Cuadratriz de Hipias

Curva donde se cruzan las líneas giratorias y móviles

Cuadratriz (roja); instantánea de E y F habiendo completado el 60% de sus movimientos

La cuadratriz o trisectriz de Hipias (también cuadratriz de Dinostrato ) es una curva que se crea mediante un movimiento uniforme. Es uno de los ejemplos más antiguos de una curva cinemática (una curva creada mediante el movimiento). Su descubrimiento se atribuye al sofista griego Hipias de Elis , quien la utilizó alrededor del 420 a. C. en un intento de resolver el problema de la trisección de ángulos (de ahí la palabra trisectriz ). Más tarde, alrededor del 350 a. C., Dinostrato la utilizó en un intento de resolver el problema de la cuadratura del círculo (de ahí la palabra cuadratriz ).

Definición

Cuadratriz como curva plana para la longitud del lado ${\displaystyle a=1}$

Cuadratriz como función para ${\displaystyle a=1}$

Considérese un cuadrado y un arco de cuarto de círculo inscrito centrado en con radio igual al lado del cuadrado. Sea un punto que viaja con una velocidad angular constante a lo largo del arco desde hasta , y sea un punto que viaja simultáneamente con una velocidad constante desde hasta a lo largo del segmento de línea , de modo que y comienzan al mismo tiempo en y llegan al mismo tiempo a y . Entonces la cuadratriz se define como el lugar geométrico de la intersección del segmento de línea con la línea paralela a que pasa por . ^{[1] [2]} ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle F}$

Si se coloca un cuadrado de este tipo con una longitud de lado en un sistema de coordenadas (cartesiano) con el lado en el eje y con el vértice en el origen, entonces la cuadrátriz se describe mediante una curva plana con Esta descripción también se puede utilizar para dar una definición analítica en lugar de geométrica de la cuadrátriz y para extenderla más allá del intervalo . Sin embargo, permanece indefinida en las singularidades de excepto en el caso de donde la singularidad es removible debido a y, por lo tanto, produce una curva plana continua en el intervalo . ^{[3] [4]} ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \gamma :(0,{\tfrac {\pi }{2}}]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2a}{\pi }}t\cot(t)\\{\frac {2a}{\pi }}t\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle (0,{\tfrac {\pi }{2}}]}$ ${\displaystyle \cot(t)}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \lim _{t\to 0}t\cot(t)=1}$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi )}$

Para describir la cuadrátriz como una función simple en lugar de una curva plana, es ventajoso intercambiar el eje y el eje , es decir, colocar el lado en el eje y en lugar de en el eje . Entonces la cuadrátriz forma el gráfico de la función ^{[5] [6]} ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle f(x)=x\cdot \cot \left({\frac {\pi }{2a}}\cdot x\right)}$$

Trisección de ángulos

Compás cuadrático

Trisección de ángulos

La trisección de un ángulo arbitrario utilizando únicamente regla y compás es imposible. Sin embargo, si se permite la cuadritriz como herramienta adicional, es posible dividir un ángulo arbitrario en segmentos iguales y, por lo tanto, se hace posible una trisección ( ). En términos prácticos, la cuadritriz se puede dibujar con la ayuda de una plantilla o un compás cuadritriz (ver dibujo). ^{[1] [2]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=3}$

