Método de elementos finitos

Método numérico para resolver problemas físicos o de ingeniería.

Visualización de cómo se deforma un automóvil en un choque asimétrico mediante análisis de elementos finitos

El método de elementos finitos ( FEM ) es un método popular para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales que surgen en ingeniería y modelado matemático . Las áreas problemáticas típicas de interés incluyen los campos tradicionales del análisis estructural , la transferencia de calor , el flujo de fluidos , el transporte de masa y el potencial electromagnético .

El FEM es un método numérico general para resolver ecuaciones diferenciales parciales en dos o tres variables espaciales (es decir, algunos problemas de valores en la frontera ). Para resolver un problema, el FEM subdivide un sistema grande en partes más pequeñas y simples llamadas elementos finitos . Esto se logra mediante una discretización espacial particular en las dimensiones espaciales, que se implementa mediante la construcción de una malla del objeto: el dominio numérico de la solución, que tiene un número finito de puntos. La formulación del método de elementos finitos de un problema de valores en la frontera finalmente da como resultado un sistema de ecuaciones algebraicas . El método aproxima la función desconocida sobre el dominio. ^[1] Las ecuaciones simples que modelan estos elementos finitos se ensamblan luego en un sistema más grande de ecuaciones que modela todo el problema. Luego, el FEM aproxima una solución minimizando una función de error asociada mediante el cálculo de variaciones .

Estudiar o analizar un fenómeno con MEF a menudo se denomina análisis de elementos finitos ( FEA ).

Conceptos básicos

La subdivisión de un dominio completo en partes más simples tiene varias ventajas: ^[2]

• Representación precisa de geometría compleja.
• Inclusión de propiedades materiales diferentes.
• Fácil representación de la solución total.
• Captura de efectos locales.

El trabajo típico del método implica:

1. dividir el dominio del problema en una colección de subdominios, con cada subdominio representado por un conjunto de ecuaciones de elementos del problema original
2. recombinando sistemáticamente todos los conjuntos de ecuaciones de elementos en un sistema global de ecuaciones para el cálculo final.

El sistema global de ecuaciones tiene técnicas de solución conocidas y puede calcularse a partir de los valores iniciales del problema original para obtener una respuesta numérica.

En el primer paso anterior, las ecuaciones de elementos son ecuaciones simples que se aproximan localmente a las ecuaciones complejas originales que se van a estudiar, donde las ecuaciones originales suelen ser ecuaciones diferenciales parciales (PDE). Para explicar la aproximación en este proceso, comúnmente se introduce el método de los elementos finitos como un caso especial del método de Galerkin . El proceso, en lenguaje matemático, consiste en construir una integral del producto interno de las funciones residual y de peso y establecer la integral en cero. En términos simples, es un procedimiento que minimiza el error de aproximación al ajustar funciones de prueba en el PDE. El residual es el error causado por las funciones de prueba y las funciones de peso son funciones de aproximación polinómica que proyectan el residual. El proceso elimina todas las derivadas espaciales de la PDE, aproximando así la PDE localmente con

• un conjunto de ecuaciones algebraicas para problemas de estado estacionario ,
• un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias para problemas transitorios .

Estos conjuntos de ecuaciones son ecuaciones de elementos. Son lineales si la PDE subyacente es lineal y viceversa. Los conjuntos de ecuaciones algebraicas que surgen en los problemas de estado estacionario se resuelven utilizando métodos de álgebra lineal numérica . Por el contrario, los conjuntos de ecuaciones diferenciales ordinarias que se producen en los problemas transitorios se resuelven mediante integración numérica utilizando técnicas estándar como el método de Euler o el método de Runge-Kutta .

En el paso (2) anterior, se genera un sistema global de ecuaciones a partir de las ecuaciones de elementos transformando las coordenadas de los nodos locales de los subdominios a los nodos globales del dominio. Esta transformación espacial incluye ajustes de orientación apropiados según se aplican en relación con el sistema de coordenadas de referencia . El proceso suele llevarse a cabo mediante software FEM utilizando datos de coordenadas generados a partir de los subdominios.

La aplicación práctica del FEM se conoce como análisis de elementos finitos (FEA). FEA, aplicado en ingeniería , es una herramienta computacional para realizar análisis de ingeniería . Incluye el uso de técnicas de generación de mallas para dividir un problema complejo en pequeños elementos, así como el uso de software codificado con un algoritmo FEM. Al aplicar FEA, el problema complejo suele ser un sistema físico con la física subyacente , como la ecuación del haz de Euler-Bernoulli , la ecuación del calor o las ecuaciones de Navier-Stokes expresadas en PDE o ecuaciones integrales , mientras que los pequeños elementos divididos del Un problema complejo representa diferentes áreas del sistema físico.

El FEA se puede utilizar para analizar problemas en dominios complicados (como automóviles y oleoductos) cuando el dominio cambia (como durante una reacción de estado sólido con un límite en movimiento), cuando la precisión deseada varía en todo el dominio o cuando falta la solución. suavidad. Las simulaciones FEA proporcionan un recurso valioso ya que eliminan múltiples instancias de creación y prueba de prototipos complejos para diversas situaciones de alta fidelidad. ^{[ cita necesaria ]} Por ejemplo, en una simulación de choque frontal, es posible aumentar la precisión de la predicción en áreas "importantes" como la parte delantera del automóvil y reducirla en la parte trasera (reduciendo así el costo de la simulación). Otro ejemplo sería la predicción numérica del tiempo , donde es más importante tener predicciones precisas sobre fenómenos en desarrollo altamente no lineales (como ciclones tropicales en la atmósfera o remolinos en el océano) que sobre áreas relativamente tranquilas.

