en un conjunto completo de funciones. Estas funciones de expansión dependen de las coordenadas de una sola partícula. Los coeficientes que multiplican las funciones base se interpretan como operadores y se imponen relaciones de (anti)conmutación entre estos nuevos operadores, relaciones de conmutación para bosones y relaciones de anticonmutación para fermiones (nada sucede con las funciones base en sí mismas). Al hacer esto, el campo expandido se convierte en un campo de operadores de fermiones o bosones. Los coeficientes de expansión han sido promovidos de números ordinarios a operadores, operadores de creación y aniquilación . Un operador de creación crea una partícula en la función base correspondiente y un operador de aniquilación aniquila una partícula en esta función.

En el caso de campos EM, la expansión requerida del campo es la expansión de Fourier.

Campo electromagnético y potencial vectorial

Como sugiere el término, un campo electromagnético consta de dos campos vectoriales, un campo eléctrico y un campo magnético . Ambos son campos vectoriales dependientes del tiempo que, en el vacío, dependen de un tercer campo vectorial (el potencial vectorial), así como de un campo escalar. ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\\\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=-{\boldsymbol {\nabla }}\phi (\mathbf {r} ,t)-{\frac {\partial \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}},\\\end{aligned}}}$

donde ∇ × A es el rizo de A .

La elección del calibre de Coulomb , para el cual ∇ ⋅ A  = 0, convierte a A en un campo transversal . La expansión de Fourier del potencial vectorial encerrado en una caja cúbica finita de volumen V = L ³ es entonces

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =\pm 1}\left(\mathbf {e} ^{(\mu )}(\mathbf {k} )a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }+{\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}(\mathbf {k} ){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right),}$

donde denota el conjugado complejo de . El vector de onda k da la dirección de propagación del componente de Fourier correspondiente (una onda monocromática polarizada) de A ( r , t ); la longitud del vector de onda es ${\displaystyle {\overline {a}}}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle |\mathbf {k} |={\frac {2\pi \nu }{c}}={\frac {\omega }{c}},}$

donde ν es la frecuencia del modo. En esta suma, k recorre todos los números enteros, tanto positivos como negativos. (El componente de la base de Fourier es el conjugado complejo del componente de como es real). Los componentes del vector k tienen valores discretos (una consecuencia de la condición de contorno de que A tiene el mismo valor en paredes opuestas de la caja): ${\displaystyle e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$ ${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$ ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle k_{x}={\frac {2\pi n_{x}}{L}},\quad k_{y}={\frac {2\pi n_{y}}{L}},\quad k_{z}={\frac {2\pi n_{z}}{L}},\qquad n_{x},n_{y},n_{z}=0,\pm 1,\pm 2,\ldots .}$

Dos e ^{( μ )} ("vectores de polarización") son vectores unitarios convencionales para ondas electromagnéticas polarizadas circularmente (LCP y RCP) de izquierda y derecha (véase cálculo de Jones o vector de Jones, cálculo de Jones ) y perpendiculares a k . Están relacionados con los vectores cartesianos ortonormales e _x y e _y a través de una transformación unitaria,

${\displaystyle \mathbf {e} ^{(\pm 1)}\equiv {\frac {\mp 1}{\sqrt {2}}}(\mathbf {e} _{x}\pm i\mathbf {e} _{y})\qquad {\hbox{with}}\quad \mathbf {e} _{x}\cdot \mathbf {k} =\mathbf {e} _{y}\cdot \mathbf {k} =0.}$

El componente de Fourier k -ésimo de A es un vector perpendicular a k y, por lo tanto, es una combinación lineal de e ⁽¹⁾ y e ⁽⁻¹⁾ . El superíndice μ indica un componente a lo largo de e ^{( μ )} .

Claramente, el conjunto (discreto e infinito) de coeficientes de Fourier y son variables que definen el potencial vectorial. En lo sucesivo, se los promoverá a operadores. ${\displaystyle a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)}$ ${\displaystyle {\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)}$

Utilizando las ecuaciones de campo de y en términos de lo anterior, los campos eléctricos y magnéticos son ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=i\sum _{\mathbf {k} }{\sum _{\mu =\pm 1}\omega {\left({\mathbf {e} ^{(\mu )}}(\mathbf {k} )a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}-{{\overline {\mathbf {e} }}^{(\mu )}}(\mathbf {k} ){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){{e}^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}\right)}}\\[6pt]\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=i\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =\pm 1}\left\{\left(\mathbf {k} \times {{\mathbf {e} }^{(\mu )}}(\mathbf {k} )\right)a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-\left(\mathbf {k} \times {{\overline {\mathbf {e} }}^{(\mu )}}(\mathbf {k} )\right){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){{e}^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}\right\}\end{aligned}}}$

