Teorema de Campbell (probabilidad)

Teorema En teoría de probabilidad y estadística

En teoría de probabilidad y estadística , el teorema de Campbell o teorema de Campbell-Hardy es una ecuación particular o un conjunto de resultados relacionados con la expectativa de una función sumada sobre un proceso puntual a una integral que involucra la medida media del proceso puntual, que permite el cálculo del valor esperado y la varianza de la suma aleatoria . Una versión del teorema, ^[1] también conocida como fórmula de Campbell , ^{[2] : 28} implica una ecuación integral para la suma mencionada anteriormente sobre un proceso puntual general, y no necesariamente un proceso puntual de Poisson. ^[2] También existen ecuaciones que involucran medidas de momento y medidas de momento factorial que se consideran versiones de la fórmula de Campbell. Todos estos resultados se emplean en probabilidad y estadística con una importancia particular en la teoría de procesos puntuales ^[3] y la teoría de colas ^[4] así como en los campos relacionados geometría estocástica , ^[1] teoría de percolación continua , ^[5] y estadística espacial . ^{[2] [6]}

Otro resultado llamado teorema de Campbell ^[7] es específicamente para el proceso puntual de Poisson y proporciona un método para calcular momentos así como la funcional de Laplace de un proceso puntual de Poisson.

El nombre de ambos teoremas proviene del trabajo ^{[8] [9]} de Norman R. Campbell sobre el ruido termoiónico , también conocido como ruido de disparo , en tubos de vacío , ^{[3] [10]} que se inspiró en parte en el trabajo de Ernest Rutherford y Hans Geiger sobre la detección de partículas alfa , donde el proceso puntual de Poisson surgió como una solución a una familia de ecuaciones diferenciales de Harry Bateman . ^[10] En el trabajo de Campbell, presenta los momentos y funciones generadoras de la suma aleatoria de un proceso de Poisson en la línea real, pero remarca que el principal argumento matemático se debió a GH Hardy , que ha inspirado el resultado que a veces se llama teorema de Campbell-Hardy . ^{[10] [11]}

Fondo

Para un proceso puntual definido en un espacio euclidiano de dimensión d , ^[a] el teorema de Campbell ofrece una forma de calcular las expectativas de una función de valor real definida también en y sumada sobre , a saber: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\textbf {R}}^{d}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\textbf {R}}^{d}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right],}$

donde denota la expectativa y se utiliza la notación de conjunto de tal manera que se considera un conjunto aleatorio (ver Notación de proceso puntual ). Para un proceso puntual , el teorema de Campbell relaciona la expectativa anterior con la medida de intensidad . En relación con un conjunto de Borel B, la medida de intensidad de se define como: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)],}$

donde se utiliza la notación de medida de tal manera que se considera una medida de conteo aleatorio . La cantidad se puede interpretar como el número promedio de puntos del proceso de puntos ubicado en el conjunto B. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Lambda (B)}$ ${\displaystyle N}$

Primera definición: proceso de puntos generales

Una versión del teorema de Campbell es para un proceso puntual general (no necesariamente simple) con medida de intensidad: ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)],}$

Se conoce como fórmula de Campbell ^[2] o teorema de Campbell ^[1] [ ^{12] [13]} , que proporciona un método para calcular las expectativas de sumas de funciones mensurables con rangos en la línea real . Más específicamente, para un proceso puntual y una función medible , la suma de sobre el proceso puntual se da por la ecuación: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f:{\textbf {R}}^{d}\rightarrow {\textbf {R}}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle E\left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\Lambda (dx),}$

donde si un lado de la ecuación es finito, entonces también lo es el otro lado. ^[14] Esta ecuación es esencialmente una aplicación del teorema de Fubini ^[1] y es válida para una amplia clase de procesos puntuales, simples o no. ^[2] Dependiendo de la notación integral, ^[b] esta integral también puede escribirse como: ^[14]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f\,d\Lambda ,}$

Si la medida de intensidad de un proceso puntual tiene una densidad , entonces la fórmula de Campbell se convierte en: ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \lambda (x)}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\lambda (x)\,dx}$

Proceso de punto estacionario

Para un proceso puntual estacionario con densidad constante , el teorema o fórmula de Campbell se reduce a una integral de volumen: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \lambda >0}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\lambda \int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\,dx}$

Esta ecuación es válida naturalmente para los procesos puntuales de Poisson homogéneos, que son un ejemplo de un proceso estocástico estacionario . ^[1]

Aplicaciones: Sumas aleatorias

El teorema de Campbell para procesos puntuales generales proporciona un método para calcular la esperanza de una función de un punto (de un proceso puntual) sumada a todos los puntos del proceso puntual. Estas sumas aleatorias a lo largo de procesos puntuales tienen aplicaciones en muchas áreas en las que se utilizan como modelos matemáticos.