Se puede encontrar una presentación clara, detallada y práctica de este enfoque en El método de los elementos finitos para ingenieros . ^[3]

Historia

Si bien es difícil citar la fecha de la invención del método de los elementos finitos, el método se originó a partir de la necesidad de resolver problemas complejos de análisis estructural y de elasticidad en ingeniería civil y aeronáutica . ^[4] Su desarrollo se remonta al trabajo de Alexander Hrennikoff ^[5] y Richard Courant ^[6] a principios de la década de 1940. Otro pionero fue Ioannis Argyris . En la URSS, la introducción de la aplicación práctica del método suele estar asociada con el nombre de Leonard Oganesyan. ^[7] También fue redescubierto de forma independiente en China por Feng Kang a finales de la década de 1950 y principios de la de 1960, basándose en los cálculos de las construcciones de presas, donde se le llamó método de diferencias finitas basado en el principio de variación . Aunque los enfoques utilizados por estos pioneros son diferentes, comparten una característica esencial: la discretización en malla de un dominio continuo en un conjunto de subdominios discretos, generalmente llamados elementos.

El trabajo de Hrennikoff discretiza el dominio mediante el uso de una analogía reticular , mientras que el enfoque de Courant divide el dominio en subregiones triangulares finitas para resolver ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden que surgen del problema de torsión de un cilindro . La contribución de Courant fue evolutiva y se basó en una gran cantidad de resultados anteriores para PDE desarrollados por Lord Rayleigh , Walther Ritz y Boris Galerkin .

El método de los elementos finitos obtuvo su verdadero impulso en las décadas de 1960 y 1970 gracias a los desarrollos de JH Argyris con sus compañeros de la Universidad de Stuttgart , RW Clough con sus compañeros de la UC Berkeley , OC Zienkiewicz con sus compañeros Ernest Hinton y Bruce Irons. ^[8] y otros en la Universidad de Swansea , Philippe G. Ciarlet en la Universidad de París 6 y Richard Gallagher con compañeros de trabajo en la Universidad de Cornell . En estos años, los programas de elementos finitos de código abierto disponibles proporcionaron un mayor impulso. La NASA patrocinó la versión original de NASTRAN . UC Berkeley hizo que el programa de elementos finitos SAP IV ^[9] estuviera ampliamente disponible. En Noruega, la sociedad de clasificación de buques Det Norske Veritas (ahora DNV GL ) desarrolló Sesam en 1969 para su uso en el análisis de buques. ^{[10] En 1973,} Gilbert Strang y George Fix proporcionaron una base matemática rigurosa para el método de los elementos finitos . ^[11] Desde entonces, el método se ha generalizado para el modelado numérico de sistemas físicos en una amplia variedad de disciplinas de ingeniería , por ejemplo, electromagnetismo , transferencia de calor y dinámica de fluidos . ^{[12] [13]}

Discusión técnica

La estructura de los métodos de elementos finitos.

Un método de elementos finitos se caracteriza por una formulación variacional , una estrategia de discretización, uno o más algoritmos de solución y procedimientos de posprocesamiento.

Ejemplos de formulación variacional son el método de Galerkin , el método de Galerkin discontinuo, los métodos mixtos, etc.

Se entiende por estrategia de discretización un conjunto claramente definido de procedimientos que cubren (a) la creación de mallas de elementos finitos, (b) la definición de funciones base sobre elementos de referencia (también llamadas funciones de forma), y (c) el mapeo de elementos de referencia sobre los elementos de la malla. Ejemplos de estrategias de discretización son la versión h, la versión p , la versión hp , x-FEM , el análisis isogeométrico , etc. Cada estrategia de discretización tiene ciertas ventajas y desventajas. Un criterio razonable al seleccionar una estrategia de discretización es lograr un rendimiento casi óptimo para el conjunto más amplio de modelos matemáticos en una clase de modelo particular.

Varios algoritmos de solución numérica se pueden clasificar en dos categorías amplias; solucionadores directos e iterativos. Estos algoritmos están diseñados para explotar la escasez de matrices que dependen de la formulación variacional y las opciones de estrategia de discretización.

Los procedimientos de posprocesamiento están diseñados para extraer los datos de interés de una solución de elementos finitos. Para cumplir con los requisitos de verificación de la solución, los posprocesadores deben proporcionar una estimación del error a posteriori en términos de las cantidades de interés. Cuando los errores de aproximación son mayores de lo que se considera aceptable, entonces la discretización debe cambiarse mediante un proceso adaptativo automatizado o mediante la acción del analista. Algunos postprocesadores muy eficientes permiten la realización de la superconvergencia .

Problemas ilustrativos P1 y P2

Los dos problemas siguientes demuestran el método de los elementos finitos.

P1 es un problema unidimensional

$${\displaystyle {\text{ P1 }}:{\begin{cases}u''(x)=f(x){\text{ in }}(0,1),\\u(0)=u(1)=0,\end{cases}}}$$

${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u''}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$

P2 es un problema bidimensional ( problema de Dirichlet )

$${\displaystyle {\text{P2 }}:{\begin{cases}u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)=f(x,y)&{\text{ in }}\Omega ,\\u=0&{\text{ on }}\partial \Omega ,\end{cases}}}$$

donde es una región abierta conectada en el plano cuyo límite es bonito (por ejemplo, una variedad suave o un polígono ), y y denotan las segundas derivadas con respecto a y , respectivamente. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle u_{xx}}$ ${\displaystyle u_{yy}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

El problema P1 se puede resolver directamente calculando antiderivadas . Sin embargo, este método de resolver el problema del valor límite (BVP) funciona sólo cuando hay una dimensión espacial. No se generaliza a problemas de dimensiones superiores o problemas como . Por esta razón, desarrollaremos el método de los elementos finitos para P1 y describiremos su generalización a P2. ${\displaystyle u+u''=f}$

Nuestra explicación se desarrollará en dos pasos, que reflejan dos pasos esenciales que uno debe seguir para resolver un problema de valores en la frontera (BVP) utilizando el FEM.