Dado que, por definición de la cuadrátriz, el ángulo recorrido es proporcional al segmento recorrido del lado de los cuadrados asociados, dividir ese segmento del lado en partes iguales da como resultado también una partición del ángulo asociado. Dividir el segmento de línea en partes iguales con regla y compás es posible gracias al teorema de la intersección . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Para un ángulo dado (de 90° como máximo) se construye un cuadrado sobre su cateto . El otro cateto del ángulo interseca la cuadratriz del cuadrado en un punto y la línea paralela al cateto que pasa por interseca el lado del cuadrado en . Ahora el segmento corresponde al ángulo y debido a la definición de la cuadratriz, cualquier división del segmento en segmentos iguales produce una división correspondiente del ángulo en ángulos iguales. Para dividir el segmento en segmentos iguales, dibuja un rayo que comience en con segmentos iguales (de longitud arbitraria) sobre él. Conecta el punto final del último segmento con y dibuja líneas paralelas a que pasen por todos los puntos finales de los segmentos restantes en . Estas líneas paralelas dividen el segmento en segmentos iguales. Ahora dibuja líneas paralelas a que pasen por los puntos finales de esos segmentos en , que intersequen la trisectriz. Conectando sus puntos de intersección con se obtiene una partición del ángulo en ángulos iguales. ^[5] ${\displaystyle \angle BAE}$ ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\overline {AF}}}$ ${\displaystyle \angle BAE}$ ${\displaystyle {\overline {AF}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \angle BAE}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\overline {AF}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\overline {OF}}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle {\overline {AO}}}$ ${\displaystyle {\overline {AF}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle {\overline {AF}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \angle BAE}$ ${\displaystyle n}$

Dado que no todos los puntos de la trisectriz se pueden construir con solo el círculo y el compás, es realmente necesaria como una herramienta adicional junto con el compás y el círculo. Sin embargo, es posible construir un subconjunto denso de la trisectriz con el círculo y el compás, por lo que, si bien no se puede asegurar una división exacta de un ángulo en partes sin una trisectriz dada, se puede construir una aproximación arbitrariamente cercana con solo el círculo y el compás. ^{[2] [3]} ${\displaystyle n}$

Cuadratura del círculo

Cuadratura de un cuarto de círculo con radio 1

La cuadratura del círculo con regla y compás es imposible. Sin embargo, si se utiliza la cuadratriz de Hipias como herramienta de construcción adicional, la cuadratura del círculo se hace posible gracias al teorema de Dinostrato . Permite convertir un cuarto de círculo en un cuadrado de la misma área , por lo tanto, un cuadrado con el doble de longitud de lado tiene la misma área que el círculo completo.

Según el teorema de Dinostratus, la cuadrátriz divide uno de los lados del cuadrado asociado en una razón de . ^[1] Para un cuarto de círculo dado con radio r se construye el cuadrado asociado ABCD con longitud de lado r . La cuadrátriz interseca el lado AB en J con . Ahora se construye un segmento de línea JK de longitud r que es perpendicular a AB . Entonces la línea a través de A y K interseca la extensión del lado BC en L y del teorema de intersección se sigue . Extendiendo AB hacia la derecha por un nuevo segmento de línea se obtiene el rectángulo BLNO con lados BL y BO cuya área coincide con el área del cuarto de círculo. Este rectángulo se puede transformar en un cuadrado de la misma área con la ayuda del teorema de la media geométrica de Euclides . Se extiende el lado ON por un segmento de línea y se dibuja un semicírculo a la derecha de NQ , que tiene NQ como su diámetro. La extensión de BO se encuentra con el semicírculo en R y debido al teorema de Thales el segmento de línea OR es la altura del triángulo rectángulo QNR . Por lo tanto, se puede aplicar el teorema de la media geométrica, lo que significa que OR forma el lado de un cuadrado OUSR con la misma área que el rectángulo BLNO y, por lo tanto, que el cuarto de círculo. ^[7] ${\displaystyle {\tfrac {2}{\pi }}}$ ${\displaystyle \left|{\overline {AJ}}\right|={\tfrac {2}{\pi }}r}$ ${\displaystyle \left|{\overline {BL}}\right|={\tfrac {\pi }{2}}r}$ ${\displaystyle \left|{\overline {BO}}\right|={\tfrac {r}{2}}}$ ${\displaystyle \left|{\overline {OQ}}\right|=\left|{\overline {BO}}\right|={\tfrac {r}{2}}}$

Nótese que el punto J , donde la cuadrátriz se encuentra con el lado AB del cuadrado asociado, es uno de los puntos de la cuadrátriz que no se puede construir solo con regla y compás y ni siquiera con la ayuda del compás de la cuadrátriz según la definición geométrica original (ver dibujo). Esto se debe al hecho de que las dos líneas que se mueven uniformemente coinciden y, por lo tanto, no existe un único punto de intersección. Sin embargo, confiar en la definición generalizada de la cuadrátriz como una función o curva plana permite que J sea un punto en la cuadrátriz. ^{[8] [9]}

