Categoría de functor

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría de funtores es una categoría en la que los objetos son los funtores y los morfismos son transformaciones naturales entre los funtores (aquí, hay otro objeto en la categoría). Las categorías de funtores son de interés por dos razones principales: ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle \eta :F\to G}$ ${\displaystyle G:C\to D}$

• muchas categorías que aparecen comúnmente son categorías de funtores (disfrazadas), por lo que cualquier afirmación demostrada para categorías de funtores generales es ampliamente aplicable;
• Cada categoría se integra en una categoría de functor (a través de la incrustación de Yoneda ); la categoría de functor a menudo tiene mejores propiedades que la categoría original, lo que permite ciertas operaciones que no estaban disponibles en la configuración original.

Definición

Supóngase que es una categoría pequeña (es decir, los objetos y morfismos forman un conjunto en lugar de una clase propia ) y es una categoría arbitraria. La categoría de funtores de a , escrita como Fun( , ), Funct( , ), o , tiene como objetos los funtores covariantes de a , y como morfismos las transformaciones naturales entre tales funtores. Nótese que las transformaciones naturales pueden estar compuestas: si es una transformación natural del funtor al funtor , y es una transformación natural del funtor al funtor , entonces la composición define una transformación natural de a . Con esta composición de transformaciones naturales (conocida como composición vertical, ver transformación natural ), satisface los axiomas de una categoría. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle [C,D]}$ ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mu (X):F(X)\to G(X)}$ ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle G:C\to D}$ ${\displaystyle \eta (X):G(X)\to H(X)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \eta (X)\mu (X):F(X)\to H(X)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle D^{C}}$

De manera completamente análoga, también se puede considerar la categoría de todos los funtores contravariantes de a ; escribimos esto como Funct( ). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C^{\text{op}},D}$

Si y son ambas categorías preaditivas (es decir, sus conjuntos de morfismos son grupos abelianos y la composición de morfismos es bilineal ), entonces podemos considerar la categoría de todos los funtores aditivos desde hasta , denotado por Add( , ). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$

Ejemplos

• Si es una categoría discreta pequeña (es decir, sus únicos morfismos son los morfismos identidad), entonces un funtor de a consiste esencialmente en una familia de objetos de , indexada por ; la categoría del funtor se puede identificar con la categoría del producto correspondiente: sus elementos son familias de objetos en y sus morfismos son familias de morfismos en . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C^{I}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

• Una categoría de flecha (cuyos objetos son los morfismos de , y cuyos morfismos son cuadrados conmutativos en ) es simplemente , donde 2 es la categoría con dos objetos y sus morfismos identidad, así como una flecha de un objeto al otro (pero no otra flecha en sentido contrario). ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }}$
• Un grafo dirigido consta de un conjunto de flechas y un conjunto de vértices, y dos funciones desde el conjunto de flechas hasta el conjunto de vértices, especificando el vértice inicial y final de cada flecha. La categoría de todos los grafos dirigidos no es, por tanto, otra que la categoría del functor , donde es la categoría con dos objetos conectados por dos morfismos paralelos (origen y destino), y Set denota la categoría de los conjuntos . ${\displaystyle {\textbf {Set}}^{C}}$ ${\displaystyle C}$
• Cualquier grupo puede considerarse como una categoría de un solo objeto en la que todo morfismo es invertible. La categoría de todos los conjuntos es la misma que la categoría de funtores Set . Las transformaciones naturales son los mapas . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ^{${\displaystyle G}$} ${\displaystyle G}$
• De manera similar al ejemplo anterior, la categoría de las representaciones K -lineales del grupo es la misma que la categoría del functor Vect _K (donde Vect _K denota la categoría de todos los espacios vectoriales sobre el campo K ). ${\displaystyle G}$ ^{${\displaystyle G}$}
• Cualquier anillo puede considerarse como una categoría preaditiva de un objeto; la categoría de módulos izquierdos sobre es la misma que la categoría del funtor aditivo Add( , ) (donde denota la categoría de grupos abelianos ), y la categoría de módulos derechos es Add( , ). Debido a este ejemplo, para cualquier categoría preaditiva , la categoría Add( , ) a veces se denomina la "categoría de módulos izquierdos sobre " y Add( , ) es la "categoría de módulos derechos sobre ". ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{\text{op}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\text{op}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle C}$
• La categoría de prehaces en un espacio topológico es una categoría de funtores: convertimos el espacio topológico en una categoría que tiene los conjuntos abiertos en como objetos y un único morfismo de a si y solo si está contenido en . La categoría de prehaces de conjuntos (grupos abelianos, anillos) en es entonces la misma que la categoría de funtores contravariantes de a (o o ). Debido a este ejemplo, la categoría Funct( , ) a veces se denomina " categoría de prehaces de conjuntos en " incluso para categorías generales que no surgen de un espacio topológico. Para definir haces en una categoría general , se necesita más estructura: una topología de Grothendieck en . (Algunos autores se refieren a las categorías que son equivalentes a como categorías de prehaces . ^[1] ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ring}}}$ ${\displaystyle C^{\text{op}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\textbf {Set}}^{C}}$

