Efecto Aharonov-Bohm

Efecto cuántico-mecánico electromagnético en regiones de campo magnético y eléctrico cero

Aparato de efecto Aharonov-Bohm que muestra la barrera, X; las ranuras S ₁ y S ₂ ; las trayectorias de los electrones e ₁ y e ₂ ; el bigote magnético, W; la pantalla, P; el patrón de interferencia, I; la densidad de flujo magnético, B (señalando hacia fuera de la figura); y el potencial vectorial magnético, A. B es esencialmente nulo fuera del bigote. En algunos experimentos, el bigote se reemplaza por un solenoide. Los electrones en la trayectoria 1 se desplazan con respecto a los electrones en la trayectoria 2 por el potencial vectorial aunque la densidad de flujo sea nula.

Yakir Aharonov

David Bohm

El efecto Aharonov-Bohm , a veces llamado efecto Ehrenberg-Siday-Aharonov-Bohm , es un fenómeno mecánico cuántico en el que una partícula cargada eléctricamente se ve afectada por un potencial electromagnético ( , ), a pesar de estar confinada a una región en la que tanto el campo magnético como el campo eléctrico son cero. ^[1] El mecanismo subyacente es el acoplamiento del potencial electromagnético con la fase compleja de la función de onda de una partícula cargada , y el efecto Aharonov-Bohm se ilustra en consecuencia mediante experimentos de interferencia . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

El caso más comúnmente descrito, a veces llamado efecto solenoide Aharonov-Bohm , ocurre cuando la función de onda de una partícula cargada que pasa alrededor de un solenoide largo experimenta un cambio de fase como resultado del campo magnético encerrado, a pesar de que el campo magnético es insignificante en la región a través de la cual pasa la partícula y la función de onda de la partícula es insignificante dentro del solenoide. Este cambio de fase se ha observado experimentalmente. ^[2] También hay efectos Aharonov-Bohm magnéticos sobre energías ligadas y secciones transversales de dispersión, pero estos casos no se han probado experimentalmente. También se predijo un fenómeno Aharonov-Bohm eléctrico, en el que una partícula cargada se ve afectada por regiones con diferentes potenciales eléctricos pero campo eléctrico cero, pero esto aún no tiene confirmación experimental. ^[2] Se propuso un efecto Aharonov-Bohm "molecular" separado para el movimiento nuclear en regiones conectadas múltiples, pero se ha argumentado que se trata de un tipo diferente de fase geométrica , ya que "no es ni no local ni topológico", dependiendo solo de cantidades locales a lo largo de la trayectoria nuclear. ^[3]

Werner Ehrenberg (1901-1975) y Raymond E. Siday predijeron por primera vez el efecto en 1949. ^[4] Yakir Aharonov y David Bohm publicaron su análisis en 1959. ^[1] Después de la publicación del artículo de 1959, Bohm fue informado del trabajo de Ehrenberg y Siday, que fue reconocido y acreditado en el artículo posterior de Bohm y Aharonov de 1961. ^{[5] [6] [7]} El efecto se confirmó experimentalmente, con un error muy grande, mientras Bohm todavía estaba vivo. Para cuando el error se redujo a un valor respetable, Bohm ya había muerto. ^[8]

