Casquillo esférico

Sección de una esfera

Un ejemplo de un casquete esférico en azul (y otro en rojo)

En geometría , un casquete esférico o cúpula esférica es una porción de esfera o de bola cortada por un plano . También es un segmento esférico de una base, es decir, limitado por un único plano. Si el plano pasa por el centro de la esfera (formando un círculo máximo ), de modo que la altura del casquete es igual al radio de la esfera, el casquete esférico se denomina hemisferio .

Volumen y área de superficie

El volumen de la tapa esférica y el área de la superficie curva se pueden calcular utilizando combinaciones de

• El radio de la esfera ${\displaystyle r}$
• El radio de la base de la tapa. ${\displaystyle a}$
• La altura de la tapa ${\displaystyle h}$
• El ángulo polar entre los rayos desde el centro de la esfera hasta el vértice del casquete (el polo) y el borde del disco que forma la base del casquete. ${\displaystyle \theta }$

Estas variables están interrelacionadas a través de las fórmulas , , , y . ${\displaystyle a=r\sin \theta }$ ${\displaystyle h=r(1-\cos \theta )}$ ${\displaystyle 2hr=a^{2}+h^{2}}$ ${\displaystyle 2ha=(a^{2}+h^{2})\sin \theta }$

Si denota la latitud en coordenadas geográficas , entonces , y . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta +\phi =\pi /2=90^{\circ }\,}$ ${\displaystyle \cos \theta =\sin \phi }$

Derivación intuitiva del área de superficie a partir del volumen del sector esférico

Nótese que, además del argumento basado en cálculo que se presenta a continuación, el área de la tapa esférica se puede derivar del volumen del sector esférico ${\displaystyle V_{sec}}$ , mediante un argumento intuitivo, ^[2] como

${\displaystyle A={\frac {3}{r}}V_{sec}={\frac {3}{r}}{\frac {2\pi r^{2}h}{3}}=2\pi rh\,.}$

El argumento intuitivo se basa en sumar el volumen total del sector con el de las pirámides triangulares infinitesimales . Utilizando la fórmula del volumen de la pirámide (o del cono) de , donde es el área infinitesimal de cada base piramidal (ubicada en la superficie de la esfera) y es la altura de cada pirámide desde su base hasta su vértice (en el centro de la esfera). Como cada , en el límite, es constante y equivalente al radio de la esfera, la suma de las bases piramidales infinitesimales sería igual al área del sector esférico, y: ${\displaystyle V={\frac {1}{3}}bh'}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h'}$ ${\displaystyle h'}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle V_{sec}=\sum {V}=\sum {\frac {1}{3}}bh'=\sum {\frac {1}{3}}br={\frac {r}{3}}\sum b={\frac {r}{3}}A}$

Derivación del volumen y el área de superficie mediante cálculo

Al girar el área verde se crea una tapa esférica con altura y radio de esfera . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle r}$

Las fórmulas de volumen y área se pueden derivar examinando la rotación de la función.

${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}}$

para , utilizando las fórmulas la superficie de la rotación para el área y el sólido de la revolución para el volumen. El área es ${\displaystyle x\in [0,h]}$

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx}$

La derivada de es ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f'(x)={\frac {r-x}{\sqrt {2rx-x^{2}}}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle 1+f'(x)^{2}={\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}$

La fórmula para el área es por lo tanto

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{0}^{h}r\,dx=2\pi r\left[x\right]_{0}^{h}=2\pi rh}$

El volumen es

${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}f(x)^{2}\,dx=\pi \int _{0}^{h}(2rx-x^{2})\,dx=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{h}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}$

Aplicaciones

Volúmenes de unión e intersección de dos esferas que se intersecan

El volumen de la unión de dos esferas que se intersecan de radios y es ^[3] ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}\,,}$

dónde

${\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}}$

es la suma de los volúmenes de las dos esferas aisladas, y

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})}$

la suma de los volúmenes de los dos casquetes esféricos que forman su intersección. Si es la distancia entre los centros de las dos esferas, la eliminación de las variables conduce a ^{[4] [5]} ${\displaystyle d\leq r_{1}+r_{2}}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right)\,.}$

Volumen de un casquete esférico con base curva

El volumen de un casquete esférico con una base curva se puede calcular considerando dos esferas con radios y , separadas por una cierta distancia , y para las cuales sus superficies se cortan en . Es decir, la curvatura de la base proviene de la esfera 2. El volumen es entonces la diferencia entre el casquete de la esfera 2 (con altura ) y el casquete de la esfera 1 (con altura ), ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x=h}$ ${\displaystyle (r_{2}-r_{1})-(d-h)}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r_{1}-h)-{\frac {\pi [(r_{2}-r_{1})-(d-h)]^{2}}{3}}[3r_{2}-((r_{2}-r_{1})-(d-h))]\,,\\V&={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r_{1}-h)-{\frac {\pi }{3}}(d-h)^{3}\left({\frac {r_{2}-r_{1}}{d-h}}-1\right)^{2}\left[{\frac {2r_{2}+r_{1}}{d-h}}+1\right]\,.\end{aligned}}}$