Utilizando la identidad ( y son vectores) y como cada modo tiene dependencia de frecuencia única. ${\displaystyle \nabla \times e^{A\cdot r}=A\times e^{A\cdot r}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)=a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}{{e}^{-iwt}}}$

Cuantificación del campo electromagnético

El ejemplo más conocido de cuantificación es la sustitución del momento lineal dependiente del tiempo de una partícula por la regla

${\displaystyle \mathbf {p} (t)\to -i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}.}$

Obsérvese que aquí se introduce la constante de Planck y que la dependencia del tiempo de la expresión clásica no se asume en el operador mecánico cuántico (esto es cierto en la llamada imagen de Schrödinger ).

Para el campo electromagnético hacemos algo similar. La cantidad es la constante eléctrica , que aparece aquí debido al uso de unidades electromagnéticas del SI . Las reglas de cuantificación son: ${\displaystyle \epsilon _{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)&\to {\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}a^{(\mu )}(\mathbf {k} )\\{\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)&\to {\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}{a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\\\end{aligned}}}$

Sujeto a las relaciones de conmutación de bosones.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a^{(\mu )}(\mathbf {k} ),a^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right]&=0\\\left[{a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} ),{a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right]&=0\\\left[a^{(\mu )}(\mathbf {k} ),{a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right]&=\delta _{\mathbf {k} ,\mathbf {k} '}\delta _{\mu ,\mu '}\end{aligned}}}$

Los corchetes indican un conmutador, definido por para dos operadores mecánicos cuánticos cualesquiera A y B. La introducción de la constante de Planck es esencial en la transición de una teoría clásica a una cuántica. El factor ${\displaystyle [A,B]\equiv AB-BA}$

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2\omega V\epsilon _{0}}}}}$

Se introduce para darle al hamiltoniano (operador de energía) una forma simple, ver más abajo.

Los campos cuantificados (campos de operador) son los siguientes

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} (\mathbf {r} )&=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}\left\{\mathbf {e} ^{(\mu )}a^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }+{\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}{a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right\}\\\mathbf {E} (\mathbf {r} )&=i\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar \omega }{2V\epsilon _{0}}}}\left\{\mathbf {e} ^{(\mu )}a^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-{\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}{a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right\}\\\mathbf {B} (\mathbf {r} )&=i\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}\left\{\left(\mathbf {k} \times \mathbf {e} ^{(\mu )}\right)a^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-\left(\mathbf {k} \times {\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}\right){a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right\}\end{aligned}}}$

donde ω = c | k | = ck .

Hamiltoniano del campo

El hamiltoniano clásico tiene la forma

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\iiint _{V}{\left({{\left|E(\mathbf {r} ,t)\right|}^{2}}+{{c}^{2}}{{\left|B(\mathbf {r} ,t)\right|}^{2}}\right)}{{\text{d}}^{3}}\mathbf {r} =V\epsilon _{0}\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =\pm 1}\omega ^{2}\left({\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)+a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)\right).}$

El lado derecho se obtiene fácilmente utilizando primero

${\displaystyle \int _{V}e^{ik\cdot r}e^{-ik'\cdot r}dr=V\delta _{k,k'}}$

(puede derivarse de la ecuación de Euler y la ortogonalidad trigonométrica) donde k es el número de onda para la onda confinada dentro de la caja de V = L × L × L como se describió anteriormente y segundo, usando ω = kc .

La sustitución de los operadores de campo en el hamiltoniano clásico da el operador de Hamilton del campo EM,

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\sum _{\mathbf {k} ,\mu =\pm 1}\hbar \omega \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+a^{(\mu )}(\mathbf {k} ){a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\right)=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \omega \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+{\frac {1}{2}}\right)}$

La segunda igualdad se obtiene mediante el uso de la tercera de las relaciones de conmutación de bosones mencionadas anteriormente con k ′ = k y μ ′ = μ . Observe nuevamente que ħω = hν = ħc | k | y recuerde que ω depende de k , aunque no esté explícito en la notación. Se podría haber introducido la notación ω ( k ), pero no es común porque confunde las ecuaciones.

