Conjetura de Hilbert-Pólya

Conjetura matemática sobre la función zeta de Riemann.

En matemáticas , la conjetura de Hilbert-Pólya establece que los ceros no triviales de la función zeta de Riemann corresponden a valores propios de un operador autoadjunto . Es una posible aproximación a la hipótesis de Riemann , mediante la teoría espectral .

Historia

En una carta a Andrew Odlyzko , fechada el 3 de enero de 1982, George Pólya dijo que mientras estaba en Göttingen entre 1912 y 1914, Edmund Landau le preguntó por una razón física que la hipótesis de Riemann debería ser cierta, y sugirió que esto sería el caso si las partes imaginarias t de los ceros

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+it}$

de la función zeta de Riemann correspondía a valores propios de un operador autoadjunto . ^[1] La primera declaración publicada de la conjetura parece estar en Montgomery (1973). ^{[1] [2]}

David Hilbert no trabajó en las áreas centrales de la teoría analítica de números , pero su nombre se hizo conocido por la conjetura de Hilbert-Pólya debido a una historia contada por Ernst Hellinger , un alumno de Hilbert, a André Weil . Hellinger dijo que Hilbert anunció en su seminario a principios del siglo XX que esperaba que la Hipótesis de Riemann fuera una consecuencia del trabajo de Fredholm sobre ecuaciones integrales con un núcleo simétrico. ^{[3] [4] [5] [6]}

Década de 1950 y la fórmula de trazas de Selberg

En el momento de la conversación de Pólya con Landau había pocos fundamentos para tales especulaciones. Sin embargo, Selberg a principios de la década de 1950 demostró una dualidad entre el espectro de longitud de una superficie de Riemann y los valores propios de su laplaciano . Esta llamada fórmula de trazas de Selberg tenía un parecido sorprendente con las fórmulas explícitas que daban credibilidad a la conjetura de Hilbert-Pólya.

Década de 1970 y matrices aleatorias

Hugh Montgomery investigó y descubrió que la distribución estadística de los ceros en la línea crítica tiene una determinada propiedad, ahora llamada conjetura de correlación de pares de Montgomery . Los ceros tienden a no agruparse demasiado, sino a repelerse. ^[2] De visita en el Instituto de Estudios Avanzados en 1972, mostró este resultado a Freeman Dyson , uno de los fundadores de la teoría de matrices aleatorias .

Dyson vio que la distribución estadística encontrada por Montgomery parecía ser la misma que la distribución de correlación de pares para los valores propios de una matriz hermitiana aleatoria . Estas distribuciones son importantes en física: los estados propios de un hamiltoniano , por ejemplo los niveles de energía de un núcleo atómico , satisfacen tales estadísticas. Trabajos posteriores han confirmado firmemente la conexión entre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann y los valores propios de una matriz hermitiana aleatoria extraída del conjunto unitario gaussiano , y ahora se cree que ambos obedecen a las mismas estadísticas. Así, la conjetura de Hilbert-Pólya tiene ahora una base más sólida, aunque todavía no ha conducido a una prueba de la hipótesis de Riemann. ^[7]

Desarrollos posteriores

En 1998, Alain Connes formuló una fórmula de trazas que en realidad es equivalente a la hipótesis de Riemann . Esto reforzó la analogía con la fórmula de las trazas de Selberg hasta el punto de ofrecer afirmaciones precisas. Da una interpretación geométrica de la fórmula explícita de la teoría de números como una fórmula de traza en la geometría no conmutativa de las clases de Adele . ^[8]

Posible conexión con la mecánica cuántica

Pólya dio una posible conexión del operador de Hilbert-Pólya con la mecánica cuántica . El operador de la conjetura de Hilbert-Pólya tiene la forma donde está el hamiltoniano de una partícula de masa que se mueve bajo la influencia de un potencial . La conjetura de Riemann equivale a la afirmación de que el hamiltoniano es hermitiano , o equivalentemente que es real. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+iH}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle V}$

Usando la teoría de perturbaciones de primer orden, la energía del n- ésimo estado propio está relacionada con el valor esperado del potencial:

${\displaystyle E_{n}=E_{n}^{0}+\left.\left\langle \varphi _{n}^{0}\right|V\left|\varphi _{n}^{0}\right.\right\rangle }$

donde y son los valores propios y estados propios de la partícula libre hamiltoniana. Esta ecuación puede tomarse como una ecuación integral de Fredholm de primer tipo , con las energías . Estas ecuaciones integrales pueden resolverse mediante el núcleo resolutivo , de modo que el potencial puede escribirse como ${\displaystyle E_{n}^{0}}$ ${\displaystyle \varphi _{n}^{0}}$ ${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle V(x)=A\int _{-\infty }^{\infty }\left(g(k)+{\overline {g(k)}}-E_{k}^{0}\right)\,R(x,k)\,dk}$

donde es el núcleo resolutivo, es una constante real y ${\displaystyle R(x,k)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle g(k)=i\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-\rho _{n}\right)\delta (k-n)}$

donde está la función delta de Dirac y son las raíces "no triviales" de la función zeta . ${\displaystyle \delta (k-n)}$ ${\displaystyle \rho _{n}}$ ${\displaystyle \zeta (\rho _{n})=0}$

Michael Berry y Jonathan Keating han especulado que el hamiltoniano H es en realidad una cuantificación del hamiltoniano clásico xp , donde p es el momento canónico asociado con x ^[9] El operador hermitiano más simple correspondiente a xp es

${\displaystyle {\hat {H}}={\tfrac {1}{2}}({\hat {x}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {x}})=-i\left(x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{2}}\right).}$

