En matemáticas , el análisis armónico no conmutativo es el campo en el que los resultados del análisis de Fourier se extienden a grupos topológicos que no son conmutativos . [1] Dado que los grupos abelianos localmente compactos tienen una teoría bien entendida, la dualidad de Pontryagin , que incluye las estructuras básicas de las series de Fourier y las transformadas de Fourier , el principal negocio del análisis armónico no conmutativo suele ser la extensión de la teoría a todos los grupos G que son localmente compactos . El caso de los grupos compactos se entiende, cualitativamente y después del teorema de Peter-Weyl de la década de 1920, como generalmente análogo al de los grupos finitos y su teoría de caracteres .
La tarea principal es, por tanto, el caso de G que es localmente compacto, no compacto y no conmutativo. Los ejemplos interesantes incluyen muchos grupos de Lie y también grupos algebraicos sobre cuerpos p-ádicos . Estos ejemplos son de interés y se aplican con frecuencia en la física matemática y la teoría de números contemporánea , en particular en las representaciones automórficas .
Lo que se puede esperar se conoce como el resultado del trabajo básico de John von Neumann . Demostró que si el álgebra de grupos de von Neumann de G es de tipo I, entonces L 2 ( G ) como representación unitaria de G es una integral directa de representaciones irreducibles. Por lo tanto, está parametrizada por el dual unitario , el conjunto de clases de isomorfismo de tales representaciones, que se da la topología hull-kernel . El análogo del teorema de Plancherel se da de forma abstracta identificando una medida en el dual unitario, la medida de Plancherel , con respecto a la cual se toma la integral directa. (Para la dualidad de Pontryagin, la medida de Plancherel es alguna medida de Haar en el grupo dual de G , por lo que el único problema es su normalización). Para grupos localmente compactos generales, o incluso grupos discretos contables, el álgebra de grupos de von Neumann no necesita ser de tipo I y la representación regular de G no puede escribirse en términos de representaciones irreducibles, aunque sea unitaria y completamente reducible. Un ejemplo de esto es el grupo simétrico infinito, donde el álgebra de grupos de von Neumann es el factor hiperfinito tipo II 1. La teoría posterior divide la medida de Plancherel en una parte discreta y una continua. Para los grupos semisimples y las clases de grupos de Lie resolubles , existe una teoría muy detallada. [2]