En geometría de seis dimensiones , un politopo de seis dimensiones o 6-politopo es un politopo delimitado por facetas de 5 politopos .
Definición
Un 6-politopo es una figura cerrada de seis dimensiones con vértices , aristas , caras , celdas (3-caras), 4-caras y 5-caras. Un vértice es un punto donde se encuentran seis o más aristas. Una arista es un segmento de línea donde se encuentran cuatro o más caras, y una cara es un polígono donde se encuentran tres o más celdas. Una celda es un poliedro . Un 4-cara es un policoron y un 5-cara es un 5-politopo . Además, se deben cumplir los siguientes requisitos:
Características
La topología de cualquier 6-politopo dado se define por sus números de Betti y coeficientes de torsión . [1]
El valor de la característica de Euler utilizada para caracterizar poliedros no se puede generalizar de forma útil a dimensiones superiores y es cero para todos los 6-politopos, cualquiera sea su topología subyacente. Esta inadecuación de la característica de Euler para distinguir de forma fiable entre diferentes topologías en dimensiones superiores condujo al descubrimiento de los números de Betti, más sofisticados. [1]
De manera similar, la noción de orientabilidad de un poliedro es insuficiente para caracterizar las torsiones superficiales de los politopos toroidales, y esto condujo al uso de coeficientes de torsión. [1]
Clasificación
Los 6-politopos pueden clasificarse por propiedades como " convexidad " y " simetría ".
- Un 6-politopo es convexo si su límite (incluyendo sus 5-caras, 4-caras, celdas, caras y aristas) no se interseca consigo mismo y el segmento de línea que une dos puntos cualesquiera del 6-politopo está contenido en el 6-politopo o en su interior; de lo contrario, no es convexo . Los 6-politopos autointersecantes también se conocen como 6-politopos estrella , por analogía con las formas similares a estrellas de los poliedros no convexos de Kepler-Poinsot .
- Un politopo 6 regular tiene todas las facetas de un politopo 5 regular idénticas. Todos los politopos 6 regulares son convexos.
- Un politopo 6 prismático se construye mediante el producto cartesiano de dos politopos de menor dimensión. Un politopo 6 prismático es uniforme si sus factores son uniformes. El cubo 6 es prismático (producto de un cuadrado y un cubo ), pero se considera por separado porque tiene simetrías distintas de las heredadas de sus factores.
- Una teselación de 5 espacios es la división del espacio euclidiano de cinco dimensiones en una cuadrícula regular de facetas de 5 politopos. Estrictamente hablando, las teselaciones no son 6-politopos ya que no delimitan un volumen "6D", pero las incluimos aquí para completar la descripción porque son similares en muchos aspectos a los 6-politopos. Una teselación uniforme de 5 espacios es aquella cuyos vértices están relacionados por un grupo espacial y cuyas facetas son 5-politopos uniformes .
6-politopos regulares
Se pueden generar 6-politopos regulares a partir de grupos de Coxeter representados por el símbolo de Schläfli {p,q,r,s,t} con t {p,q,r,s} facetas de 5-politopos alrededor de cada celda .
Sólo existen tres de estos 6-politopos regulares convexos :
- {3,3,3,3,3} - 6-símplex
- {4,3,3,3,3} - 6 cubos
- {3,3,3,3,4} - 6-ortoplex
No existen politopos regulares no convexos de 5 o más dimensiones.
Para los tres 6-politopos regulares convexos, sus elementos son:
6-politopos uniformes
Aquí hay seis 6-politopos convexos uniformes simples, incluido el 6-ortoplex repetido con su construcción alternativa.
El 6-símplex expandido es la figura del vértice del panal 6-símplex uniforme .
El panal de abejas de 6 semicubes ,, la figura del vértice es un ortoplex 6 rectificado y las facetas son el ortoplex 6 y el demicube 6. El panal uniforme 2 22 ,, tiene 1 politopo de 22 que es la figura del vértice y 2 facetas de 21 .
Referencias
- ^ abc Richeson, D.; La joya de Euler: la fórmula del poliedro y el nacimiento de la topoplogía , Princeton, 2008.
- T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
- A. Boole Stott : Deducción geométrica de politopos semirregulares a partir de regulares y rellenos espaciales , Verhandelingen de la unidad de ancho van Wetenschappen de la Koninklijke academy Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
- HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins y JCP Miller: Poliedros uniformes , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londres, 1954
- HSM Coxeter, Politopos regulares , 3.ª edición, Dover, Nueva York, 1973
- Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen , Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- NW Johnson : La teoría de los politopos uniformes y los panales de abejas , tesis doctoral, Universidad de Toronto, 1966
- Klitzing, Richard. "Polipetas (politopos uniformes 6D)".
Enlaces externos
- Nombres de politopos
- Politopos de varias dimensiones, Jonathan Bowers
- Glosario multidimensional
- Glosario del hiperespacio, George Olshevsky.
El panal de abejas de 6 semicubes ,