Digresión: oscilador armónico

El segundo tratamiento cuantizado del oscilador armónico cuántico unidimensional es un tema bien conocido en los cursos de mecánica cuántica. Nos detendremos y diremos algunas palabras al respecto. El hamiltoniano del oscilador armónico tiene la forma

${\displaystyle H=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\tfrac {1}{2}}\right)}$

donde ω ≡ 2 πν es la frecuencia fundamental del oscilador. El estado fundamental del oscilador se designa con ; y se lo denomina "estado de vacío". Se puede demostrar que es un operador de excitación, que excita desde un estado excitado n veces a un estado excitado n + 1 veces: ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle a^{\dagger }}$

${\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle =|n+1\rangle {\sqrt {n+1}}.}$

En particular: y ${\displaystyle a^{\dagger }|0\rangle =|1\rangle }$ ${\displaystyle (a^{\dagger })^{n}|0\rangle \propto |n\rangle .}$

Como las energías del oscilador armónico son equidistantes, el estado excitado n- fold ; puede considerarse como un estado único que contiene n partículas (a veces llamadas vibrones) todas de energía hν . Estas partículas son bosones. Por una razón obvia, el operador de excitación se llama operador de creación . ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle a^{\dagger }}$

De la relación de conmutación se deduce que el adjunto hermítico desexcita: en particular , de modo que Por razones obvias, el operador de desexcitación se denomina operador de aniquilación . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a|n\rangle =|n-1\rangle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle a|0\rangle \propto 0,}$ ${\displaystyle a|0\rangle =0.}$ ${\displaystyle a}$

Por inducción matemática se demuestra fácilmente la siguiente "regla de diferenciación", que será necesaria más adelante:

${\displaystyle \left[a,(a^{\dagger })^{n}\right]=n(a^{\dagger })^{n-1}\qquad {\hbox{with}}\quad \left(a^{\dagger }\right)^{0}=1.}$

Supongamos ahora que tenemos varios osciladores armónicos unidimensionales que no interactúan (independientes), cada uno con su propia frecuencia fundamental ω _i . Como los osciladores son independientes, el hamiltoniano es una suma simple:

${\displaystyle H=\sum _{i}\hbar \omega _{i}\left(a^{\dagger }(i)a(i)+{\tfrac {1}{2}}\right).}$

Sustituyendo por vemos que el hamiltoniano del campo EM puede considerarse un hamiltoniano de osciladores independientes de energía ω = | k | c que oscilan a lo largo de la dirección e ^{( μ )} con μ = ±1. ${\displaystyle (\mathbf {k} ,\mu )}$ ${\displaystyle i}$

Estados de número de fotones (estados de Fock)

El campo electromagnético cuantizado tiene un estado de vacío (sin fotones) . Su aplicación, por ejemplo, a ${\displaystyle |0\rangle }$

${\displaystyle \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\right)^{m}\left({a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right)^{n}|0\rangle \propto \left|(\mathbf {k} ,\mu )^{m};(\mathbf {k} ',\mu ')^{n}\right\rangle ,}$

da un estado cuántico de m fotones en modo ( k , μ ) y n fotones en modo ( k ′, μ ′). Se utiliza el símbolo de proporcionalidad porque el estado de la izquierda no está normalizado a la unidad, mientras que el estado de la derecha puede estar normalizado.

El operador

${\displaystyle N^{(\mu )}(\mathbf {k} )\equiv {a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )}$

es el operador de número . Cuando actúa sobre un estado de número de fotones mecánico cuántico, devuelve el número de fotones en modo ( k , μ ). Esto también se cumple cuando el número de fotones en este modo es cero, entonces el operador de número devuelve cero. Para mostrar la acción del operador de número en un ket de un fotón, consideramos

${\displaystyle {\begin{aligned}N^{(\mu )}(\mathbf {k} )|\mathbf {k} ',\mu '\rangle &={a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} ){a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k'} )|0\rangle \\&={a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\left(\delta _{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }\delta _{\mu ,\mu '}+{a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k'} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )\right)|0\rangle \\&=\delta _{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }\delta _{\mu ,\mu '}|\mathbf {k} ,\mu \rangle ,\end{aligned}}}$

es decir, un operador numérico de modo ( k , μ ) devuelve cero si el modo está desocupado y devuelve la unidad si el modo está ocupado individualmente. Para considerar la acción del operador numérico de modo ( k , μ ) en un ket de n -fotones del mismo modo, eliminamos los índices k y μ y consideramos

${\displaystyle N(a^{\dagger })^{n}|0\rangle =a^{\dagger }\left([a,(a^{\dagger })^{n}]+(a^{\dagger })^{n}a\right)|0\rangle =a^{\dagger }[a,(a^{\dagger })^{n}]|0\rangle .}$

Utilice la "regla de diferenciación" presentada anteriormente y se deduce que

${\displaystyle N(a^{\dagger })^{n}|0\rangle =n(a^{\dagger })^{n}|0\rangle .}$

Un estado numérico de fotón (o estado de Fock) es un estado propio del operador numérico. Por eso, el formalismo descrito aquí suele denominarse representación numérica de ocupación .