Esta fórmula es válida únicamente para configuraciones que satisfacen y . Si la esfera 2 es muy grande , de modo que , por lo tanto y , que es el caso de un casquete esférico con una base que tiene una curvatura despreciable, la ecuación anterior es igual al volumen de un casquete esférico con una base plana, como se esperaba. ${\displaystyle 0<d<r_{2}}$ ${\displaystyle d-(r_{2}-r_{1})<h\leq r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}\gg r_{1}}$ ${\displaystyle d\gg h}$ ${\displaystyle r_{2}\approx d}$

Áreas de esferas que se intersecan

Consideremos dos esferas que se intersecan de radios y , con sus centros separados por una distancia . Se intersecan si ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle |r_{1}-r_{2}|\leq d\leq r_{1}+r_{2}}$

De la ley de los cosenos, el ángulo polar del casquete esférico sobre la esfera de radio es ${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}{2r_{1}d}}}$

Usando esto, el área de superficie de la tapa esférica en la esfera de radio es ${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle A_{1}=2\pi r_{1}^{2}\left(1+{\frac {r_{2}^{2}-r_{1}^{2}-d^{2}}{2r_{1}d}}\right)}$

Área de superficie limitada por discos paralelos

El área de la superficie curva del segmento esférico delimitado por dos discos paralelos es la diferencia de las áreas de las superficies de sus respectivos casquetes esféricos. Para una esfera de radio , y casquetes con alturas y , el área es ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$

${\displaystyle A=2\pi r|h_{1}-h_{2}|\,,}$

o, utilizando coordenadas geográficas con latitudes y , ^[6] ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$

${\displaystyle A=2\pi r^{2}|\sin \phi _{1}-\sin \phi _{2}|\,,}$

Por ejemplo, suponiendo que la Tierra es una esfera de radio 6371 km, la superficie del Ártico (al norte del Círculo Polar Ártico, en la latitud 66,56° en agosto de 2016 ^[7] ) es 2 π  ⋅  6371 ²  | sin 90° − sin 66,56° | = 21,04 millones de km ² (8,12 millones de mi²), o 0,5  ⋅  | sin 90° − sin 66,56° | = 4,125% de la superficie total de la Tierra.

Esta fórmula también se puede utilizar para demostrar que la mitad de la superficie de la Tierra se encuentra entre las latitudes 30° Sur y 30° Norte, en una zona esférica que abarca todos los trópicos .

Generalizaciones

Secciones de otros sólidos

La cúpula esferoidal se obtiene seccionando una porción de un esferoide de modo que la cúpula resultante sea circularmente simétrica (tenga un eje de rotación), y de la misma manera la cúpula elipsoidal se deriva del elipsoide .

Casquillo hiperesférico

En general, el volumen -dimensional de una capa hiperesferica de altura y radio en el espacio euclidiano -dimensional viene dado por: ^[8] donde (la función gamma ) viene dada por . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(\theta )\,\mathrm {d} \theta }$$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$

La fórmula para se puede expresar en términos del volumen de la unidad n-bola y la función hipergeométrica o la función beta incompleta regularizada como ${\displaystyle V}$ ${\textstyle C_{n}=\pi ^{n/2}/\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}$ ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ ${\displaystyle I_{x}(a,b)}$ $${\displaystyle V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),}$$

y la fórmula del área se puede expresar en términos del área de la unidad n-bola como donde . ${\displaystyle A}$ ${\textstyle A_{n}={2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}}$ $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),}$$ ${\displaystyle 0\leq h\leq r}$

A. Chudnov ^[9] derivó las siguientes fórmulas: donde $${\displaystyle A=A_{n}p_{n-2}(q),V=C_{n}p_{n}(q),}$$ $${\displaystyle q=1-h/r(0\leq q\leq 1),p_{n}(q)=(1-G_{n}(q)/G_{n}(1))/2,}$$ $${\displaystyle G_{n}(q)=\int _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt.}$$

Para impar : ${\displaystyle n=2k+1}$ $${\displaystyle G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}.}$$

Asintóticos

Si y , entonces donde es la integral de la distribución normal estándar . ^[10] ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle q{\sqrt {n}}={\text{const.}}}$ ${\displaystyle p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}})}$ ${\displaystyle F()}$

Un límite más cuantitativo es . Para las grandes capitalizaciones (es decir, cuando ) , el límite se simplifica a . ^[11] ${\displaystyle A/A_{n}=n^{\Theta (1)}\cdot [(2-h/r)h/r]^{n/2}}$ ${\displaystyle (1-h/r)^{4}\cdot n=O(1)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle n^{\Theta (1)}\cdot e^{-(1-h/r)^{2}n/2}}$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Segmento circular : el objeto 2D análogo
• Ángulo sólido : contiene fórmula para tapas de n-esferas
• Segmento esférico
• Sector esférico
• Cuña esférica