• En el primer paso, se reformula el BVP original en su forma débil. Generalmente se requiere poco o ningún cálculo para este paso. La transformación se realiza a mano sobre papel.
• El segundo paso es la discretización, donde la forma débil se discretiza en un espacio de dimensión finita.

Después de este segundo paso, tenemos fórmulas concretas para un problema lineal grande pero de dimensión finita cuya solución resolverá aproximadamente el BVP original. Este problema de dimensión finita se implementa luego en una computadora .

formulación débil

El primer paso es convertir P1 y P2 en sus formulaciones débiles equivalentes .

La forma débil de P1

Si resuelve P1, entonces para cualquier función suave que satisfaga las condiciones de contorno de desplazamiento, es decir, en y , tenemos ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=1}$

Por el contrario, si con satisface (1) para cada función suave , entonces se puede demostrar que esto resolverá P1. La prueba es más fácil para dos veces diferenciables continuamente ( teorema del valor medio ), pero también puede demostrarse en un sentido distribucional . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u(0)=u(1)=0}$ ${\displaystyle v(x)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

Definimos un nuevo operador o mapa usando la integración por partes en el lado derecho de (1): ${\displaystyle \phi (u,v)}$

donde hemos utilizado el supuesto de que . ${\displaystyle v(0)=v(1)=0}$

La forma débil de P2

Si integramos por partes usando una forma de identidades de Green , vemos que si resuelve P2, entonces podemos definir para cualquiera por ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \phi (u,v)}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle \int _{\Omega }fv\,ds=-\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,ds\equiv -\phi (u,v),}$$

donde denota el gradiente y denota el producto escalar en el plano bidimensional. Una vez más se puede convertir en un producto interno en un espacio adecuado de funciones una vez diferenciables que son cero . También hemos supuesto que (ver espacios de Sobolev ). También se puede demostrar la existencia y unicidad de la solución. ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \,\!\phi }$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle v\in H_{0}^{1}(\Omega )}$

Un esquema de prueba de la existencia y unicidad de la solución.

Podemos pensar vagamente que son funciones absolutamente continuas de that are at y (ver espacios de Sobolev ). Tales funciones son (débilmente) una vez diferenciables, y resulta que el mapa bilineal simétrico define un producto interno que se convierte en un espacio de Hilbert (una prueba detallada no es trivial). Por otro lado, el lado izquierdo también es un producto interior, esta vez en el espacio Lp . Una aplicación del teorema de representación de Riesz para espacios de Hilbert muestra que existe una solución única (2) y, por tanto, P1. Esta solución es a priori solo un miembro de , pero usando regularidad elíptica , será suave si lo es. ${\displaystyle H_{0}^{1}(0,1)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \!\,\phi }$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(0,1)}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)v(x)dx}$ ${\displaystyle L^{2}(0,1)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(0,1)}$ ${\displaystyle f}$

Discretización

Una función con valores cero en los puntos finales (azul) y una aproximación lineal por partes (rojo) ${\displaystyle H_{0}^{1},}$

P1 y P2 están listos para discretizarse, lo que conduce a un subproblema común (3). La idea básica es reemplazar el problema lineal de dimensión infinita:

encontrar tal que ${\displaystyle u\in H_{0}^{1}}$

${\displaystyle \forall v\in H_{0}^{1},\;-\phi (u,v)=\int fv}$

con una versión de dimensión finita:

donde es un subespacio de dimensión finita de . Hay muchas opciones posibles (una posibilidad conduce al método espectral ). Sin embargo, tomamos como espacio de funciones polinómicas por tramos para el método de elementos finitos. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Para el problema P1

Tomamos el intervalo , elegimos valores de con y definimos por: ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}<x_{n+1}=1}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle V=\{v:[0,1]\to \mathbb {R} \;:v{\text{ is continuous, }}v|_{[x_{k},x_{k+1}]}{\text{ is linear for }}k=0,\dots ,n{\text{, and }}v(0)=v(1)=0\}}$$

donde definimos y . Observe que las funciones en no son diferenciables según la definición elemental de cálculo. De hecho, si entonces la derivada normalmente no se define en ningún , . Sin embargo, la derivada existe en cualquier otro valor de y se puede usar esta derivada para la integración por partes . ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle x_{n+1}=1}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle x=x_{k}}$ ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle x}$

Una función lineal por partes en dos dimensiones.

Para el problema P2

Necesitamos ser un conjunto de funciones de . En la figura de la derecha, hemos ilustrado una triangulación de una región poligonal de 15 lados en el plano (abajo) y una función lineal por partes (arriba, en color) de este polígono que es lineal en cada triángulo de la triangulación; el espacio estaría formado por funciones que son lineales en cada triángulo de la triangulación elegida. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle V}$

Se espera que a medida que la malla triangular subyacente se vuelva cada vez más fina, la solución del problema discreto (3) converja, en algún sentido, a la solución del problema de valores límite original P2. Para medir esta finura de malla, la triangulación se indexa mediante un parámetro de valor real que se considera muy pequeño. Este parámetro estará relacionado con el tamaño de triángulo más grande o promedio en la triangulación. A medida que refinamos la triangulación, el espacio de funciones lineales por tramos también debe cambiar con . Por esta razón, a menudo se lee en lugar de en la literatura. Como no realizamos dicho análisis, no utilizaremos esta notación. ${\displaystyle h>0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle V_{h}}$ ${\displaystyle V}$