Significado

En los siglos XVIII y XIX, la física estaba dominada por la dinámica newtoniana, con su énfasis en las fuerzas . Los fenómenos electromagnéticos se dilucidaron mediante una serie de experimentos que implicaban la medición de fuerzas entre cargas, corrientes e imanes en varias configuraciones. Finalmente, surgió una descripción según la cual las cargas, las corrientes y los imanes actuaban como fuentes locales de campos de fuerza que se propagaban, que luego actuaban sobre otras cargas y corrientes localmente a través de la ley de fuerza de Lorentz . En este marco, debido a que una de las propiedades observadas del campo eléctrico era que era irrotacional , y una de las propiedades observadas del campo magnético era que no divergía , era posible expresar un campo electrostático como el gradiente de un potencial escalar (por ejemplo, el potencial electrostático de Coulomb , que es matemáticamente análogo al potencial gravitatorio clásico) y un campo magnético estacionario como el rizo de un potencial vectorial (entonces un concepto nuevo: la idea de un potencial escalar ya era bien aceptada por analogía con el potencial gravitatorio). El lenguaje de los potenciales se generalizó sin problemas al caso completamente dinámico pero, dado que todos los efectos físicos se podían describir en términos de los campos que eran los derivados de los potenciales, los potenciales (a diferencia de los campos) no estaban determinados únicamente por los efectos físicos: los potenciales solo se definían hasta un potencial electrostático constante aditivo arbitrario y un potencial vectorial magnético estacionario irrotacional.

El efecto Aharonov-Bohm es importante conceptualmente porque se relaciona con tres cuestiones evidentes en la reformulación de la teoría electromagnética clásica ( de Maxwell ) como una teoría de calibración , que antes de la llegada de la mecánica cuántica podía considerarse una reformulación matemática sin consecuencias físicas. Los experimentos mentales de Aharonov-Bohm y su realización experimental implican que las cuestiones no eran simplemente filosóficas.

Las tres cuestiones son:

1. si los potenciales son "físicos" o simplemente una herramienta conveniente para calcular campos de fuerza;
2. si los principios de acción son fundamentales;
3. el principio de localidad .

Por razones como estas, el efecto Aharonov-Bohm fue elegido por la revista New Scientist como una de las "siete maravillas del mundo cuántico". ^[9]

Chen-Ning Yang consideró que el efecto Aharonov-Bohm era la única prueba experimental directa del principio de gauge . La importancia filosófica ^{[ aclaración necesaria ]} es que el potencial magnético de cuatro campos describe en exceso la física, ya que todos los fenómenos observables permanecen inalterados después de una transformación de gauge. Por el contrario, los campos de Maxwell ^{[ vago ]} describen en defecto la física, ya que no predicen el efecto Aharonov-Bohm. Además, como predice el principio de gauge, las cantidades que permanecen invariables bajo las transformaciones de gauge son precisamente los fenómenos físicamente observables. ^{[10] [11]} ${\displaystyle (\phi ,\mathbf {A} )}$

Potenciales vs. campos

Generalmente se sostiene que el efecto Aharonov-Bohm ilustra la fisicalidad de los potenciales electromagnéticos, Φ y A , en mecánica cuántica. Clásicamente era posible argumentar que solo los campos electromagnéticos son físicos, mientras que los potenciales electromagnéticos son construcciones puramente matemáticas, que debido a la libertad de calibración ni siquiera son únicos para un campo electromagnético dado.

Sin embargo, Vaidman ha desafiado esta interpretación al demostrar que el efecto Aharonov-Bohm puede explicarse sin el uso de potenciales siempre que se dé un tratamiento mecánico cuántico completo a las cargas fuente que producen el campo electromagnético. ^[12] Según este punto de vista, el potencial en la mecánica cuántica es tan físico (o no físico) como lo era clásicamente. Aharonov, Cohen y Rohrlich respondieron que el efecto puede deberse a un potencial de calibre local o a campos invariantes de calibre no locales. ^[13]

Dos artículos publicados en la revista Physical Review A en 2017 han demostrado una solución mecánica cuántica para el sistema. Su análisis muestra que el cambio de fase puede considerarse generado por el potencial vectorial de un solenoide que actúa sobre el electrón o el potencial vectorial del electrón que actúa sobre el solenoide o las corrientes del electrón y el solenoide que actúan sobre el potencial vectorial cuantificado. ^{[14] [15]}

