Grupo abeliano localmente compacto

Estructura de grupo topológico que surge en el análisis de Fourier

En varias áreas matemáticas , incluyendo el análisis armónico , la topología y la teoría de números , los grupos abelianos localmente compactos son grupos abelianos que tienen una topología particularmente conveniente. Por ejemplo, el grupo de los números enteros (dotado de la topología discreta ), o los números reales o el círculo (ambos con su topología habitual) son grupos abelianos localmente compactos.

Definición y ejemplos

Un grupo topológico se denomina localmente compacto si el espacio topológico subyacente es localmente compacto y de Hausdorff ; el grupo topológico se denomina abeliano si el grupo subyacente es abeliano .

Algunos ejemplos de grupos abelianos localmente compactos incluyen:

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$para n un entero positivo, con suma vectorial como operación de grupo.
• Los números reales positivos con multiplicación como operación. Este grupo es isomorfo a la función exponencial. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$
• Cualquier grupo abeliano finito, con topología discreta . Por el teorema de estructura para grupos abelianos finitos , todos esos grupos son productos de grupos cíclicos.
• Los números enteros bajo adición, nuevamente con la topología discreta. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• El grupo del círculo , denotado por el toro , es el grupo de los números complejos de módulo 1. Es isomorfo como grupo topológico al grupo cociente . ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$
• El campo de números p -ádicos bajo adición, con la topología p -ádica habitual. ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

El grupo dual

Si es un grupo abeliano localmente compacto , un carácter de es un homomorfismo de grupo continuo de con valores en el grupo del círculo . El conjunto de todos los caracteres en se puede convertir en un grupo abeliano localmente compacto, llamado grupo dual de y denotado . La operación de grupo en el grupo dual se da por la multiplicación puntual de caracteres, el inverso de un carácter es su conjugado complejo y la topología en el espacio de caracteres es la de convergencia uniforme en conjuntos compactos (es decir, la topología compacta-abierta , vista como un subconjunto del espacio de todas las funciones continuas de a .). Esta topología en general no es metrizable. Sin embargo, si el grupo es un grupo abeliano localmente compacto separable , entonces el grupo dual es metrizable. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle G}$

Esto es análogo al espacio dual en álgebra lineal: así como para un espacio vectorial sobre un cuerpo , el espacio dual es , también lo es el grupo dual . De manera más abstracta, ambos son ejemplos de funtores representables , que se representan respectivamente por y . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,K)}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Un grupo que es isomorfo (como los grupos topológicos) a su grupo dual se denomina autodual . Si bien los grupos reales y cíclicos finitos son autoduales, el grupo y el grupo dual no son naturalmente isomorfos y deben considerarse como dos grupos diferentes.

Ejemplos de grupos duales

El dual de es isomorfo al grupo de círculos . Un carácter en el grupo cíclico infinito de los números enteros bajo adición se determina por su valor en el generador 1. Por lo tanto, para cualquier carácter en , . Además, esta fórmula define un carácter para cualquier elección de en . La topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos es en este caso la topología de convergencia puntual . Esta es la topología del grupo de círculos heredada de los números complejos. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \chi (n)=\chi (1)^{n}}$ ${\displaystyle \chi (1)}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

El dual de es canónicamente isomorfo con . De hecho, un carácter en tiene la forma de un entero. Como es compacto, la topología en el grupo dual es la de convergencia uniforme, que resulta ser la topología discreta . ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

El grupo de los números reales , es isomorfo a su propio dual; los caracteres en tienen la forma de un número real. Con estas dualidades, la versión de la transformada de Fourier que se presentará a continuación coincide con la transformada de Fourier clásica en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r\mapsto e^{i\theta r}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Análogamente, el grupo de números -ádicos es isomorfo a su dual. (De hecho, cualquier extensión finita de es también autodual.) De ello se deduce que los adeles son autoduales. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Dualidad de Pontryagin

La dualidad de Pontryagin afirma que el funtor

${\displaystyle G\mapsto {\hat {G}}}$

induce una equivalencia de categorías entre el opuesto de la categoría de grupos abelianos localmente compactos (con morfismos continuos) y él mismo:

${\displaystyle LCA^{op}{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}LCA.}$

Propiedades categóricas

Clausen (2017) muestra que la categoría LCA de los grupos abelianos localmente compactos mide, en términos muy generales, la diferencia entre los números enteros y los reales. Más precisamente, el espectro de la teoría K algebraica de la categoría de los grupos abelianos localmente compactos y los de Z y R se encuentran en una secuencia de fibras de homotopía.

${\displaystyle K(\mathbf {Z} )\to K(\mathbf {R} )\to K(LCA).}$

Referencias

• Clausen, Dustin (2017), Un enfoque de la teoría K para los mapas de Artin , arXiv : 1703.07842v2