Elegir una base

Interpolación de una función de Bessel

Para completar la discretización, debemos seleccionar una base de . En el caso unidimensional, para cada punto de control elegiremos la función lineal por tramos cuyo valor es en y cero en cada , es decir, ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{j},\;j\neq k}$

$${\displaystyle v_{k}(x)={\begin{cases}{x-x_{k-1} \over x_{k}\,-x_{k-1}}&{\text{ if }}x\in [x_{k-1},x_{k}],\\{x_{k+1}\,-x \over x_{k+1}\,-x_{k}}&{\text{ if }}x\in [x_{k},x_{k+1}],\\0&{\text{ otherwise}},\end{cases}}}$$

para ; esta base es una función de tienda desplazada y escalada . Para el caso bidimensional, elegimos nuevamente una función base por vértice de la triangulación de la región plana . La función es la única función cuyo valor es en y cero en cada . ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{j},\;j\neq k}$

Dependiendo del autor, la palabra "elemento" en el "método de los elementos finitos" se refiere a los triángulos del dominio, la función de base lineal por partes o ambos. Así, por ejemplo, un autor interesado en dominios curvos podría reemplazar los triángulos con primitivos curvos y así podría describir los elementos como curvilíneos. Por otro lado, algunos autores reemplazan "lineal por partes" por "cuadrático por partes" o incluso "polinomio por partes". Entonces, el autor podría decir "elemento de orden superior" en lugar de "polinomio de grado superior". El método de elementos finitos no se limita a triángulos (tetraedros en 3D o símplex de orden superior en espacios multidimensionales). Aún así, se puede definir en subdominios cuadriláteros (hexaedros, prismas o pirámides en 3D, etc.). Las formas de orden superior (elementos curvilíneos) se pueden definir con formas polinómicas e incluso no polinómicas (por ejemplo, elipse o círculo).

Ejemplos de métodos que utilizan funciones de base polinómica por partes de mayor grado son hp-FEM y FEM espectral .

Implementaciones más avanzadas (métodos adaptativos de elementos finitos) utilizan un método para evaluar la calidad de los resultados (basado en la teoría de estimación de errores) y modifican la malla durante la solución con el objetivo de lograr una solución aproximada dentro de algunos límites de la solución exacta del problema continuo. . La adaptabilidad de la malla puede utilizar varias técnicas; los más populares son:

• nodos en movimiento (adaptatividad r)
• Elementos refinados (y no refinados) (adaptividad h)
• cambio de orden de funciones base (adaptación p)
• combinaciones de lo anterior ( hp-adaptivity ).

Pequeño soporte de la base.

Resolviendo el problema bidimensional en el disco centrado en el origen y radio 1, con condiciones de contorno cero. (a) La triangulación. ${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}=-4}$

(b) La matriz dispersa L del sistema lineal discretizado

(c) La solución calculada, ${\displaystyle u(x,y)=1-x^{2}-y^{2}}$

La principal ventaja de esta elección de base es que los productos internos

$${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle =\int _{0}^{1}v_{j}v_{k}\,dx}$$

$${\displaystyle \phi (v_{j},v_{k})=\int _{0}^{1}v_{j}'v_{k}'\,dx}$$

matriz de Gramiansoporte ${\displaystyle j,k}$ ${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle }$ ${\displaystyle (j,k)}$ ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle [x_{k-1},x_{k+1}]}$ ${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle }$ ${\displaystyle \phi (v_{j},v_{k})}$ ${\displaystyle |j-k|>1}$

De manera similar, en el caso plano, si y no comparten un borde de la triangulación, entonces las integrales ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle x_{k}}$

$${\displaystyle \int _{\Omega }v_{j}v_{k}\,ds}$$

$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla v_{j}\cdot \nabla v_{k}\,ds}$$

Forma matricial del problema.

Si escribimos y luego el problema (3), tomando por , se convierte ${\displaystyle u(x)=\sum _{k=1}^{n}u_{k}v_{k}(x)}$ ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}v_{k}(x)}$ ${\displaystyle v(x)=v_{j}(x)}$ ${\displaystyle j=1,\dots ,n}$

Si denotamos por y los vectores columna y , y si dejamos ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{n})^{t}}$ ${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{n})^{t}}$

$${\displaystyle L=(L_{ij})}$$

$${\displaystyle M=(M_{ij})}$$

$${\displaystyle L_{ij}=\phi (v_{i},v_{j})}$$

$${\displaystyle M_{ij}=\int v_{i}v_{j}dx}$$

No es necesario suponer . Para una función general , el problema (3) con for se vuelve realmente más simple, ya que no se utiliza ninguna matriz, ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}v_{k}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle v(x)=v_{j}(x)}$ ${\displaystyle j=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle M}$

donde y para . ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},\dots ,b_{n})^{t}}$ ${\displaystyle b_{j}=\int fv_{j}dx}$ ${\displaystyle j=1,\dots ,n}$

Como hemos comentado antes, la mayoría de las entradas de y son cero porque las funciones básicas tienen poco soporte. Entonces ahora tenemos que resolver un sistema lineal en lo desconocido donde la mayoría de las entradas de la matriz , que necesitamos invertir, son cero. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle L}$

Estas matrices se conocen como matrices dispersas y existen solucionadores eficientes para tales problemas (mucho más eficientes que invertir la matriz). Además, es simétrica y positiva definida, por lo que se prefiere una técnica como el método del gradiente conjugado . Para problemas que no son demasiado grandes, las descomposiciones LU dispersas y las descomposiciones de Cholesky aún funcionan bien. Por ejemplo, el operador de barra invertida de MATLAB (que utiliza LU dispersa, Cholesky dispersa y otros métodos de factorización) puede ser suficiente para mallas con cien mil vértices. ${\displaystyle L}$

La matriz suele denominarse matriz de rigidez , mientras que la matriz se denomina matriz de masa . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$

Forma general del método de los elementos finitos.

