Carl Gustav Jacob Jacobi ( / dʒ ə ˈ k oʊ b i / ; [2] alemán: [jaˈkoːbi] ; 10 de diciembre de 1804 - 18 de febrero de 1851) [a] fue un matemático alemán que hizo contribuciones fundamentales a las funciones elípticas , la dinámica , las ecuaciones diferenciales , los determinantes y la teoría de números .
Jacobi nació en Potsdam el 10 de diciembre de 1804, de ascendencia judía asquenazí . Fue el segundo de los cuatro hijos de un banquero, Simon Jacobi. Su hermano mayor, Moritz , también sería conocido más tarde como ingeniero y físico. Al principio, recibió la educación en casa de su tío Lehman, quien le instruyó en las lenguas clásicas y los elementos de las matemáticas. En 1816, Jacobi, con doce años, fue al Gymnasium de Potsdam , donde se enseñaban a los estudiantes todas las materias estándar: lenguas clásicas, historia, filología, matemáticas, ciencias, etc. Como resultado de la buena educación que había recibido de su tío, así como de sus propias habilidades notables, después de menos de medio año, Jacobi fue trasladado al último año a pesar de su corta edad. Sin embargo, como la Universidad no aceptaba alumnos menores de 16 años, tuvo que permanecer en la clase superior hasta 1821. Aprovechó este tiempo para ampliar sus conocimientos, mostrando interés por todas las materias, incluidas latín, griego, filología, historia y matemáticas. Durante este período también hizo sus primeros intentos de investigación, tratando de resolver la ecuación de quinto grado por radicales . [4] [5]
En 1821 Jacobi fue a estudiar a la Universidad de Berlín , donde inicialmente dividió su atención entre sus pasiones por la filología y las matemáticas . En filología, participó en los seminarios de Böckh , llamando la atención del profesor con su talento. Jacobi no siguió muchas clases de matemáticas en ese momento, encontrando el nivel de matemáticas enseñadas en la Universidad de Berlín demasiado elemental. Continuó, en cambio, con su estudio privado de las obras más avanzadas de Euler , Lagrange y Laplace . En 1823 comprendió que necesitaba tomar una decisión entre sus intereses en pugna y eligió dedicar toda su atención a las matemáticas. [6] En el mismo año se calificó para enseñar en la escuela secundaria y se le ofreció un puesto en el Joachimsthal Gymnasium en Berlín. Jacobi decidió en cambio continuar trabajando para obtener un puesto universitario. En 1825, obtuvo el grado de Doctor en Filosofía con una disertación sobre la descomposición en fracciones parciales de fracciones racionales defendida ante una comisión dirigida por Enno Dirksen . Inmediatamente después obtuvo la habilitación y al mismo tiempo se convirtió al cristianismo. Jacobi, de 21 años, ya apto para impartir clases universitarias, impartió clases en 1825/26 sobre teoría de curvas y superficies en la Universidad de Berlín. [6] [7]
En 1826, Jacobi se convirtió en profesor privado , al año siguiente en profesor extraordinario y, finalmente, en 1829, en profesor titular de matemáticas en la Universidad de Königsberg , cátedra que ocupó hasta 1842. Sufrió una crisis nerviosa por exceso de trabajo en 1843. Luego visitó Italia durante unos meses para recuperar su salud. A su regreso se trasladó a Berlín, donde vivió como pensionista real, salvo un breve interino, hasta su muerte. [3] Durante la Revolución de 1848, Jacobi se involucró políticamente y presentó sin éxito su candidatura parlamentaria en nombre de un club liberal . Esto llevó, tras la supresión de la revolución, a que se le cortara la beca real, pero su fama y reputación eran tales que pronto se reanudaron, gracias a la intervención personal de Alexander von Humboldt .
Jacobi murió en 1851 a causa de una infección de viruela . Su tumba se conserva en un cementerio del barrio berlinés de Kreuzberg , el Friedhof I der Dreifaltigkeits-Kirchengemeinde (calle Baruther 61). Su tumba está cerca de la del astrónomo Johann Encke . El cráter Jacobi en la Luna lleva su nombre.
Uno de los mayores logros de Jacobi fue su teoría de las funciones elípticas y su relación con la función elíptica theta . Esta fue desarrollada en su gran tratado Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829), y en artículos posteriores en el Crelle's Journal . Las funciones theta son de gran importancia en la física matemática debido a su papel en el problema inverso para flujos periódicos y cuasiperiódicos. Las ecuaciones de movimiento son integrables en términos de las funciones elípticas de Jacobi en los casos bien conocidos del péndulo , el trompo de Euler , el trompo de Lagrange simétrico en un campo gravitatorio y el problema de Kepler (movimiento planetario en un campo gravitatorio central).
