Sistema de base compleja

Sistema de numeración posicional

En aritmética , un sistema de base compleja es un sistema numérico posicional cuya base es un número imaginario (propuesto por Donald Knuth en 1955 ^{[1] [2]} ) o complejo (propuesto por S. Khmelnik en 1964 ^[3] y Walter F. Penney en 1965 ^{[4] [5] [6]} ).

En general

Sea un dominio integral y el valor absoluto (de Arquímedes) en él. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |\cdot |}$

Un número en un sistema numérico posicional se representa como una expansión. ${\displaystyle X\in D}$

${\displaystyle X=\pm \sum _{\nu }^{}x_{\nu }\rho ^{\nu },}$

dónde

La cardinalidad se llama nivel de descomposición . ${\displaystyle R:=|Z|}$

Un sistema numérico posicional o sistema de codificación es un par

${\displaystyle \left\langle \rho ,Z\right\rangle }$

con base y conjunto de dígitos , y escribimos el conjunto estándar de dígitos con dígitos como ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle Z_{R}:=\{0,1,2,\dotsc ,{R-1}\}.}$

Son deseables sistemas de codificación con las siguientes características:

• Cada número en , e. gramo. los números enteros , los enteros gaussianos o los números enteros , es representable únicamente como un código finito , posiblemente con un signo ±. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}]}$
• Todo número en el campo de las fracciones , que posiblemente se complete para la métrica dada por producir o , es representable como una serie infinita que converge bajo para , y la medida del conjunto de números con más de una representación es 0. Esto último requiere que el conjunto sea mínimo, es decir, para números reales y para números complejos. ${\displaystyle K:=\operatorname {Quot} (D)}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle K:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle K:=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle \nu \to -\infty }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle R=|\rho |}$ ${\displaystyle R=|\rho |^{2}}$

En los números reales

En esta notación, nuestro esquema de codificación decimal estándar se denota por

${\displaystyle \left\langle 10,Z_{10}\right\rangle ,}$

el sistema binario estándar es

${\displaystyle \left\langle 2,Z_{2}\right\rangle ,}$

el sistema negabinario es

${\displaystyle \left\langle -2,Z_{2}\right\rangle ,}$

y el sistema ternario equilibrado ^[2] es

${\displaystyle \left\langle 3,\{-1,0,1\}\right\rangle .}$

Todos estos sistemas de codificación tienen las características mencionadas para y , y los dos últimos no requieren signo. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

En los números complejos

Los sistemas numéricos posicionales bien conocidos para números complejos incluyen los siguientes ( siendo la unidad imaginaria ): ${\displaystyle \mathrm {i} }$

• ${\displaystyle \left\langle {\sqrt {R}},Z_{R}\right\rangle }$, por ejemplo ^[1] y ${\displaystyle \left\langle \pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle }$

${\displaystyle \left\langle \pm 2\mathrm {i} ,Z_{4}\right\rangle }$, ^[2] la base quater-imaginaria , propuesta por Donald Knuth en 1955.

• ${\displaystyle \left\langle {\sqrt {2}}e^{\pm {\tfrac {\pi }{2}}\mathrm {i} }=\pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle }$y

${\displaystyle \left\langle {\sqrt {2}}e^{\pm {\tfrac {3\pi }{4}}\mathrm {i} }=-1\pm \mathrm {i} ,Z_{2}\right\rangle }$^{[3] [5]} (ver también la sección Base −1 ± i a continuación).

• ${\displaystyle \left\langle {\sqrt {R}}e^{\mathrm {i} \varphi },Z_{R}\right\rangle }$, donde , y es un entero positivo que puede tomar múltiples valores en un determinado . ^[7] Porque y este es el sistema ${\displaystyle \varphi =\pm \arccos {(-\beta /(2{\sqrt {R}}))}}$ ${\displaystyle \beta <\min(R,2{\sqrt {R}})}$ ${\displaystyle \beta _{}^{}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle R=2}$

${\displaystyle \left\langle {\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}},Z_{2}\right\rangle .}$