Energía fotónica

Anteriormente el hamiltoniano,

${\displaystyle H=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \omega \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+{\frac {1}{2}}\right)}$

Se introdujo el cero de energía, lo que conduce a una expresión en términos del operador numérico,

${\displaystyle H=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \omega N^{(\mu )}(\mathbf {k} )}$

El efecto de H en un estado de fotón único es

${\displaystyle H|\mathbf {k} ,\mu \rangle \equiv H\left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\sum _{\mathbf {k'} ,\mu '}\hbar \omega 'N^{(\mu ')}(\mathbf {k} '){a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle =\hbar \omega \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\hbar \omega |\mathbf {k} ,\mu \rangle .}$

Por lo tanto, el estado monofotónico es un estado propio de H y ħω = hν es la energía correspondiente. De la misma manera

${\displaystyle H\left|(\mathbf {k} ,\mu )^{m};(\mathbf {k} ',\mu ')^{n}\right\rangle =\left[m(\hbar \omega )+n(\hbar \omega ')\right]\left|(\mathbf {k} ,\mu )^{m};(\mathbf {k} ',\mu ')^{n}\right\rangle ,\qquad {\text{with}}\quad \omega =c|\mathbf {k} |\quad {\hbox{and}}\quad \omega '=c|\mathbf {k} '|.}$

Momento del fotón

Introducción de la expansión de Fourier del campo electromagnético en la forma clásica

${\displaystyle \mathbf {P} _{\textrm {EM}}=\epsilon _{0}\iiint _{V}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t){\textrm {d}}^{3}\mathbf {r} ,}$

rendimientos

${\displaystyle \mathbf {P} _{\textrm {EM}}=V\epsilon _{0}\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =1,-1}\omega \mathbf {k} \left(a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)+{\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)\right).}$

La cuantificación da

${\displaystyle \mathbf {P} _{\textrm {EM}}=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \mathbf {k} \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+{\frac {1}{2}}\right)=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \mathbf {k} N^{(\mu )}(\mathbf {k} ).}$

El término 1/2 podría descartarse, porque cuando se suma sobre el k permitido , k se cancela con − k . El efecto de P _EM en un estado de fotón único es

${\displaystyle \mathbf {P} _{\textrm {EM}}|\mathbf {k} ,\mu \rangle =\mathbf {P} _{\textrm {EM}}\left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\hbar \mathbf {k} \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\hbar \mathbf {k} |\mathbf {k} ,\mu \rangle .}$

Aparentemente, el estado de fotón único es un estado propio del operador de momento, y ħ k es el valor propio (el momento de un solo fotón).

Masa del fotón

Como el fotón tiene un momento lineal distinto de cero, se podría imaginar que tiene una masa en reposo no nula m ₀ , que es su masa a velocidad cero. Sin embargo, ahora demostraremos que no es así: m ₀ = 0.

Como el fotón se propaga a la velocidad de la luz , se requiere la teoría de la relatividad especial . Las expresiones relativistas para la energía y el momento al cuadrado son:

${\displaystyle E^{2}={\frac {m_{0}^{2}c^{4}}{1-v^{2}/c^{2}}},\qquad p^{2}={\frac {m_{0}^{2}v^{2}}{1-v^{2}/c^{2}}}.}$

A partir de la pág. ² / E ² ,

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{c^{2}}}={\frac {c^{2}p^{2}}{E^{2}}}\quad \Longrightarrow \quad E^{2}={\frac {m_{0}^{2}c^{4}}{1-c^{2}p^{2}/E^{2}}}\quad \Longrightarrow \quad m_{0}^{2}c^{4}=E^{2}-c^{2}p^{2}.}$

Usar

${\displaystyle E^{2}=\hbar ^{2}\omega ^{2}\qquad {\text{and}}\qquad p^{2}=\hbar ^{2}k^{2}={\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}$

y se deduce que

${\displaystyle m_{0}^{2}c^{4}=E^{2}-c^{2}p^{2}=\hbar ^{2}\omega ^{2}-c^{2}{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}=0,}$

de modo que m ₀ = 0.