Acción global vs. fuerzas locales

De manera similar, el efecto Aharonov-Bohm ilustra que el enfoque lagrangiano de la dinámica , basado en energías , no es solo una ayuda computacional para el enfoque newtoniano , basado en fuerzas . Por lo tanto, el efecto Aharonov-Bohm valida la visión de que las fuerzas son una forma incompleta de formular la física y que se deben usar energías potenciales en su lugar. De hecho, Richard Feynman se quejó de que le habían enseñado electromagnetismo desde la perspectiva de los campos electromagnéticos, y deseó que más tarde en la vida le hubieran enseñado a pensar en términos del potencial electromagnético en su lugar, ya que esto sería más fundamental. ^{[16] En} la visión de la dinámica de la integral de trayectorias de Feynman , el campo potencial cambia directamente la fase de una función de onda de electrones, y son estos cambios de fase los que conducen a cantidades mensurables.

Localidad de los efectos electromagnéticos

El efecto Aharonov-Bohm muestra que los campos locales E y B no contienen información completa sobre el campo electromagnético, y el tetra-potencial electromagnético , ( Φ , A ), debe usarse en su lugar. Por el teorema de Stokes , la magnitud del efecto Aharonov-Bohm puede calcularse utilizando solo los campos electromagnéticos, o utilizando solo el tetra-potencial. Pero cuando se utilizan solo los campos electromagnéticos, el efecto depende de los valores de campo en una región de la que se excluye la partícula de prueba. En contraste, cuando se utiliza solo el tetra-potencial, el efecto solo depende del potencial en la región donde se permite la partícula de prueba. Por lo tanto, uno debe abandonar el principio de localidad , lo que la mayoría de los físicos son reacios a hacer, o aceptar que el tetra-potencial electromagnético ofrece una descripción más completa del electromagnetismo que los campos eléctrico y magnético. Por otro lado, el efecto Aharonov-Bohm es crucialmente mecánico cuántico; Es bien sabido que la mecánica cuántica presenta efectos no locales (aunque todavía no permite la comunicación superlumínica), y Vaidman ha argumentado que esto es simplemente un efecto cuántico no local en una forma diferente. ^[12]

En el electromagnetismo clásico, las dos descripciones eran equivalentes. Sin embargo, con la incorporación de la teoría cuántica, los potenciales electromagnéticos Φ y A se consideran más fundamentales. ^[17] A pesar de esto, todos los efectos observables terminan siendo expresables en términos de los campos electromagnéticos, E y B . Esto es interesante porque, si bien se puede calcular el campo electromagnético a partir del potencial cuaternario, debido a la libertad de calibración , lo inverso no es cierto.

Efecto solenoide magnético

El efecto magnético Aharonov-Bohm puede verse como resultado del requisito de que la física cuántica debe ser invariante con respecto a la elección del calibre para el potencial electromagnético , del cual forma parte el potencial vectorial magnético . ${\displaystyle \mathbf {A} }$

La teoría electromagnética implica ^[18] que una partícula con carga eléctrica que viaja a lo largo de una trayectoria en una región con campo magnético cero , pero distinto de cero (por ), adquiere un desplazamiento de fase , dado en unidades del SI por ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {0} =\nabla \times \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi ={\frac {q}{\hbar c}}\int _{P}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {x} ,}$

Por lo tanto, las partículas, con los mismos puntos de inicio y fin, pero que viajan a lo largo de dos rutas diferentes, adquirirán una diferencia de fase determinada por el flujo magnético a través del área entre las trayectorias (a través del teorema de Stokes y ), y dada por: ${\displaystyle \Delta \varphi }$ ${\displaystyle \Phi _{B}}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$

${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {q\,\Phi _{B}}{\hbar c}}.}$

Esquema del experimento de doble rendija en el que se puede observar el efecto Aharonov-Bohm: los electrones pasan a través de dos rendijas, interfiriendo en una pantalla de observación, con el patrón de interferencia desplazado cuando se modifica un campo magnético B en el bigote. La dirección del campo B es hacia afuera de la figura; el flujo de retorno hacia adentro no se muestra, pero está fuera de las trayectorias de los electrones. La flecha muestra la dirección del campo A que se extiende fuera de la región enmarcada aunque el campo B no lo hace.