• ${\displaystyle \left\langle 2e^{{\tfrac {\pi }{3}}\mathrm {i} },A_{4}:=\left\{0,1,e^{{\tfrac {2\pi }{3}}\mathrm {i} },e^{-{\tfrac {2\pi }{3}}\mathrm {i} }\right\}\right\rangle }$. ^[8]
• ${\displaystyle \left\langle -R,A_{R}^{2}\right\rangle }$, donde el conjunto consta de números complejos y números , por ejemplo ${\displaystyle A_{R}^{2}}$ ${\displaystyle r_{\nu }=\alpha _{\nu }^{1}+\alpha _{\nu }^{2}\mathrm {i} }$ ${\displaystyle \alpha _{\nu }^{}\in Z_{R}}$

${\displaystyle \left\langle -2,\{0,1,\mathrm {i} ,1+\mathrm {i} \}\right\rangle .}$^[8]

• ${\displaystyle \left\langle \rho =\rho _{2},Z_{2}\right\rangle }$, donde ^[9] ${\displaystyle \rho _{2}={\begin{cases}(-2)^{\tfrac {\nu }{2}}&{\text{if }}\nu {\text{ even,}}\\(-2)^{\tfrac {\nu -1}{2}}\mathrm {i} &{\text{if }}\nu {\text{ odd.}}\end{cases}}}$ 

Sistemas binarios

Los sistemas de codificación binaria de números complejos, es decir, los sistemas con cifras , son de interés práctico. ^[9] A continuación se enumeran algunos sistemas de codificación (todos son casos especiales de los sistemas anteriores) y resp. códigos para los números (decimales) −1, 2, −2, i . El binario estándar (que requiere un signo, primera línea) y el sistema "negabinario" (segunda línea) también se enumeran para comparar. No tienen una expansión genuina para i . ${\displaystyle Z_{2}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \langle \rho ,Z_{2}\rangle }$

Como en todos los sistemas numéricos posicionales con valor absoluto de Arquímedes , existen algunos números con múltiples representaciones . En la columna derecha de la tabla se muestran ejemplos de tales números. Todas ellas son fracciones repetidas con la repetición marcada por una línea horizontal encima.

Si el conjunto de dígitos es mínimo, el conjunto de dichos números tiene una medida de 0. Este es el caso de todos los sistemas de codificación mencionados.

El sistema casi binario cuartoimaginario se enumera en la línea inferior para fines de comparación. Allí, la parte real y la imaginaria se entrelazan.

Base −1 ± yo

Los números complejos con parte entera son todos ceros en el sistema base i – 1

De particular interés son los sistemas de base quater-imaginaria (base 2 i ) y de base −1 ± i que se analizan a continuación, los cuales pueden usarse para representar finitamente los enteros gaussianos sin signo.

La base −1 ± i , usando los dígitos 0 y 1 , fue propuesta por S. Khmelnik en 1964 ^[3] y Walter F. Penney en 1965. ^{[4] [6]}

Conexión con el dragón gemelo

La región de redondeo de un número entero –es decir, un conjunto de números complejos (no enteros) que comparten la parte entera de su representación en este sistema– tiene en el plano complejo una forma fractal: el dragón gemelo (ver figura). Este conjunto son, por definición, todos los puntos que se pueden escribir como con . se puede descomponer en 16 partes congruentes con . Observe que si se gira 135° en sentido antihorario, obtenemos dos conjuntos adyacentes congruentes con , porque . El rectángulo en el centro interseca los ejes de coordenadas en sentido antihorario en los siguientes puntos: , , y , y . Por tanto, contiene todos los números complejos con valor absoluto ≤  ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}}$ ${\displaystyle x_{k}\in Z_{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S}$ ${\displaystyle (\mathrm {i} -1)S=S\cup (S+1)}$ ${\displaystyle R\subset S}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{15}}\gets 0.{\overline {00001100}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{15}}\mathrm {i} \gets 0.{\overline {00000011}}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {8}{15}}\gets 0.{\overline {11000000}}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {4}{15}}\mathrm {i} \gets 0.{\overline {00110000}}}$ ${\displaystyle S}$1/15. ^[12]

Como consecuencia, hay una inyección del rectángulo complejo.