Giro del fotón

Al fotón se le puede asignar un espín triplete con número cuántico de espín S = 1. Esto es similar, por ejemplo, al espín nuclear del isótopo ¹⁴ N , pero con la importante diferencia de que el estado con M _S = 0 es cero, solo los estados con M _S = ±1 son distintos de cero.

Definir operadores de espín:

${\displaystyle S_{z}\equiv -i\hbar \left(\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{y}-\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\qquad {\hbox{and cyclically}}\quad x\to y\to z\to x.}$

Los dos operadores entre los dos vectores unitarios ortogonales son productos diádicos . Los vectores unitarios son perpendiculares a la dirección de propagación k (la dirección del eje z , que es el eje de cuantificación del espín). ${\displaystyle \otimes }$

Los operadores de espín satisfacen las relaciones de conmutación de momento angular habituales.

${\displaystyle [S_{x},S_{y}]=i\hbar S_{z}\qquad {\hbox{and cyclically}}\quad x\to y\to z\to x.}$

De hecho, utilice la propiedad del producto diádico

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)=\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\cdot \mathbf {e} _{z}\right)=\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}}$

porque e _z tiene una longitud unitaria. De esta manera,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[S_{x},S_{y}\right]&=-\hbar ^{2}\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)+\hbar ^{2}\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\\&=\hbar ^{2}\left[-\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)+\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\right]\\&=i\hbar \left[-i\hbar \left(\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{y}-\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\right]\\&=i\hbar S_{z}\end{aligned}}}$

De la inspección se deduce que

${\displaystyle -i\hbar \left(\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{y}-\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\cdot \mathbf {e} ^{(\mu )}=\mu \hbar \mathbf {e} ^{(\mu )},\qquad \mu =\pm 1,}$

y por lo tanto μ etiqueta el giro del fotón,

${\displaystyle S_{z}|\mathbf {k} ,\mu \rangle =\mu \hbar |\mathbf {k} ,\mu \rangle ,\quad \mu =\pm 1.}$

Debido a que el potencial vectorial A es un campo transversal, el fotón no tiene un componente de espín directo (μ = 0).

Aproximación clásica

La aproximación clásica a la radiación EM es buena cuando el número de fotones es mucho mayor que la unidad en el volumen, donde λ es la longitud de las ondas de radio. ^{[ cita requerida ]} En ese caso, las fluctuaciones cuánticas son insignificantes. ${\displaystyle {\tfrac {\lambda ^{3}}{(2\pi )^{3}}},}$

Por ejemplo, los fotones emitidos por una estación de radio que emite en la frecuencia ν = 100 MHz, tienen un contenido energético de νh = (1 × 10 ⁸ ) × (6,6 × 10 ⁻³⁴ ) = 6,6 × 10 ⁻²⁶  J, donde h es la constante de Planck . La longitud de onda de la estación es λ = c / ν = 3 m, de modo que λ /(2 π ) = 48 cm y el volumen es 0,109 m ³ . El contenido energético de este elemento de volumen a 5 km de la estación es de 2,1 × 10 ⁻¹⁰ × 0,109 = 2,3 × 10 ⁻¹¹  J, lo que equivale a 3,4 × 10 ¹⁴ fotones por Como 3,4 × 10 ¹⁴ > 1, los efectos cuánticos no juegan ningún papel. Las ondas emitidas por esta estación están bien descritas por el límite clásico y no se necesita la mecánica cuántica. ${\displaystyle {\tfrac {\lambda ^{3}}{(2\pi )^{3}}}.}$

Véase también

• Vacío QED
• Vector de polarización generalizada de campos de espín arbitrarios .

Referencias

Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium "Cuantización del campo electromagnético", que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no bajo la GFDL .

1. PAM Dirac, La teoría cuántica de la emisión y absorción de la radiación , Proc. Royal Soc. Lond. A 114 , págs. 243-265, (1927) En línea (pdf)
2. El nombre deriva de la segunda cuantificación de las funciones de onda de la mecánica cuántica. Una función de onda de este tipo es un campo escalar (el "campo de Schrödinger") y se puede cuantificar de la misma manera que los campos electromagnéticos. Dado que una función de onda se deriva de un "primer" hamiltoniano cuantificado , la cuantificación del campo de Schrödinger es la segunda vez que se realiza la cuantificación, de ahí el nombre.