Ruido de disparo

Campbell estudió originalmente un problema de sumas aleatorias motivado por la comprensión del ruido termoiónico en válvulas, que también se conoce como ruido de disparo. En consecuencia, el estudio de sumas aleatorias de funciones sobre procesos puntuales se conoce como ruido de disparo en probabilidad y, en particular, en teoría de procesos puntuales.

Interferencias en redes inalámbricas

En las comunicaciones de redes inalámbricas, cuando un transmisor intenta enviar una señal a un receptor, todos los demás transmisores de la red pueden considerarse interferencias, lo que plantea un problema similar al del ruido en las redes de telecomunicaciones cableadas tradicionales en términos de la capacidad de enviar datos según la teoría de la información. Si se supone que la posición de los transmisores que interfieren forma algún proceso puntual, entonces el ruido de disparo puede utilizarse para modelar la suma de sus señales interferentes, lo que ha dado lugar a modelos de geometría estocástica de redes inalámbricas. ^[15]

Neurociencia

La entrada total en las neuronas es la suma de muchas entradas sinápticas con cursos temporales similares. Cuando las entradas se modelan como procesos puntuales de Poisson independientes, la corriente media y su varianza se dan mediante el teorema de Campbell. Una extensión común es considerar una suma con amplitudes aleatorias.

${\displaystyle S=\sum _{x\in {N}}a_{n}f(x)}$

En este caso los cumulantes de igualdad ${\displaystyle \kappa _{i}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \kappa _{i}=\lambda {\overline {a^{i}}}\int f(x)^{i}dx}$

¿Dónde están los momentos brutos de la distribución de . ^[16] ${\displaystyle {\overline {a^{i}}}}$ ${\displaystyle a}$

Generalizaciones

Para los procesos puntuales generales, existen otras versiones más generales del teorema de Campbell dependiendo de la naturaleza de la suma aleatoria y, en particular, de la función que se suma sobre el proceso puntual.

Funciones de puntos múltiples

Si la función es una función de más de un punto del proceso puntual, se necesitan las medidas de momento o las medidas de momento factorial del proceso puntual, que se pueden comparar con los momentos y factoriales de las variables aleatorias. El tipo de medida necesaria depende de si los puntos del proceso puntual en la suma aleatoria deben ser distintos o pueden repetirse.

Puntos de repetición

Las medidas de momento se utilizan cuando se permite que los puntos se repitan.

Puntos diferenciados

Las medidas de momento factorial se utilizan cuando no se permite que los puntos se repitan, por lo tanto, los puntos son distintos.

Funciones de los puntos y el proceso puntual

Para los procesos puntuales generales, el teorema de Campbell se aplica únicamente a las sumas de funciones de un único punto del proceso puntual. Para calcular la suma de una función de un único punto, así como de todo el proceso puntual, se requieren teoremas de Campbell generalizados utilizando la distribución de Palm del proceso puntual, que se basa en la rama de la probabilidad conocida como teoría de Palm o cálculo de Palm .

Segunda definición: proceso puntual de Poisson

Otra versión del teorema de Campbell ^[7] dice que para un proceso puntual de Poisson con medida de intensidad y una función medible , la suma aleatoria ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle f:{\textbf {R}}^{d}\rightarrow {\textbf {R}}}$

${\displaystyle S=\sum _{x\in N}f(x)}$

es absolutamente convergente con probabilidad uno si y sólo si la integral

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{d}}\min(|f(x)|,1)\Lambda (dx)<\infty .}$

Siempre que esta integral sea finita, entonces el teorema afirma además que para cualquier valor complejo la ecuación ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle E(e^{\theta S})=\exp \left(\int _{{\textbf {R}}^{d}}[e^{\theta f(x)}-1]\Lambda (dx)\right),}$

se cumple si la integral del lado derecho converge , lo que es el caso de . Además, ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle E(S)=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\Lambda (dx),}$

y si esta integral converge, entonces

${\displaystyle \operatorname {Var} (S)=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)^{2}\Lambda (dx),}$

donde denota la varianza de la suma aleatoria . ${\displaystyle {\text{Var}}(S)}$ ${\displaystyle S}$

De este teorema se desprenden algunos resultados esperados para el proceso puntual de Poisson , incluido su funcional de Laplace . ^{[7] [c]}

