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Prehaz (teoría de categorías)

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un prehaz de una categoría es un funtor . Si es el conjunto parcial de conjuntos abiertos en un espacio topológico , interpretado como una categoría, entonces se recupera la noción habitual de prehaz de un espacio topológico.

Un morfismo de prehaces se define como una transformación natural de funtores. Esto convierte la colección de todos los prehaces en en una categoría, y es un ejemplo de una categoría de funtores . A menudo se escribe como . Un funtor into a veces se denomina profuntor .

Un prehaz que es naturalmente isomorfo al functor hom contravariante Hom(–, A ) para algún objeto A de C se llama prehaz representable .

Algunos autores se refieren a un funtor como un prehaz con valor . [1]

Ejemplos

Propiedades

Propiedad universal

La construcción se llama completitud colimite de C debido a la siguiente propiedad universal :

Proposición [3]  —  Sean C , D categorías y supongamos que D admite colimites pequeños. Entonces cada funtor se factoriza como

donde y es la incrustación de Yoneda y es un functor que preserva el colímite, único hasta el isomorfismo, llamado extensión de Yoneda de .

Demostración : Dado un prehaz F , por el teorema de densidad , podemos escribir donde son objetos en C . Entonces sea que existe por suposición. Como es funtorial, esto determina el funtor . Sucintamente, es la extensión Kan izquierda de a lo largo de y ; de ahí el nombre de "extensión de Yoneda". Para ver conmutaciones con colimites pequeños, mostramos que es un adjunto izquierdo (a algún funtor). Definimos como el funtor dado por: para cada objeto M en D y cada objeto U en C ,

Entonces, para cada objeto M en D , ya que por el lema de Yoneda, tenemos:

lo que quiere decir que es un adjunto izquierdo a .

La proposición produce varios corolarios. Por ejemplo, la proposición implica que la construcción es funcional: es decir, cada funtor determina al funtor .

Variantes

Un prehaz de espacios en una ∞-categoría C es un funtor contravariante de C a la ∞-categoría de espacios (por ejemplo, el nervio de la categoría de complejos CW ). [4] Es una versión ∞-categoría de un prehaz de conjuntos, ya que un "conjunto" se reemplaza por un "espacio". La noción se utiliza, entre otras cosas, en la formulación ∞-categoría del lema de Yoneda que dice: es completamente fiel (aquí C puede ser simplemente un conjunto simplicial ). [5]

Un copresfaz de una categoría C es un prefaz de C op . En otras palabras, es un funtor covariante de C a Set . [6]

Véase también

Notas

  1. ^ Lema de co-Yoneda en el laboratorio n
  2. ^ Kashiwara y Schapira 2005, Corolario 2.4.3.
  3. ^ Kashiwara y Schapira 2005, Proposición 2.7.1.
  4. ^ Lurie, Definición 1.2.16.1.
  5. ^ Lurie, Proposición 5.1.3.1.
  6. ^ "copresheaf". nLab . Consultado el 4 de septiembre de 2024 .

Referencias

Lectura adicional