${\displaystyle [-{\tfrac {8}{15}},{\tfrac {2}{15}}]\times [-{\tfrac {4}{15}},{\tfrac {1}{15}}]\mathrm {i} }$

en el intervalo de números reales mediante mapeo ${\displaystyle [0,1)}$

${\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}\mapsto \sum _{k\geq 1}x_{k}b^{-k}}$

con . ^[13] ${\displaystyle b>2}$

Además, existen dos mapeos

${\displaystyle {\begin{array}{lll}Z_{2}^{\mathbb {N} }&\to &S\\\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }&\mapsto &\sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}\end{array}}}$

y

${\displaystyle {\begin{array}{lll}Z_{2}^{\mathbb {N} }&\to &[0,1)\\\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }&\mapsto &\sum _{k\geq 1}x_{k}2^{-k}\end{array}}}$

ambos sobreyectivos , que dan lugar a un mapeo sobreyectivo (por lo tanto, que llena el espacio)

${\displaystyle [0,1)\qquad \to \qquad S}$

que, sin embargo, no es continua y, por tanto, no es una curva que llene el espacio . Pero un pariente muy cercano, el dragón Davis-Knuth , es una curva continua y que llena el espacio.

Ver también

• curva del dragón

Referencias

1. Knuth, DE (1960). "Un sistema numérico imaginario". Comunicaciones de la ACM . 3 (4): 245–247. doi : 10.1145/367177.367233 . S2CID  16513137.
2. Knuth, Donald (1998). "Sistemas de números posicionales". El arte de la programación informática . vol. 2 (3ª ed.). Boston: Addison-Wesley. pag. 205.ISBN​ 0-201-89684-2. OCLC  48246681.
3. Khmelnik, SI (1964). "Computadora digital especializada en operaciones con números complejos". Cuestiones de Radioelectrónica (En ruso) . XII (2).
4. W. Penney, Un sistema "binario" para números complejos, JACM 12 (1965) 247-248.
5. Jamil, T. (2002). "El complejo sistema numérico binario". Potenciales IEEE . 20 (5): 39–41. doi : 10.1109/45.983342.
6. Duda, Jarek (24 de febrero de 2008). "Sistemas de numeración básica complejos". arXiv : 0712.1309 [matemáticas.DS].
7. Jmelnik, SI (1966). "Codificación posicional de números complejos". Cuestiones de Radioelectrónica (En ruso) . XII (9).
8. Khmelnik, SI (2004). Codificación de Números Complejos y Vectores (en ruso) (PDF) . Israel: matemáticas en informática. ISBN 978-0-557-74692-7.
9. Khmelnik, SI (2001). Método y sistema para procesar números complejos. Patente EE.UU., US2003154226 (A1).
10. William J. Gilbert, Revista de Matemáticas "Aritmética en bases complejas", vol. 57, núm. 2, marzo de 1984
11. secuencia infinita no repetitiva
12. Knuth 1998 p.206
13. No se puede tomar la base porque ambos, y . Sin embargo,   es desigual a   . ${\displaystyle b=2}$ ${\displaystyle \textstyle 2^{-1}=0.1_{\text{bin}}=0.5_{\text{dec}}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 2}2^{-k}=0.0{\overline {1}}_{\text{bin}}=0.1_{\text{bin}}=0.5_{\text{dec}}}$ ${\displaystyle \textstyle (\mathrm {i} -1)^{-1}=-0.1_{\text{bin}}-0.1_{\text{bin}}\mathrm {i} =-0.5_{\text{dec}}-0.5_{\text{dec}}\mathrm {i} }$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 2}(\mathrm {i} -1)^{-k}=0.1_{\text{dec}}+0.3_{\text{dec}}\mathrm {i} }$

enlaces externos

• "Sistemas numéricos utilizando una base compleja" de Jarek Duda, el proyecto de demostraciones Wolfram
• "El límite de los sistemas de funciones periódicas iteradas" por Jarek Duda, el proyecto de demostraciones Wolfram
• "Sistemas numéricos en 3D" de Jarek Duda, el proyecto de demostraciones Wolfram
• "Gran introducción a los sistemas numéricos básicos complejos" con fuentes de Mathematica por Jarek Duda