También hizo contribuciones fundamentales en el estudio de las ecuaciones diferenciales y en la mecánica clásica , en particular la teoría de Hamilton-Jacobi .
El poder particular de Jacobi residía principalmente en el desarrollo algebraico, e hizo importantes contribuciones de este tipo en muchas áreas de las matemáticas, como lo demuestra su larga lista de artículos en el Crelle's Journal y en otros lugares desde 1826 en adelante. [3] Se dice que les dijo a sus estudiantes que cuando se busca un tema de investigación, uno debe 'Invertir, siempre invertir' (originalmente en alemán: "man muss immer umkehren" ), lo que refleja su creencia de que invertir resultados conocidos puede abrir nuevos campos para la investigación, por ejemplo, invertir integrales elípticas y centrarse en la naturaleza de las funciones elípticas y theta. [8]
En su artículo de 1835, Jacobi demostró el siguiente resultado básico que clasifica las funciones periódicas (incluidas las elípticas):
Si una función univariante de un solo valor es periódica múltiple , entonces dicha función no puede tener más de dos períodos, y la relación de los períodos no puede ser un número real.
Descubrió muchas de las propiedades fundamentales de las funciones theta, incluida la ecuación funcional y la fórmula del triple producto de Jacobi , así como muchos otros resultados sobre series q y series hipergeométricas .
La solución del problema de inversión de Jacobi para el mapa hiperelíptico de Abel por Weierstrass en 1854 requirió la introducción de la función theta hiperelíptica y más tarde la función theta general de Riemann para curvas algebraicas de género arbitrario . El toro complejo asociado a una curva algebraica de género, obtenido por cociente por la red de períodos se conoce como la variedad jacobiana . Este método de inversión, y su posterior extensión por Weierstrass y Riemann a curvas algebraicas arbitrarias, puede verse como una generalización de género superior de la relación entre las integrales elípticas y las funciones elípticas de Jacobi o Weierstrass.
Jacobi fue el primero en aplicar funciones elípticas a la teoría de números , por ejemplo demostrando el teorema de dos cuadrados de Fermat y el teorema de cuatro cuadrados de Lagrange , y resultados similares para 6 y 8 cuadrados.
Sus otros trabajos en teoría de números continuaron el trabajo de Gauss : nuevas pruebas de reciprocidad cuadrática y la introducción del símbolo de Jacobi ; contribuciones a leyes de reciprocidad superiores, investigaciones de fracciones continuas y la invención de las sumas de Jacobi .
También fue uno de los primeros fundadores de la teoría de determinantes. [9] En particular, inventó el determinante jacobiano formado a partir de las n 2 derivadas parciales de n funciones dadas de n variables independientes, que juega un papel importante en los cambios de variables en integrales múltiples y en muchas investigaciones analíticas. [3] En 1841 reintrodujo la notación de derivada parcial ∂ de Legendre , que se convertiría en estándar.
Fue uno de los primeros en introducir y estudiar los polinomios simétricos que ahora se conocen como polinomios de Schur , dando la llamada fórmula bialternante para estos, que es un caso especial de la fórmula del carácter de Weyl , y derivando las identidades de Jacobi-Trudi . También descubrió la fórmula de Desnanot-Jacobi para determinantes , que subyacen a las relaciones de Plücker para los Grassmannianos .
Los estudiantes de campos vectoriales , teoría de Lie , mecánica hamiltoniana y álgebras de operadores a menudo se encuentran con la identidad de Jacobi , el análogo de la asociatividad para la operación de corchete de Lie .
La teoría planetaria y otros problemas dinámicos particulares también ocuparon su atención de vez en cuando. Mientras contribuía a la mecánica celeste , introdujo la integral de Jacobi (1836) para un sistema de coordenadas siderales . Su teoría del último multiplicador se trata en Vorlesungen über Dynamik , editado por Alfred Clebsch (1866). [3]
Dejó muchos manuscritos, partes de los cuales han sido publicadas a intervalos en el Crelle's Journal. Entre sus otras obras se incluyen Commentatio de transformere integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem (1832), Canon arithmeticus (1839) y Opuscula mathematica (1846-1857). Sus Gesammelte Werke (1881-1891) fueron publicadas por la Academia de Berlín . [3]
