En matemáticas , se dice que una variedad abeliana A definida sobre un campo K tiene tipo CM si tiene un subanillo conmutativo suficientemente grande en su anillo de endomorfismo End( A ). La terminología aquí proviene de la teoría de la multiplicación compleja , que se desarrolló para curvas elípticas en el siglo XIX. Uno de los mayores logros en teoría algebraica de números y geometría algebraica del siglo XX fue encontrar las formulaciones correctas de la teoría correspondiente para variedades abelianas de dimensión d > 1. El problema se encuentra en un nivel más profundo de abstracción, porque es mucho más difícil. manipular funciones analíticas de varias variables complejas .
La definición formal es que
el producto tensorial de End( A ) con el campo de número racional Q , debe contener un subanillo conmutativo de dimensión 2 d sobre Q . Cuando d = 1 éste sólo puede ser un campo cuadrático , y se recuperan los casos donde End( A ) es un orden en un campo cuadrático imaginario . Para d > 1 hay casos comparables para campos CM , las complejas extensiones cuadráticas de campos totalmente reales . Hay otros casos que reflejan que A puede no ser una variedad abeliana simple (podría ser un producto cartesiano de curvas elípticas, por ejemplo). Otro nombre para las variedades abelianas de tipo CM es variedades abelianas con suficientes multiplicaciones complejas .
Se sabe que si K son números complejos , entonces cualquier A tiene un campo de definición que en realidad es un campo numérico . Los posibles tipos de anillo de endomorfismo se han clasificado como anillos con involución (la involución de Rosati ), dando lugar a una clasificación de variedades abelianas de tipo CM. Para construir tales variedades con el mismo estilo que para las curvas elípticas, comenzando con una red Λ en C d , se deben tener en cuenta las relaciones de Riemann de la teoría de variedades abelianas.
El tipo CM es una descripción de la acción de un subanillo conmutativo (máximo) L de extremo Q ( A ) en el espacio tangente holomórfico de A en el elemento identidad . Se aplica una teoría espectral de tipo simple para demostrar que L actúa a través de una base de vectores propios ; en otras palabras, L tiene una acción que se realiza a través de matrices diagonales sobre los campos vectoriales holomorfos en A. En el caso simple, donde L es en sí mismo un campo numérico en lugar de un producto de un número determinado de campos, el tipo CM es entonces una lista de incrustaciones complejas de L. Hay 2 d de ellos, que se presentan en pares conjugados complejos ; el tipo CM es una elección de uno de cada par. Se sabe que se pueden realizar todos los tipos de CM posibles.
Los resultados básicos de Goro Shimura y Yutaka Taniyama calculan la función L de Hasse-Weil de A , en términos del tipo CM y una función L de Hecke con carácter Hecke , de la que se deriva el tipo infinito . Estos generalizan los resultados de Max Deuring para el caso de la curva elíptica.