En general, el método de los elementos finitos se caracteriza por el siguiente proceso.

• Se elige una cuadrícula para . En el tratamiento anterior, la cuadrícula estaba formada por triángulos, pero también se pueden utilizar cuadrados o polígonos curvilíneos. ${\displaystyle \Omega }$
• Luego, se eligen funciones base. Usamos funciones de base lineal por partes en nuestra discusión, pero es común usar funciones de base polinómica por partes.

Una consideración aparte es la suavidad de las funciones básicas. Para problemas de valores de frontera elípticos de segundo orden , una función de base polinómica por partes que sea simplemente continua es suficiente (es decir, las derivadas son discontinuas). Para ecuaciones diferenciales parciales de orden superior, se deben usar funciones de base más suaves. Por ejemplo, para un problema de cuarto orden como , se pueden usar funciones de base cuadrática por partes que sean . ${\displaystyle u_{xxxx}+u_{yyyy}=f}$ ${\displaystyle C^{1}}$

Otra consideración es la relación del espacio de dimensión finita con su contraparte de dimensión infinita en los ejemplos anteriores . Un método de elementos conformes es aquel en el que el espacio es un subespacio del espacio del elemento para el problema continuo. El ejemplo anterior es uno de esos métodos. Si esta condición no se cumple, obtenemos un método de elementos no conformes, un ejemplo del cual es el espacio de funciones lineales por tramos sobre la malla, que son continuas en el punto medio de cada borde. Dado que estas funciones son generalmente discontinuas a lo largo de los bordes, este espacio de dimensión finita no es un subespacio del original . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}}$

Normalmente, se tiene un algoritmo para subdividir una malla determinada. Si el método principal para aumentar la precisión es subdividir la malla, se tiene un método h ( h es habitualmente el diámetro del elemento más grande de la malla). De esta manera, si se muestra que el error con una cuadrícula está acotado arriba por , para algunos y , entonces se tiene un método de orden p . Bajo hipótesis específicas (por ejemplo, si el dominio es convexo), un método de polinomio de orden por partes tendrá un error de orden . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle Ch^{p}}$ ${\displaystyle C<\infty }$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p=d+1}$

Si en lugar de hacer h más pequeño, se aumenta el grado de los polinomios utilizados en la función base, se tiene un método p . Si se combinan estos dos tipos de refinamiento, se obtiene un método hp ( hp-FEM ). En hp-FEM, los grados del polinomio pueden variar de un elemento a otro. Los métodos de orden superior con p uniforme grande se denominan métodos espectrales de elementos finitos ( SFEM ). Estos no deben confundirse con los métodos espectrales .

Para ecuaciones diferenciales parciales vectoriales, las funciones básicas pueden tomar valores en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Varios tipos de métodos de elementos finitos.

AEM

El método de elementos aplicados o AEM combina características tanto del FEM como del método de elementos discretos o (DEM).

A-FEM

Yang y Lui introdujeron el método de elementos finitos aumentados, cuyo objetivo era modelar las discontinuidades débiles y fuertes sin necesidad de DoF adicionales, como afirmó PuM.

CortarFEM

El enfoque de corte de elementos finitos se desarrolló en 2014. ^[14] El enfoque es "hacer que la discretización sea lo más independiente posible de la descripción geométrica y minimizar la complejidad de la generación de malla, manteniendo al mismo tiempo la precisión y robustez de un método de elementos finitos estándar. " ^[15]

Método generalizado de elementos finitos

El método generalizado de elementos finitos (GFEM) utiliza espacios locales que consisten en funciones, no necesariamente polinomios, que reflejan la información disponible sobre la solución desconocida y así aseguran una buena aproximación local. Luego se utiliza una partición de unidad para "unir" estos espacios para formar el subespacio de aproximación. La eficacia de GFEM se ha demostrado cuando se aplica a problemas con dominios que tienen límites complicados, problemas con microescalas y problemas con capas límite. ^[dieciséis]

Método mixto de elementos finitos

El método mixto de elementos finitos es un tipo de método de elementos finitos en el que se introducen variables independientes adicionales como variables nodales durante la discretización de un problema de ecuación diferencial parcial.

Variable – polinomio

El hp-FEM combina de forma adaptativa elementos con tamaño variable h y grado polinomial p para lograr tasas de convergencia exponenciales excepcionalmente rápidas. ^[17]

hpk-FEM

El hpk-FEM combina de forma adaptativa elementos con tamaño variable h , grado polinómico de las aproximaciones locales p y diferenciabilidad global de las aproximaciones locales ( k -1) para lograr las mejores tasas de convergencia.

XFEM

El método extendido de elementos finitos (XFEM) es una técnica numérica basada en el método generalizado de elementos finitos (GFEM) y el método de partición de la unidad (PUM). Amplía el método clásico de elementos finitos enriqueciendo el espacio de soluciones para soluciones de ecuaciones diferenciales con funciones discontinuas. Los métodos de elementos finitos extendidos enriquecen el espacio de aproximación para reproducir naturalmente la característica desafiante asociada con el problema de interés: la discontinuidad, singularidad, capa límite, etc. Se demostró que para algunos problemas, tal incorporación de la característica del problema en el espacio de aproximación puede mejorar significativamente las tasas de convergencia y la precisión. Además, el tratamiento de problemas con discontinuidades con XFEM suprime la necesidad de mallar y volver a mallar las superficies de discontinuidad, aliviando así los costos computacionales y los errores de proyección asociados con los métodos convencionales de elementos finitos a costa de restringir las discontinuidades a los bordes de la malla.

