Tensor de algodón

En geometría diferencial , el tensor de Cotton en una variedad (pseudo) riemanniana de dimensión n es un tensor de tercer orden concomitante de la métrica . La desaparición del tensor de Cotton para n = 3 es una condición necesaria y suficiente para que la variedad sea localmente conformemente plana . Por el contrario, en dimensiones n ≥ 4 , la desaparición del tensor de Cotton es necesaria pero no suficiente para que la métrica sea conformemente plana; en cambio, la condición necesaria y suficiente correspondiente en estas dimensiones superiores es la desaparición del tensor de Weyl , mientras que el tensor de Cotton simplemente se convierte en una constante multiplicada por la divergencia del tensor de Weyl. Para n < 3, el tensor de Cotton es idénticamente cero. El concepto recibe su nombre de Émile Cotton .

La prueba del resultado clásico de que para n = 3 la desaparición del tensor de Cotton es equivalente a que la métrica sea conformemente plana la da Eisenhart utilizando un argumento de integrabilidad estándar . Esta densidad de tensores se caracteriza de manera única por sus propiedades conformes acopladas con la exigencia de que sea diferenciable para métricas arbitrarias, como lo demuestra (Aldersley 1979).

Recientemente, el estudio de los espacios tridimensionales está adquiriendo gran interés, porque el tensor de Cotton restringe la relación entre el tensor de Ricci y el tensor de energía-momento de la materia en las ecuaciones de Einstein y juega un papel importante en el formalismo hamiltoniano de la relatividad general .

Definición

En coordenadas, y denotando el tensor de Ricci por R _ij y la curvatura escalar por R , los componentes del tensor de Cotton son

${\displaystyle C_{ijk}=\nabla _{k}R_{ij}-\nabla _{j}R_{ik}+{\frac {1}{2(n-1)}}\left(\nabla _{j}Rg_{ik}-\nabla _{k}Rg_{ij}\right).}$

El tensor de Cotton puede considerarse como una forma 2 con valores vectoriales y, para n  = 3, se puede utilizar el operador de estrella de Hodge para convertirlo en una densidad de tensor libre de trazas de segundo orden.

${\displaystyle C_{i}^{j}=\nabla _{k}\left(R_{li}-{\frac {1}{4}}Rg_{li}\right)\epsilon ^{klj},}$

A veces llamado tensor de Cotton- York .

Propiedades

Reescalado conforme

Bajo el reescalamiento conforme de la métrica para alguna función escalar , vemos que los símbolos de Christoffel se transforman como ${\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2\omega }g}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }+S_{\beta \gamma }^{\alpha }}$

¿Dónde está el tensor? ${\displaystyle S_{\beta \gamma }^{\alpha }}$

${\displaystyle S_{\beta \gamma }^{\alpha }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\partial _{\beta }\omega +\delta _{\beta }^{\alpha }\partial _{\gamma }\omega -g_{\beta \gamma }\partial ^{\alpha }\omega }$

El tensor de curvatura de Riemann se transforma como

${\displaystyle {{\widetilde {R}}^{\lambda }}{}_{\mu \alpha \beta }={R^{\lambda }}_{\mu \alpha \beta }+\nabla _{\alpha }S_{\beta \mu }^{\lambda }-\nabla _{\beta }S_{\alpha \mu }^{\lambda }+S_{\alpha \rho }^{\lambda }S_{\beta \mu }^{\rho }-S_{\beta \rho }^{\lambda }S_{\alpha \mu }^{\rho }}$

En variedades -dimensionales, obtenemos el tensor de Ricci contrayendo el tensor de Riemann transformado para verlo transformarse como ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{\beta \mu }=R_{\beta \mu }-g_{\beta \mu }\nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\omega -(n-2)\nabla _{\mu }\partial _{\beta }\omega +(n-2)(\partial _{\mu }\omega \partial _{\beta }\omega -g_{\beta \mu }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega )}$

De manera similar, la transformada escalar de Ricci se expresa como

${\displaystyle {\widetilde {R}}=e^{-2\omega }R-2e^{-2\omega }(n-1)\nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\omega -(n-2)(n-1)e^{-2\omega }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega }$

La combinación de todos estos hechos nos permite concluir que las transformaciones tensoriales de Cotton-York son las siguientes:

${\displaystyle {\widetilde {C}}_{\alpha \beta \gamma }=C_{\alpha \beta \gamma }+(n-2)\partial _{\lambda }\omega {W_{\beta \gamma \alpha }}^{\lambda }}$

o usar un lenguaje independiente de las coordenadas como

${\displaystyle {\tilde {C}}=C\;+(n-2)\;\operatorname {grad} \,\omega \;\lrcorner \;W,}$

donde el gradiente se contrae con el tensor de Weyl  W .

Simetrías

El tensor de Cotton tiene las siguientes simetrías:

${\displaystyle C_{ijk}=-C_{ikj}\,}$

y por lo tanto

${\displaystyle C_{[ijk]}=0.\,}$

Además, la fórmula de Bianchi para el tensor de Weyl se puede reescribir como

${\displaystyle \delta W=(3-n)C,\,}$

donde es la divergencia positiva en el primer componente de W . ${\displaystyle \delta }$

Referencias

• Aldersley, SJ (1979). "Comentarios sobre ciertas densidades tensoriales sin divergencia en un espacio tridimensional". Journal of Mathematical Physics . 20 (9): 1905–1907. Bibcode :1979JMP....20.1905A. doi : 10.1063/1.524289 .
• Choquet-Bruhat, Yvonne (2009). Relatividad general y ecuaciones de Einstein . Oxford, Inglaterra: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-923072-3.
• Algodón, É. (1899). "Sur les variétés à trois dimensiones". Annales de la Facultad de Ciencias de Toulouse . II. 1 (4): 385–438. Archivado desde el original el 10 de octubre de 2007.
• Eisenhart, Luther P. (1977) [1925]. Geometría de Riemann . Princeton, NJ: Princeton University Press . ISBN 0-691-08026-7.
• A. Garcia, FW Hehl, C. Heinicke, A. Macias (2004) "El tensor de Cotton en los espaciotiempos de Riemann", Gravedad clásica y cuántica 21: 1099–1118, Eprint arXiv:gr-qc/0309008