En mecánica cuántica, la misma partícula puede viajar entre dos puntos por una variedad de caminos . Por lo tanto, esta diferencia de fase se puede observar colocando un solenoide entre las rendijas de un experimento de doble rendija (o equivalente). Un solenoide ideal (es decir, infinitamente largo y con una distribución de corriente perfectamente uniforme) encierra un campo magnético , pero no produce ningún campo magnético fuera de su cilindro, y por lo tanto, la partícula cargada (por ejemplo, un electrón ) que pasa por fuera no experimenta campo magnético . (Esta idealización simplifica el análisis, pero es importante darse cuenta de que el efecto Aharonov-Bohm no depende de él, siempre que el flujo magnético regrese fuera de las trayectorias del electrón, por ejemplo, si una trayectoria pasa por un solenoide toroidal y la otra lo rodea, y el solenoide está protegido de modo que no produce campo magnético externo). Sin embargo, hay un potencial vectorial (sin rizo ) fuera del solenoide con un flujo encerrado, y por lo tanto la fase relativa de las partículas que pasan por una rendija u otra se altera si la corriente del solenoide está encendida o apagada. Esto corresponde a un desplazamiento observable de las franjas de interferencia en el plano de observación. ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

El mismo efecto de fase es responsable del requisito de flujo cuantizado en los bucles superconductores . Esta cuantización se produce porque la función de onda superconductora debe tener un solo valor: su diferencia de fase alrededor de un bucle cerrado debe ser un múltiplo entero de (con la carga de los pares de Cooper de electrones ), y por lo tanto el flujo debe ser un múltiplo de . El cuanto de flujo superconductor fue predicho en realidad antes de Aharonov y Bohm, por F. London en 1948 utilizando un modelo fenomenológico. ^[19] ${\displaystyle \Delta \varphi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle q=2e}$ ${\displaystyle h/2e}$

La primera confirmación experimental reclamada fue por Robert G. Chambers en 1960, ^{[20] [21]} en un interferómetro electrónico con un campo magnético producido por un bigote de hierro delgado, y otros trabajos tempranos se resumen en Olariu y Popèscu (1984). ^[22] Sin embargo, autores posteriores cuestionaron la validez de varios de estos primeros resultados porque los electrones pueden no haber sido completamente protegidos de los campos magnéticos. ^{[23] [24] [25] [26] [27]} Un experimento temprano en el que se observó un efecto Aharonov-Bohm inequívoco al excluir completamente el campo magnético de la trayectoria de los electrones (con la ayuda de una película superconductora ) fue realizado por Tonomura et al. en 1986. ^{[28] [29]} El alcance y la aplicación del efecto continúan expandiéndose. Webb et al. (1985) ^[30] demostraron oscilaciones de Aharonov-Bohm en anillos metálicos ordinarios, no superconductores; Para una discusión, véase Schwarzschild (1986) ^[31] e Imry & Webb (1989). ^[32] Bachtold et al. (1999) ^[33] detectaron el efecto en nanotubos de carbono; para una discusión, véase Kong et al. (2004). ^[34]

Monopolos y cuerdas de Dirac

El efecto magnético Aharonov-Bohm también está estrechamente relacionado con el argumento de Dirac de que la existencia de un monopolo magnético puede ser acomodada por las ecuaciones de Maxwell libres de fuentes magnéticas existentes si se cuantifican tanto las cargas eléctricas como las magnéticas.