Fuentes históricas

La cuadratriz se menciona en las obras de Proclo (412-485), Pappus de Alejandría (siglos III y IV) y Jámblico (c. 240 – c. 325). Proclo nombra a Hipias como el inventor de una curva llamada cuadratriz y describe en otro lugar cómo Hipias aplicó la curva al problema de la trisección. Pappus solo menciona cómo una curva llamada cuadratriz fue utilizada por Dinostrato, Nicomedes y otros para cuadrar el círculo. No menciona a Hipias ni atribuye la invención de la cuadratriz a una persona en particular. Jámblico solo escribe en una sola línea que Nicomedes utilizó una curva llamada cuadratriz para cuadrar el círculo. ^{[10] [11] [12]}

Del nombre que Proclo le dio a la curva, es concebible que el propio Hipias la utilizara para la cuadratura del círculo o alguna otra figura curvilínea. Sin embargo, la mayoría de los historiadores de las matemáticas suponen que Hipias inventó la curva, pero la utilizó solo para la trisección de ángulos. Según esta teoría, su uso para la cuadratura del círculo solo ocurrió décadas después y se debió a matemáticos como Dinostrato y Nicomedes. Esta interpretación de las fuentes históricas se remonta al matemático e historiador alemán Moritz Cantor . ^{[11] [12]}

Véase también

• Matemáticas griegas

Referencias

1. Hischer, Horst (2000), "Klassische Probleme der Antike - Beispiele zur" Historischen Verankerung"" (PDF) , en Blankenagel, Jürgen; Spiegel, Wolfgang (eds.), Mathematikdidaktik aus Begeisterung für die Mathematik – Festschrift für Harald Scheid , Stuttgart/Düsseldorf/Leipzig: Klett, págs. 97-118
2. Henn, Hans-Wolfgang (2003), "Die Quadratur des Kreises", Elementare Geometrie und Algebra, Verlag Vieweg+Teubner, págs.
3. Jahnke, Hans Niels (2003), Una historia del análisis , American Mathematical Society , págs. 30-31, ISBN 0821826239; extracto , pág. 30, en Google Books
4. Weisstein, Eric W. , "Cuadradora de Hipias", MathWorld
5. Dudley, Underwood (1994), Los trisectores , Cambridge University Press, págs. 6-8, ISBN 0883855143; extracto , pág. 6, en Google Books
6. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Quadratrix of Hippias", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews , p. canalla
7. Holme, Audun (2010), Geometría: nuestro patrimonio cultural, Springer, págs. 114-116, ISBN 9783642144400
8. Delahaye, Jean-Paul (1999), π {\displaystyle \pi } - Die Story, Springer, p. 71, ISBN 3764360569
9. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Dinostratus", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , Universidad de St Andrews , pág. bio
10. van der Waerden, Bartel Leendert (1961), Science Awakening , Oxford University Press, p. 146
11. Gow, James (2010), Una breve historia de las matemáticas griegas, Cambridge University Press, págs. 162-164, ISBN 9781108009034
12. Heath, Thomas Little (1921), Una historia de las matemáticas griegas, volumen 1: desde Tales hasta Euclides, Clarendon Press, págs. 182, 225–230

Lectura adicional

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics . MAA 2010, ISBN 9780883853481 , pp. 146–147 ( extracto , p. 146, en Google Books ) 
• Felix Klein : Famous Problems of Elementary Geometry . Cosimo 2007 (Nachdruck), ISBN 9781602064171 , pp. 57–58 ( extracto , p. 57, en Google Books ) (copia completa en línea en archive.org ) 

Enlaces externos

• Michael D. Huberty, Ko Hayashi, Chia Vang: la cuadratriz de Hipias
• Weisstein, Eric W. , "Cuadradora de Hipias", MathWorld
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Quadratrix of Hippias", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews , p. canalla