Referencias

1. Polyanin, Andrei D; Manzhirov, Alexander V. (2006), Manual de matemáticas para ingenieros y científicos, CRC Press, pág. 69, ISBN 9781584885023.
2. Shekhtman, Zor. "Unizor - Geometry3D - Sectores esféricos". YouTube . Zor Shekhtman. Archivado desde el original el 22 de diciembre de 2021 . Consultado el 31 de diciembre de 2018 .
3. Connolly, Michael L. (1985). "Cálculo del volumen molecular". Revista de la Sociedad Química Americana . 107 (5): 1118–1124. doi :10.1021/ja00291a006.
4. Pavani, R.; Ranghino, G. (1982). "Un método para calcular el volumen de una molécula". Computers & Chemistry . 6 (3): 133–135. doi :10.1016/0097-8485(82)80006-5.
5. Bondi, A. (1964). "Volúmenes y radios de Van der Waals". Revista de química física . 68 (3): 441–451. doi :10.1021/j100785a001.
6. Scott E. Donaldson, Stanley G. Siegel (2001). Desarrollo de software exitoso. ISBN 9780130868268. Recuperado el 29 de agosto de 2016 .
7. "Oblicuidad de la eclíptica (media de Eps)". Neoprogrammics.com . Consultado el 13 de mayo de 2014 .
8. Li, S. (2011). "Fórmulas concisas para el área y el volumen de una capa hiperesférico" (PDF) . Revista asiática de matemáticas y estadísticas : 66–70.
9. Chudnov, Alexander M. (1986). "Sobre algoritmos de generación y recepción de señales minimax (traducción al inglés)". Problemas de transmisión de información . 22 (4): 49–54.
10. Chudnov, Alexander M (1991). "Problemas de teoría de juegos de síntesis de algoritmos de generación y recepción de señales (traducción al inglés)". Problemas de transmisión de información . 27 (3): 57–65.
11. Becker, Anja; Ducas, Léo; Gama, Nicolas; Laarhoven, Thijs (10 de enero de 2016). Krauthgamer, Robert (ed.). Nuevas direcciones en la búsqueda del vecino más cercano con aplicaciones al tamizado en red . Vigésimo séptimo simposio anual ACM-SIAM sobre algoritmos discretos (SODA '16), Arlington, Virginia. Filadelfia: Society for Industrial and Applied Mathematics. págs. 10–24. ISBN 978-1-61197-433-1.

Lectura adicional

• Richmond, Timothy J. (1984). "Área superficial accesible al solvente y volumen excluido en proteínas: ecuación analítica para esferas superpuestas e implicaciones para el efecto hidrofóbico". Journal of Molecular Biology . 178 (1): 63–89. doi :10.1016/0022-2836(84)90231-6. PMID  6548264.
• Lustig, Rolf (1986). "Geometría de cuatro esferas fusionadas en una configuración espacial arbitraria". Física molecular . 59 (2): 195–207. Bibcode :1986MolPh..59..195L. doi :10.1080/00268978600102011.
• Gibson, KD; Scheraga, Harold A. (1987). "Volumen de la intersección de tres esferas de tamaño desigual: una fórmula simplificada". The Journal of Physical Chemistry . 91 (15): 4121–4122. doi :10.1021/j100299a035.
• Gibson, KD; Scheraga, Harold A. (1987). "Cálculo exacto del volumen y área superficial de moléculas de esferas duras fusionadas con radios atómicos desiguales". Física molecular . 62 (5): 1247–1265. Código Bibliográfico :1987MolPh..62.1247G. doi :10.1080/00268978700102951.
• Petitjean, Michel (1994). "Sobre el cálculo analítico de superficies y volúmenes de van der Waals: algunos aspectos numéricos". Journal of Computational Chemistry . 15 (5): 507–523. doi :10.1002/jcc.540150504.
• Grant, JA; Pickup, BT (1995). "Una descripción gaussiana de la forma molecular". The Journal of Physical Chemistry . 99 (11): 3503–3510. doi :10.1021/j100011a016.
• Busa, Jan; Dzurina, Jozef; Hayryan, Edik; Hayryan, Shura (2005). "ARVO: Un paquete de Fortran para calcular el área superficial accesible al solvente y el volumen excluido de esferas superpuestas mediante ecuaciones analíticas". Computer Physics Communications . 165 (1): 59–96. Bibcode :2005CoPhC.165...59B. doi :10.1016/j.cpc.2004.08.002.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Capuchón esférico". MathWorld .Derivación y algunas fórmulas adicionales.
• Calculadora en línea para el volumen y el área de la tapa esférica.
• Resumen de fórmulas esféricas.