Aplicación: Funcional de Laplace

Para un proceso puntual de Poisson con medida de intensidad , la funcional de Laplace es una consecuencia de la versión anterior del teorema de Campbell ^[7] y se da por: ^[15] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{N}(sf):=E{\bigl [}e^{-s\sum _{x\in N}f(x)}{\bigr ]}=\exp {\Bigl [}-\int _{{\textbf {R}}^{d}}(1-e^{-sf(x)})\Lambda (dx){\Bigr ]},}$

que para el caso homogéneo es:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{N}(sf)=\exp {\Bigl [}-\lambda \int _{{\textbf {R}}^{d}}(1-e^{-sf(x)})\,dx{\Bigr ]}.}$

Notas

1. Se puede definir en un espacio matemático más general que el espacio euclidiano, pero a menudo este espacio se utiliza para modelos. ^[3]
2. Como se analiza en el Capítulo 1 de Stoyan, Kendall y Mecke, ^[1] esto se aplica a todas las demás integrales presentadas aquí y en otros lugares debido a la variación de la notación integral.
3. Kingman ^[7] lo llama una "funcionalidad característica", pero Daley y Vere-Jones ^[3] y otros lo llaman una "funcionalidad de Laplace", ^{[1] [15]} reservando el término "funcionalidad característica" para cuando es imaginaria. ${\displaystyle \theta }$

Referencias

1. D. Stoyan, WS Kendall, J. Mecke. Geometría estocástica y sus aplicaciones , volumen 2. Wiley Chichester, 1995.
2. Baddeley, A.; Barany, I.; Schneider, R.; Weil, W. (2007). "Procesos puntuales espaciales y sus aplicaciones". Geometría estocástica . Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 1892. pág. 1. doi :10.1007/978-3-540-38175-4_1. ISBN 978-3-540-38174-7.
3. Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2003). Introducción a la teoría de procesos puntuales . Probabilidad y sus aplicaciones. doi :10.1007/b97277. ISBN 978-0-387-95541-4.
4. Brémaud, Pierre; Baccelli, François (2002). Elementos de la teoría de colas: cálculo de la martingala de Palm y recurrencias estocásticas . Springer Science & Business Media. pág. 18.195. ISBN 978-3-642-08537-6.
5. R. Meester y R. Roy. Percolación continua, volumen 119 de Cambridge Tracts in Mathematics, 1996.
6. Moller, J.; Plenge Waagepetersen, R. (2003). Inferencia estadística y simulación para procesos puntuales espaciales . Monografías C&H/CRC sobre estadística y probabilidad aplicada. Vol. 100. CiteSeerX 10.1.1.124.1275 . doi :10.1201/9780203496930. ISBN .  978-1-58488-265-7.
7. Kingman, John (1993). Procesos de Poisson . Oxford Science Publications. pág. 28. ISBN 978-0-19-853693-2.
8. Campbell, N. (1909). "El estudio de los fenómenos discontinuos". Proc. Camb. Phil. Soc . 15 : 117–136.
9. Campbell, N. (1910). "Discontinuidades en la emisión de luz". Proc. Camb. Phil. Soc . 15 : 310–328.
10. Stirzaker, David (2000). "Consejos para los erizos, o, Las constantes pueden variar". The Mathematical Gazette . 84 (500): 197–210. doi :10.2307/3621649. JSTOR  3621649.
11. Grimmett G. y Stirzaker D. (2001). Probabilidad y procesos aleatorios . Oxford University Press. pág. 290.
12. Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2008). Introducción a la teoría de procesos puntuales . Probabilidad y sus aplicaciones. doi :10.1007/978-0-387-49835-5. ISBN 978-0-387-21337-8.
13. P. Brémaud. Análisis de Fourier de procesos estocásticos . Springer, 2014.
14. A. Baddeley. Un curso intensivo de geometría estocástica. Geometría estocástica: probabilidad y cálculo. Eds. OE Barndorff-Nielsen, WS Kendall, HNN van Lieshout (Londres: Chapman and Hall) pp . 1–35, 1999.
15. Baccelli, FO (2009). "Geometría estocástica y redes inalámbricas: Volumen I Teoría" (PDF) . Fundamentos y tendencias en redes . 3 (3–4): 249–449. doi :10.1561/1300000006.
16. SO Rice Análisis matemático del ruido aleatorio Bell Syst. Tech. J. 24, 1944 reimpreso en "Artículos seleccionados sobre ruido y procesos aleatorios N. Wax (editor) Dover 1954.