Varios códigos de investigación implementan esta técnica en diversos grados:

1. ObtenerFEM++
2. xfem++
3. openxfem++

XFEM también se ha implementado en códigos como Altair Radios, ASTER, Morfeo y Abaqus. Está siendo adoptado cada vez más por otro software comercial de elementos finitos, con algunos complementos e implementaciones principales disponibles (ANSYS, SAMCEF, OOFELIE, etc.).

Método de elementos finitos de límite escalado (SBFEM)

La introducción del método de elementos finitos de límites escalados (SBFEM) provino de Song y Wolf (1997). ^[18] El SBFEM ha sido una de las contribuciones más rentables en el área del análisis numérico de problemas de mecánica de fracturas. Es un método semianalítico sin solución fundamental que combina las ventajas de las formulaciones y procedimientos de elementos finitos y la discretización de elementos límite. Sin embargo, a diferencia del método de los elementos límite, no se requiere una solución diferencial fundamental.

S-FEM

El S-FEM, Métodos de Elementos Finitos Suavizados, es una clase particular de algoritmos de simulación numérica para la simulación de fenómenos físicos. Fue desarrollado combinando métodos sin malla con el método de elementos finitos.

Método del elemento espectral

Los métodos de elementos espectrales combinan la flexibilidad geométrica de los elementos finitos y la gran precisión de los métodos espectrales. Los métodos espectrales son la solución aproximada de ecuaciones parciales de forma débil basadas en interpoladores lagrangianos de alto orden y se usan solo con ciertas reglas de cuadratura. ^[19]

Métodos sin malla

Métodos discontinuos de Galerkin

Análisis de límites de elementos finitos.

Método de cuadrícula estirada

Iteración de Loubignac

La iteración de Loubignac es un método iterativo en métodos de elementos finitos.

Método de elementos finitos de plasticidad cristalina (CPFEM)

El método de elementos finitos de plasticidad cristalina (CPFEM) es una herramienta numérica avanzada desarrollada por Franz Roters. Los metales pueden considerarse como agregados cristalinos, que se comportan de forma anisotrópica bajo deformación, como tensión anormal y localización de deformaciones. CPFEM, basándose en el deslizamiento (tasa de deformación por cizallamiento), puede calcular la dislocación, la orientación del cristal y otra información de textura para considerar la anisotropía del cristal durante la rutina. Se ha aplicado en el estudio numérico de la deformación de materiales, rugosidad superficial, fracturas, etc.

Método de elemento virtual (VEM)

El método del elemento virtual (VEM), introducido por Beirão da Veiga et al. (2013) ^[20] como una extensión de los métodos miméticos de diferencias finitas (MFD), es una generalización del método estándar de elementos finitos para geometrías de elementos arbitrarios. Esto permite la admisión de polígonos generales (o poliedros en 3D) que son muy irregulares y de forma no convexa. El nombre virtual deriva del hecho de que no se requiere conocimiento de la función de forma local y, de hecho, nunca se calcula explícitamente.

Enlace con el método de discretización de gradiente.

Algunos tipos de métodos de elementos finitos (métodos conformes, no conformes y mixtos de elementos finitos) son casos particulares del método de discretización de gradiente (GDM). Por lo tanto, las propiedades de convergencia del GDM, que se establecen para una serie de problemas (problemas elípticos lineales y no lineales, problemas lineales, no lineales y parabólicos degenerados), también se mantienen para estos FEM particulares.

Comparación con el método de diferencias finitas

El método de diferencias finitas (FDM) es una forma alternativa de aproximar soluciones de PDE. Las diferencias entre FEM y FDM son:

• La característica más atractiva del FEM es su capacidad para manejar geometrías (y límites) complicados con relativa facilidad. Mientras que FDM en su forma básica se limita a manejar formas rectangulares y modificaciones simples de las mismas, el manejo de geometrías en FEM es teóricamente sencillo. ^{[2] [21]}
• FDM no se suele utilizar para geometrías CAD irregulares, sino más a menudo para modelos rectangulares o en forma de bloque. ^[22]
• FEM generalmente permite una adaptabilidad de malla más flexible que FDM. ^[21]
• La característica más atractiva de las diferencias finitas es que son sencillas de implementar. ^[21]
• Se podría considerar el FDM como un caso particular del enfoque FEM de varias maneras. Por ejemplo, FEM de primer orden es idéntico a FDM para la ecuación de Poisson si el problema está discretizado mediante una malla rectangular regular con cada rectángulo dividido en dos triángulos.
• Hay razones para considerar más sólida la base matemática de la aproximación de elementos finitos, por ejemplo, porque la calidad de la aproximación entre puntos de la cuadrícula es pobre en FDM.
• La calidad de una aproximación FEM suele ser mayor que en el enfoque FDM correspondiente, pero esto depende en gran medida del problema y se pueden proporcionar varios ejemplos de lo contrario.

Generalmente, FEM es el método de elección en todo tipo de análisis en mecánica estructural (es decir, resolución de deformaciones y tensiones en cuerpos sólidos o dinámica de estructuras). Por el contrario, la dinámica de fluidos computacional (CFD) tiende a utilizar FDM u otros métodos como el método de volumen finito (FVM). Los problemas de CFD generalmente requieren la discretización del problema en una gran cantidad de celdas/puntos de cuadrícula (millones y más). Por lo tanto, el costo de la solución favorece una aproximación más simple y de orden inferior dentro de cada celda. Esto es especialmente cierto para los problemas de "flujo externo", como el flujo de aire alrededor del automóvil, el avión o la simulación meteorológica.