Un monopolo magnético implica una singularidad matemática en el potencial vectorial, que puede expresarse como una cuerda de Dirac de diámetro infinitesimal que contiene el equivalente de todo el flujo 4π g de una "carga" monopolar g . La cuerda de Dirac comienza y termina en un monopolo magnético. Por lo tanto, suponiendo la ausencia de un efecto de dispersión de rango infinito por esta elección arbitraria de singularidad, el requisito de funciones de onda de valor único (como el anterior) requiere cuantificación de carga. Es decir, debe ser un número entero (en unidades cgs ) para cualquier carga eléctrica q _e y carga magnética q _m . ${\displaystyle 2{\frac {q_{\text{e}}q_{\text{m}}}{\hbar c}}}$

Al igual que el potencial electromagnético A, la cuerda de Dirac no es invariante en cuanto a calibre (se mueve con puntos finales fijos bajo una transformación de calibre) y, por lo tanto, tampoco es directamente medible.

Efecto eléctrico

Así como la fase de la función de onda depende del potencial vectorial magnético, también depende del potencial eléctrico escalar. Al construir una situación en la que el potencial electrostático varía para dos trayectorias de una partícula, a través de regiones de campo eléctrico cero, se ha predicho un fenómeno de interferencia de Aharonov-Bohm observable a partir del cambio de fase; nuevamente, la ausencia de un campo eléctrico significa que, clásicamente, no habría efecto.

De la ecuación de Schrödinger , la fase de una función propia con energía es . Sin embargo, la energía dependerá del potencial electrostático de una partícula con carga . En particular, para una región con potencial constante (campo cero), la energía potencial eléctrica simplemente se suma a , lo que da como resultado un cambio de fase: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e^{-iEt/\hbar }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle qV}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \Delta \varphi =-{\frac {qVt}{\hbar }},}$

donde t es el tiempo transcurrido en el potencial.

Por ejemplo, podemos tener un par de conductores planos grandes conectados a una batería de voltaje . Luego, podemos realizar un experimento de doble rendija con un solo electrón, con las dos rendijas en los dos lados del par de conductores. Si el electrón tarda en llegar a la pantalla, entonces deberíamos observar un cambio de fase . Al ajustar el voltaje de la batería, podemos desplazar horizontalmente el patrón de interferencia en la pantalla. ${\displaystyle \Delta V}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle e\Delta Vt/\hbar }$

La propuesta teórica inicial para este efecto sugería un experimento en el que las cargas pasan a través de cilindros conductores a lo largo de dos caminos, que protegen a las partículas de los campos eléctricos externos en las regiones por donde viajan, pero aún permiten que se aplique un potencial dependiente del tiempo al cargar los cilindros. Sin embargo, esto resultó difícil de realizar. En su lugar, se propuso un experimento diferente que involucraba una geometría de anillo interrumpida por barreras de túnel, con un voltaje de polarización constante V que relaciona los potenciales de las dos mitades del anillo. Esta situación da como resultado un cambio de fase de Aharonov-Bohm como el anterior, y se observó experimentalmente en 1998, aunque en una configuración donde las cargas atraviesan el campo eléctrico generado por el voltaje de polarización. El efecto eléctrico Aharonov-Bohm dependiente del tiempo original aún no ha encontrado verificación experimental. ^[35]

Efecto gravitacional

El cambio de fase de Aharonov-Bohm debido al potencial gravitatorio también debería ser posible de observar en teoría, y a principios de 2022 ^{[36] [37] [38]} se llevó a cabo un experimento para observarlo basado en un diseño experimental de 2012. ^{[39] [40]} En el experimento, se lanzaron átomos de rubidio ultrafríos en superposición verticalmente dentro de un tubo de vacío y se dividieron con un láser para que una parte subiera más alto que la otra y luego se recombinara nuevamente. Fuera de la cámara en la parte superior se encuentra una masa axialmente simétrica que cambia el potencial gravitatorio. Por lo tanto, la parte que sube más alto debería experimentar un cambio mayor que se manifiesta como un patrón de interferencia cuando los paquetes de ondas se recombinan, lo que resulta en un cambio de fase medible. El equipo encontró evidencia de una coincidencia entre las mediciones y las predicciones. Se han propuesto muchas otras pruebas. ^{[41] [42] [43] [44]}