Hechos

La mayoría de las construcciones que se pueden llevar a cabo en también se pueden llevar a cabo en realizándolas "componente por componente", por separado para cada objeto en . Por ejemplo, si dos objetos cualesquiera y en tienen un producto , entonces dos funtores cualesquiera y en tienen un producto , definido por para cada objeto en . De manera similar, si es una transformación natural y cada uno tiene un núcleo en la categoría , entonces el núcleo de en la categoría de funtores es el funtor con para cada objeto en . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle F\times G}$ ${\displaystyle (F\times G)(c)=F(c)\times G(c)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta _{c}:F(c)\to G(c)}$ ${\displaystyle \eta _{c}}$ ${\displaystyle K_{c}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(c)=K_{c}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C}$

Como consecuencia, tenemos la regla general de que la categoría functor comparte la mayoría de las propiedades "agradables" de : ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle D}$

• si es completo (o co-completo), entonces también lo es ; ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D^{C}}$
• Si es una categoría abeliana , entonces también lo es ; ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D^{C}}$

También contamos con:

• Si es una categoría pequeña, entonces la categoría de prehaces es un topos . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\textbf {Set}}^{C}}$

Así, a partir de los ejemplos anteriores, podemos concluir inmediatamente que las categorías de grafos dirigidos, -conjuntos y prehaces en un espacio topológico son todas topos completos y cocompletos, y que las categorías de representaciones de , módulos sobre el anillo y prehaces de grupos abelianos en un espacio topológico son todas abelianas, completas y cocompletas. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$

La incrustación de la categoría en una categoría de funtores que se mencionó anteriormente utiliza el lema de Yoneda como su herramienta principal. Para cada objeto de , sea el funtor representable contravariante de a . El lema de Yoneda establece que la asignación ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(-,X)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$

${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Hom} (-,X)}$

es una incrustación completa de la categoría en la categoría Funct( , ). Por lo tanto, se encuentra naturalmente dentro de un topos. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\text{op}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle C}$

Se puede hacer lo mismo para cualquier categoría preaditiva : Yoneda produce entonces una incrustación completa de en la categoría de functor Add( , ). Por lo tanto, naturalmente se encuentra dentro de una categoría abeliana. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\text{op}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle C}$

La intuición mencionada anteriormente (que las construcciones que se pueden llevar a cabo en pueden "elevarse" a ) se puede precisar de varias maneras; la formulación más sucinta utiliza el lenguaje de los funtores adjuntos . Cada funtor induce un funtor (por composición con ). Si y es un par de funtores adjuntos, entonces y es también un par de funtores adjuntos. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle F:D\to E}$ ${\displaystyle F^{C}:D^{C}\to E^{C}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F^{C}}$ ${\displaystyle G^{C}}$

La categoría de funtores tiene todas las propiedades formales de un objeto exponencial ; en particular, los funtores de se encuentran en una correspondencia biunívoca natural con los funtores de a . La categoría de todas las categorías pequeñas con funtores como morfismos es, por lo tanto, una categoría cartesiana cerrada . ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle E\times C\to D}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle {\textbf {Cat}}}$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Diagrama (teoría de categorías)

Referencias

1. Tom Leinster (2004). Higher Operads, Higher Categories. Cambridge University Press. Bibcode :2004hohc.book.....L. Archivado desde el original el 25 de octubre de 2003.