Solicitud

Modelo 3D de transporte de contaminación: campo de concentración a nivel del suelo

Modelo de transporte de contaminación en 3D: campo de concentración en una superficie perpendicular

Varias especializaciones bajo el paraguas de la disciplina de la ingeniería mecánica (como las industrias aeronáutica, biomecánica y automotriz) comúnmente utilizan FEM integrado en el diseño y desarrollo de sus productos. Varios paquetes FEM modernos incluyen componentes específicos como entornos de trabajo térmicos, electromagnéticos, de fluidos y estructurales. En una simulación estructural, FEM ayuda enormemente a producir visualizaciones de rigidez y resistencia y a minimizar el peso, los materiales y los costos. ^[23]

FEM permite una visualización detallada de dónde se doblan o tuercen las estructuras, indicando la distribución de tensiones y desplazamientos. El software FEM proporciona una amplia gama de opciones de simulación para controlar la complejidad del modelado y análisis de sistemas. De manera similar, el nivel deseado de precisión requerido y los requisitos de tiempo computacional asociados se pueden gestionar simultáneamente para abordar la mayoría de las aplicaciones de ingeniería. FEM permite construir, perfeccionar y optimizar diseños completos antes de fabricarlos. La malla es una parte integral del modelo y debe controlarse cuidadosamente para obtener los mejores resultados. Generalmente, cuanto mayor sea el número de elementos en una malla, más precisa será la solución del problema discretizado. Sin embargo, hay un valor en el que los resultados convergen y un mayor refinamiento de la malla no aumenta la precisión. ^[24]

Modelo de elementos finitos de una articulación de rodilla humana ^[25]

Esta poderosa herramienta de diseño ha mejorado significativamente tanto el estándar de los diseños de ingeniería como la metodología del proceso de diseño en muchas aplicaciones industriales. ^[26] La introducción de FEM ha reducido sustancialmente el tiempo necesario para llevar los productos desde el concepto hasta la línea de producción. ^[26] Las pruebas y el desarrollo se han acelerado principalmente a través de diseños de prototipos iniciales mejorados utilizando FEM. ^[27] En resumen, los beneficios de FEM incluyen mayor precisión, diseño mejorado y mejor conocimiento de los parámetros de diseño críticos, creación de prototipos virtuales, menos prototipos de hardware, un ciclo de diseño más rápido y menos costoso, mayor productividad y mayores ingresos. ^[26]

En la década de 1990, se propuso el uso de FEM en modelos estocásticos para resolver numéricamente modelos de probabilidad ^[28] y más tarde para evaluación de confiabilidad. ^[29]

Ver también

• Método de elemento aplicado
• Método del elemento límite
• El lema de Cea
• experimento informático
• Método de rigidez directa
• Optimización del diseño de discontinuidad.
• Método de elementos discretos
• método de diferencias finitas
• maquina de elementos finitos
• Método de elementos finitos en mecánica estructural.
• Método de volumen finito
• Método de volumen finito para flujo inestable
• Método de elementos infinitos
• elemento finito de intervalo
• Análisis isogeométrico
• Métodos de celosía de Boltzmann
• Lista de paquetes de software de elementos finitos
• Métodos sin malla
• Autómata celular móvil
• Optimización del diseño multidisciplinario.
• Multifísica
• Prueba de parche
• Método Rayleigh-Ritz
• Mapeo espacial
• STRAND7
• Teselación (gráficos por computadora)
• Forma débil debilitada