Efecto no abeliano

En 1975, Tai-Tsun Wu y Chen-Ning Yang formularon el efecto Aharonov-Bohm no abeliano ^[45] , y en 2019 se informó experimentalmente en un sistema con ondas de luz en lugar de la función de onda del electrón. El efecto se produjo de dos formas diferentes. En una, la luz atravesó un cristal en un campo magnético fuerte y en otra, la luz se moduló utilizando señales eléctricas variables en el tiempo. En ambos casos, el cambio de fase se observó a través de un patrón de interferencia que también era diferente dependiendo de si se avanzaba o retrocedía en el tiempo. ^{[46] [47]}

Nanoanillos de Aharonov-Bohm

Los nanoanillos se crearon por accidente ^[48] cuando se intentaba hacer puntos cuánticos . Tienen propiedades ópticas interesantes asociadas con los excitones y el efecto Aharonov-Bohm. ^[48] La aplicación de estos anillos como condensadores o amortiguadores de luz incluye la informática fotónica y la tecnología de las comunicaciones. El análisis y la medición de fases geométricas en anillos mesoscópicos está en curso. ^{[49] [50] [51]} Incluso se sugiere que podrían usarse para hacer una forma de vidrio lento . ^[52]

Varios experimentos, incluidos algunos informados en 2012, ^[53] muestran oscilaciones de Aharonov-Bohm en la corriente de onda de densidad de carga (CDW) versus flujo magnético, de período dominante h /2 e a través de anillos CDW de hasta 85  μm de circunferencia por encima de 77 K. Este comportamiento es similar al de los dispositivos superconductores de interferencia cuántica (ver SQUID ).

Interpretación matemática

El efecto Aharonov-Bohm se puede entender a partir del hecho de que solo se pueden medir valores absolutos de la función de onda. Si bien esto permite la medición de diferencias de fase a través de experimentos de interferencia cuántica, no hay forma de especificar una función de onda con fase absoluta constante. En ausencia de un campo electromagnético, uno puede acercarse declarando la función propia del operador de momento con momento cero como la función "1" (ignorando los problemas de normalización) y especificando funciones de onda relativas a esta función propia "1". En esta representación, el operador de momento i es (hasta un factor ) el operador diferencial . Sin embargo, por invariancia de calibre, es igualmente válido declarar que la función propia de momento cero es a costa de representar el operador de momento i (hasta un factor) como ie con un potencial vectorial de calibre puro . No hay una asimetría real porque representar lo primero en términos de lo segundo es tan complicado como representar lo último en términos de lo primero. Esto significa que es físicamente más natural describir las "funciones" de onda, en el lenguaje de la geometría diferencial , como secciones en un fibrado lineal complejo con una métrica hermítica y una conexión U(1) . La forma de curvatura de la conexión, , es, hasta el factor i, el tensor de Faraday de la intensidad del campo electromagnético . El efecto Aharonov-Bohm es entonces una manifestación del hecho de que una conexión con curvatura cero (es decir, plana ), no necesita ser trivial ya que puede tener monodromía a lo largo de una trayectoria topológicamente no trivial completamente contenida en la región de curvatura cero (es decir, libre de campo). Por definición, esto significa que las secciones que se trasladan paralelamente a lo largo de una trayectoria topológicamente no trivial toman una fase, de modo que las secciones constantes covariantes no se pueden definir sobre toda la región libre de campo. ${\displaystyle \hbar /i}$ ${\displaystyle \partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ ${\displaystyle e^{-i\phi (x)}}$ ${\displaystyle \nabla _{i}=\partial _{i}+i(\partial _{i}\phi )}$ ${\displaystyle A=d\phi }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle iF=\nabla \wedge \nabla }$

