Juego de cilindros

En matemáticas , los conjuntos de cilindros forman una base de la topología del producto de un producto de conjuntos; también son una familia generadora del σ-álgebra de cilindros .

Definición general

Dada una colección de conjuntos, considere el producto cartesiano de todos los conjuntos de la colección. La proyección canónica correspondiente a algunos es la función que asigna cada elemento del producto a su componente. Un conjunto cilíndrico es una preimagen de una proyección canónica o intersección finita de tales preimágenes. Explícitamente, es un conjunto de la forma, para cualquier elección de , secuencia finita de conjuntos y subconjuntos para . ${\displaystyle S}$ ${\textstyle X=\prod _{Y\in S}Y}$ ${\displaystyle Y\in S}$ ${\displaystyle p_{Y}:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}p_{Y_{i}}^{-1}\left(A_{i}\right)=\left\{\left(x\right)\in X\mid p_{Y_{1}}(x)\in A_{1},\dots ,p_{Y_{n}}(x)\in A_{n}\right\}}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y_{1},...Y_{n}\in S}$ ${\displaystyle A_{i}\subseteq Y_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

Entonces, cuando todos los conjuntos en son espacios topológicos , la topología del producto se genera por conjuntos de cilindros correspondientes a los conjuntos abiertos de los componentes. Es decir, cilindros de la forma donde para cada , es abierto en . De la misma manera, en el caso de espacios medibles, la σ-álgebra de cilindros es la que se genera por conjuntos de cilindros correspondientes a los conjuntos medibles de los componentes. ${\displaystyle S}$ ${\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}p_{Y_{i}}^{-1}\left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$

La restricción de que el conjunto de cilindros sea la intersección de un número finito de cilindros abiertos es importante; permitir intersecciones infinitas generalmente da como resultado una topología más fina . En el último caso, la topología resultante es la topología de caja ; los conjuntos de cilindros nunca son cubos de Hilbert .

Juegos de cilindros en productos de conjuntos discretos

Sea un conjunto finito, que contiene n objetos o letras . La colección de todas las cadenas bi-infinitas en estas letras se denota por ${\displaystyle S=\{1,2,\ldots ,n\}}$ $${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }=\{x=(\ldots ,x_{-1},x_{0},x_{1},\ldots ):x_{k}\in S\;\forall k\in \mathbb {Z} \}.}$$

La topología natural de es la topología discreta . Los conjuntos abiertos básicos en la topología discreta constan de letras individuales; por lo tanto, los cilindros abiertos de la topología del producto de son ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }}$ $${\displaystyle C_{t}[a]=\{x\in S^{\mathbb {Z} }:x_{t}=a\}.}$$

Las intersecciones de un número finito de cilindros abiertos son los conjuntos de cilindros. $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{t}[a_{0},\ldots ,a_{m}]&=C_{t}[a_{0}]\,\cap \,C_{t+1}[a_{1}]\,\cap \cdots \cap \,C_{t+m}[a_{m}]\\&=\{x\in S^{\mathbb {Z} }:x_{t}=a_{0},\ldots ,x_{t+m}=a_{m}\}\end{aligned}}.}$$

Los conjuntos cilíndricos son conjuntos abiertos y cerrados . Como elementos de la topología, los conjuntos cilíndricos son, por definición, conjuntos abiertos. El complemento de un conjunto abierto es un conjunto cerrado, pero el complemento de un conjunto cilíndrico es una unión de cilindros, por lo que los conjuntos cilíndricos también son cerrados y, por lo tanto, abiertos y cerrados.

Definición de espacios vectoriales

Dado un espacio vectorial de dimensión finita o infinita sobre un cuerpo K (como los números reales o complejos ), los conjuntos cilíndricos pueden definirse como donde es un conjunto de Borel en , y cada uno es un funcional lineal en ; es decir, , el espacio dual algebraico para . Cuando se trata de espacios vectoriales topológicos , la definición se hace en cambio para elementos , el espacio dual continuo . Es decir, los funcionales se toman como funcionales lineales continuos. ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle C_{A}[f_{1},\ldots ,f_{n}]=\{x\in V:(f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x))\in A\}}$$ ${\displaystyle A\subset K^{n}}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f_{j}\in (V^{*})^{\otimes n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f_{j}\in (V')^{\otimes n}}$ ${\displaystyle f_{j}}$

Aplicaciones

Los conjuntos cilíndricos se utilizan a menudo para definir una topología en conjuntos que son subconjuntos de y aparecen con frecuencia en el estudio de la dinámica simbólica ; véase, por ejemplo, subdesplazamiento de tipo finito . Los conjuntos cilíndricos se utilizan a menudo para definir una medida , utilizando el teorema de extensión de Kolmogorov ; por ejemplo, la medida de un conjunto cilíndrico de longitud m podría estar dada por 1/ m o por 1/2 ^m . ${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }}$

Los conjuntos de cilindros se pueden utilizar para definir una métrica en el espacio: por ejemplo, se dice que dos cadenas son ε-cercanas si una fracción 1−ε de las letras en las cadenas coincide.

Dado que las cadenas en pueden considerarse números p -ádicos , parte de la teoría de los números p -ádicos se puede aplicar a los conjuntos cilíndricos y, en particular, la definición de medidas p -ádicas y métricas p -ádicas se aplica a los conjuntos cilíndricos. Estos tipos de espacios de medida aparecen en la teoría de sistemas dinámicos y se denominan odómetros no singulares . Una generalización de estos sistemas es el odómetro de Markov . ${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }}$

Los conjuntos de cilindros sobre espacios vectoriales topológicos son el ingrediente central en la ^{[ cita requerida ]} definición de espacios abstractos de Wiener , que proporcionan la definición formal de la integral de trayectoria de Feynman o integral funcional de la teoría cuántica de campos , y la función de partición de la mecánica estadística .

Véase también

• Filtro (teoría de conjuntos)  : Familia de conjuntos que representan conjuntos "grandes"
• Filtros en topología  – Uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Medida de juego de cilindros  : forma de generar una medida sobre espacios de productosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Álgebra σ cilíndrica
• Proyección (teoría de conjuntos)  : uno de los dos tipos de funciones u operaciones estrechamente relacionadas en la teoría de conjuntos.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Ultraproducto  – Construcción matemática

Referencias

• RA Minlos (2001) [1994], "Conjunto de cilindros", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press