Referencias

1. Daryl L. Logan (2011). Un primer curso del método de los elementos finitos . Aprendizaje Cengage. ISBN 9780495668275.
2. Reddy, JN (2006). Introducción al método de los elementos finitos (tercera ed.). McGraw-Hill. ISBN 9780071267618.
3. Huebner, Kenneth H. (2001). El método de los elementos finitos para ingenieros . Wiley. ISBN 978-0-471-37078-9.
4. Liu, ala Kam; Li, Shaofan; Parque, Harold S. (2022). "Ochenta años del método de los elementos finitos: nacimiento, evolución y futuro". Archivos de métodos computacionales en ingeniería . 29 (6): 4431–4453. arXiv : 2107.04960 . doi : 10.1007/s11831-022-09740-9 . ISSN  1134-3060. S2CID  235794921.
5. Hrennikoff, Alejandro (1941). "Solución de problemas de elasticidad por el método del marco". Revista de Mecánica Aplicada . 8 (4): 169-175. Código bibliográfico : 1941JAM.....8A.169H. doi :10.1115/1.4009129.
6. Courant, R. (1943). "Métodos variacionales para la solución de problemas de equilibrio y vibraciones". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 49 : 1–23. doi : 10.1090/s0002-9904-1943-07818-4 .
7. "СПб ЭМИ РАН". emi.nw.ru. ​Archivado desde el original el 30 de septiembre de 2015 . Consultado el 17 de marzo de 2018 .
8. Hinton, Ernesto; Irons, Bruce (julio de 1968). "Suavizado de mínimos cuadrados de datos experimentales utilizando elementos finitos". Cepa . 4 (3): 24-27. doi :10.1111/j.1475-1305.1968.tb01368.x.
9. "Manuales y software SAP-IV". Biblioteca electrónica NISEE, archivo en línea de ingeniería sísmica. Archivado desde el original el 9 de marzo de 2013 . Consultado el 24 de enero de 2013 .
10. Gard Paulsen; Håkon con Andersen; John Petter Collett; Iver Tangen Stensrud (2014). Construyendo confianza, La historia de DNV 1864-2014 . Lysaker, Noruega: Dinamo Forlag A/S. págs.121, 436. ISBN 978-82-8071-256-1.
11. Strang, Gilbert ; Arreglar, George (1973). Un análisis del método de los elementos finitos . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-032946-2.
12. Olek C. Zienkiewicz; Robert L Taylor; JZ Zhu (31 de agosto de 2013). El método de los elementos finitos: sus bases y fundamentos. Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-08-095135-5.
13. Bañarse, KJ (2006). Procedimientos de elementos finitos . Cambridge, MA: Klaus-Jürgen Bathe. ISBN 978-0979004902.
14. celledoni (27 de febrero de 2023). "CutFEM: Discretización de geometría y ecuaciones diferenciales parciales". ECMI . Consultado el 13 de octubre de 2023 .
15. Birmano, Erik; Claus, Susana; Hansbo, Peter; Larson, Mats G.; Massing, André (16 de noviembre de 2015). "CutFEM: Geometría discretizante y ecuaciones diferenciales parciales". Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería . 104 (7): 472–501. doi : 10.1002/nme.4823 . ISSN  0029-5981.
16. Babuska, Ivo ; Banerjee, Uday; Osborn, John E. (junio de 2004). "Métodos generalizados de elementos finitos: ideas principales, resultados y perspectiva". Revista internacional de métodos computacionales . 1 (1): 67-103. doi :10.1142/S0219876204000083.
17. P. Solin, K. Segeth, I. Dolezel: métodos de elementos finitos de orden superior, Chapman & Hall/CRC Press, 2003
18. Canción, Chongmin; Wolf, John P. (5 de agosto de 1997). "El método de elementos finitos de límite escalado, alias método de celdas de elementos finitos infinitamente consistentes, para elastodinámica". Métodos Informáticos en Mecánica e Ingeniería Aplicadas . 147 (3–4): 329–355. Código Bib : 1997CMAME.147..329S. doi :10.1016/S0045-7825(97)00021-2.
19. "Métodos de elementos espectrales". Laboratorio Estatal Clave de Computación Científica y de Ingeniería . Archivado desde el original el 10 de agosto de 2017 . Consultado el 28 de julio de 2017 .
20. Beirão da Veiga, L.; Brezzi, F.; Cangiani, A.; Manzini, G.; Marini, LD; Ruso, A. (2013). "Principios básicos de los métodos de elementos virtuales". Modelos y Métodos Matemáticos en Ciencias Aplicadas . 23 (1): 199–214. doi :10.1142/S0218202512500492.
21. Topper, Jürgen (enero de 2005). "Precio de opciones con elementos finitos". Wilmott . 2005 (1): 84–90. doi :10.1002/wilm.42820050119. ISSN  1540-6962.
22. "¿Cuál es la diferencia entre FEM, FDM y FVM?". Diseno de la maquina . 2016-04-18. Archivado desde el original el 28 de julio de 2017 . Consultado el 28 de julio de 2017 .
23. Kiritsis, D.; Eemmanouilidis, Ch.; Koronios, A.; Mateo, J. (2009). "Gestión de Activos de Ingeniería". Actas del IV Congreso Mundial sobre Gestión de Activos de Ingeniería (WCEAM) : 591–592.
24. "Análisis de elementos finitos: cómo crear un gran modelo". Compuestos Coventivos . 2019-03-18 . Consultado el 5 de abril de 2019 .^{[ enlace muerto permanente ]}
25. Naghibi Beidokhti, Hamid; Janssen, Dennis; Khoshgoftar, Mehdi; Sprengers, André; Perdahcioglu, Emin Semih; Boogaard, Ton Van den; Verdonschot, Nico (2016). "Una comparación entre simulaciones dinámicas de elementos finitos implícitas y explícitas de la articulación nativa de la rodilla" (PDF) . Ingeniería Médica y Física . 38 (10): 1123-1130. doi : 10.1016/j.medengphy.2016.06.001. PMID  27349493. Archivado (PDF) desde el original el 19 de julio de 2018 . Consultado el 19 de septiembre de 2019 .
26. Hastings, JK, Juds, MA, Brauer, JR, Precisión y economía del análisis magnético de elementos finitos , 33ª Conferencia Nacional Anual de Retransmisión, abril de 1985.
27. McLaren-Mercedes (2006). "McLaren Mercedes: Reportaje - Estrés para impresionar". Archivado desde el original el 30 de octubre de 2006 . Consultado el 3 de octubre de 2006 .
28. Peng largo; Wang Jinliang; Zhu Qiding (19 de mayo de 1995). "Métodos con alta precisión para la computación de probabilidad de elementos finitos". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 59 (2): 181–189. doi :10.1016/0377-0427(94)00027-X.
29. Haldar, Achintya; Mahadevan, Sankaran (2000). Evaluación de confiabilidad mediante análisis estocástico de elementos finitos . John Wiley e hijos. ISBN 978-0471369615.

Otras lecturas

• G. Allaire y A. Craig: Análisis y optimización numéricos: Introducción al modelado matemático y la simulación numérica .
• KJ Bathe: Métodos numéricos en análisis de elementos finitos , Prentice-Hall (1976).
• Thomas JR Hughes: El método de los elementos finitos: análisis lineal estático y dinámico de elementos finitos, Prentice-Hall (1987).
• J. Chaskalovic: Métodos de elementos finitos para las ciencias de la ingeniería , Springer Verlag, (2008).
• Endre Süli : métodos de elementos finitos para ecuaciones diferenciales parciales.
• OC Zienkiewicz, RL Taylor, JZ Zhu: El método de los elementos finitos: sus bases y fundamentos , Butterworth-Heinemann (2005).
• N. Ottosen, H. Petersson: Introducción al método de los elementos finitos, Prentice-Hall (1992).
• Susanne C. Brenner, L. Ridgway Scott: La teoría matemática de los métodos de elementos finitos , Springer-Verlag Nueva York, ISBN 978-0-387-75933-3 (2008).
• Zohdi, TI (2018) Un manual de elementos finitos para principiantes, versión ampliada que incluye pruebas y proyectos de muestra. Segunda edición https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-70428-9
• Leszek F. Demkowicz: Teoría matemática de los elementos finitos , SIAM, ISBN 978-1-61197-772-1 (2024).