Dada una trivialización del fibrado lineal, una sección no nula, la conexión U(1) viene dada por la forma 1 correspondiente al potencial electromagnético A como donde d significa derivación exterior en el espacio de Minkowski . La monodromía es la holonomía de la conexión plana. La holonomía de una conexión, plana o no plana, alrededor de un bucle cerrado es (se puede demostrar que esto no depende de la trivialización sino sólo de la conexión). Para una conexión plana se puede encontrar una transformación de calibre en cualquier región libre de campo simplemente conectada (que actúe sobre funciones de onda y conexiones) que elimine por calibración el potencial vectorial. Sin embargo, si la monodromía no es trivial, no existe tal transformación de calibre para toda la región exterior. De hecho, como consecuencia del teorema de Stokes , la holonomía está determinada por el flujo magnético a través de una superficie que limita el bucle , pero dicha superficie puede existir sólo si pasa por una región de campo no trivial: ${\displaystyle \nabla =d+iA\,}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle e^{i\int _{\gamma }A}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle e^{i\int _{\partial \sigma }A}=e^{i\int _{\sigma }dA}=e^{i\int _{\sigma }F}}$

La monodromía de la conexión plana depende únicamente del tipo topológico del bucle en la región libre de campo (de hecho, de la clase de homología de bucles ). Sin embargo, la descripción de la holonomía es general y funciona tanto dentro como fuera del superconductor. Fuera del tubo conductor que contiene el campo magnético, la intensidad del campo . En otras palabras, fuera del tubo la conexión es plana y la monodromía del bucle contenido en la región libre de campo depende únicamente del número de vueltas alrededor del tubo. La monodromía de la conexión para un bucle que gira una vez (número de vuelta 1) es la diferencia de fase de una partícula que interfiere propagándose a la izquierda y a la derecha del tubo superconductor que contiene el campo magnético. Si uno quiere ignorar la física dentro del superconductor y solo describir la física en la región exterior, se vuelve natural y matemáticamente conveniente describir el electrón cuántico por una sección en un haz de líneas complejo con una conexión plana "externa" con monodromía ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \alpha =}$flujo magnético a través del tubo / ${\displaystyle (\hbar /e)}$

en lugar de un campo electromagnético externo . La ecuación de Schrödinger se generaliza fácilmente a esta situación utilizando el laplaciano de la conexión para el hamiltoniano (libre) ${\displaystyle F}$

${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\nabla ^{*}\nabla }$.

De manera equivalente, se puede trabajar en dos regiones simplemente conectadas con cortes que pasan del tubo hacia o desde la pantalla de detección. En cada una de estas regiones habría que resolver las ecuaciones libres ordinarias de Schrödinger, pero al pasar de una región a la otra, en sólo una de las dos componentes conectadas de la intersección (efectivamente en sólo una de las rendijas) se capta un factor de monodromía, lo que da como resultado el desplazamiento del patrón de interferencia a medida que se cambia el flujo. ${\displaystyle e^{i\alpha }}$

Se pueden encontrar efectos con una interpretación matemática similar en otros campos. Por ejemplo, en la física estadística clásica, la cuantificación del movimiento de un motor molecular en un entorno estocástico se puede interpretar como un efecto Aharonov-Bohm inducido por un campo de calibración que actúa en el espacio de los parámetros de control. ^[54]

Véase también

• Fase geométrica
• Angulo de Hannay
• Función Wannier
• Fase de baya
• Bucle de Wilson
• Número de bobinado
• Efecto Aharonov-Casher
• Teorema de Byers-Yang

Referencias

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Lectura adicional

• DJ Thouless (1998). "§2.2 Invariancia de calibre y el efecto Aharonov–Bohm". Números cuánticos topológicos en física no relativista . World Scientific. pp. 18 y siguientes . ISBN . 978-981-02-3025-8.

Enlaces externos

• La página de la Sociedad David Bohm sobre el efecto Aharonov-Bohm.