Este refinamiento de la conjetura de Hilbert-Pólya se conoce como conjetura de Berry (o conjetura de Berry-Keating ). A fecha de 2008, todavía está bastante lejos de ser concreto, ya que no está claro en qué espacio debe actuar este operador para obtener la dinámica correcta, ni cómo regularizarlo para obtener las correcciones logarítmicas esperadas. Berry y Keating han conjeturado que, dado que este operador es invariante bajo dilataciones, tal vez la condición de frontera f ( nx ) =  f ( x ) para el número entero n pueda ayudar a obtener los resultados asintóticos correctos, válidos para n grande.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+i{\frac {2\pi n}{\log n}}.}$^[10]

En marzo de 2017 se publicó un artículo escrito por Carl M. Bender , Dorje C. Brody y Markus P. Müller, ^[11] que se basa en el enfoque de Berry sobre el problema. Allí el operador

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{1-e^{-i{\hat {p}}}}}\left({\hat {x}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {x}}\right)\left(1-e^{-i{\hat {p}}}\right)}$

se introdujo, que según ellos satisface ciertas versiones modificadas de las condiciones de la conjetura de Hilbert-Pólya. Jean Bellissard ha criticado este artículo ^[12] y los autores han respondido con aclaraciones. ^[13] Además, Frederick Moxley ha abordado el problema con una ecuación de Schrödinger . ^[14]

Referencias

1. Odlyzko, Andrew , Correspondencia sobre los orígenes de la conjetura de Hilbert-Polya.
2. Montgomery, Hugh L. (1973), "La correlación de pares de ceros de la función zeta", Teoría analítica de números , Proc. Simposios. Matemáticas puras, vol. XXIV, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , págs. 181–193, SEÑOR  0337821.
3. Broughan, K. (2017), Equivalentes de la hipótesis de Riemann Volumen 2: Equivalentes analíticos , p. 192, ISBN 978-1107197121
4. Dieudonne, J. (1981), Historia del análisis funcional , p. 106, ISBN 978-0444861481
5. Endres, S.; Steiner, F. (2009), "El operador Berry-Keating sobre gráficos cuánticos compactos con realizaciones autoadjuntas generales", Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical , 43 (9): 37, arXiv : 0912.3183v5 , doi :10.1088/1751-8113/43/9/095204, S2CID  115162684 ${\displaystyle L^{2}({\mathbb {R} }_{>},{\rm {d}}x)}$
6. Simon, B. (2015), Teoría del operador: un curso completo de análisis, parte 4 , p. 42, ISBN 978-1-4704-1103-9
7. Rudnick, Zeev; Sarnak, Peter (1996), "Ceros de funciones L principales y teoría de matrices aleatorias", Duke Journal of Mathematics , 81 (2): 269–322, doi :10.1215/s0012-7094-96-08115-6.
8. Connes, Alain (1999). "Fórmula de traza en geometría no conmutativa y los ceros de la función zeta de Riemann". Selecta Matemática . 5 : 29-106. arXiv : matemáticas/9811068 . doi :10.1007/s000290050042. S2CID  55820659..
9. Baya, Michael V .; Keating, Jonathan P. (1999a), "H = xp y los ceros de Riemann" (PDF) , en Keating, Jonathan P.; Jmelnitski, David E.; Lerner, Igor V. (eds.), Supersimetría y fórmulas de traza: caos y desorden , Nueva York: Plenum, págs. 355–367, ISBN 978-0-306-45933-7.
10. Baya, Michael V .; Keating, Jonathan P. (1999b), "Los ceros de Riemann y las asintóticas de valores propios" (PDF) , SIAM Review , 41 (2): 236–266, Bibcode :1999SIAMR..41..236B, doi :10.1137/s0036144598347497.
11. Bender, Carl M.; Brody, Dorje C.; Müller, Markus P. (2017), "Hamiltoniano para los ceros de la función Zeta de Riemann", Physical Review Letters , 118 (13): 130201, arXiv : 1608.03679 , Bibcode : 2017PhRvL.118m0201B, doi : 10.1103/PhysRevLett.118.13020 1, PMID  28409977, S2CID  46816531.
12. Belissard, Jean (2017), "Comentario sobre" Hamiltoniano para los ceros de la función Riemann Zeta "", arXiv : 1704.02644 [cuántico-ph]
13. Bender, Carl M.; Brody, Dorje C .; Müller, Markus P. (2017), "Comentario sobre 'Comentario sobre" Hamiltoniano para los ceros de la función zeta de Riemann "'", arXiv : 1705.06767 [cuántico-ph].
14. Moxley, Federico (2017). Una ecuación de Schrödinger para resolver la conjetura de Bender-Brody-Müller . XIII Congreso Internacional de Matemáticas Imt-Gt. Actas de la conferencia AIP. vol. 1905. pág. 030024. Código Bib : 2017AIPC.1905c0024M. doi : 10.1063/1.5012170.

Otras lecturas

• Aneva, B. (1999), "Simetría del operador de Riemann" (PDF) , Physics Letters B , 450 (4): 388–396, arXiv : 0804.1618 , doi :10.1016/s0370-2693(99)00172-0, S2CID  222175681.

Wolf, M. (2020), "¿Probará un físico la hipótesis de Riemann?", Informes sobre el progreso en física , 83 (4): 036001, arXiv : 1410.1214 , doi :10.1088/1361-6633/ab3de7, PMID  31437818, S2CID  85450819.

• Elizalde, Emilio (1994), Técnicas de regularización Zeta con aplicaciones , World Scientific, Bibcode :1994zrta.book.....E, ISBN 978-981-02-1441-8. Aquí el autor explica en qué sentido se relaciona el problema de Hilbert-Polya con el problema de la fórmula de la traza de Gutzwiller y cuál sería el valor de la suma tomada sobre las partes imaginarias de los ceros. ${\displaystyle \exp(i\gamma )}$