En geometría , un poliedro de Kepler-Poinsot es cualquiera de los cuatro poliedros de estrellas regulares . [1]
Pueden obtenerse estrellando el dodecaedro y el icosaedro convexo regular , y se diferencian de éstos por tener caras pentagramáticas regulares o figuras de vértices . Todos ellos pueden verse como análogos tridimensionales del pentagrama de una forma u otra.
La longitud del borde del gran icosaedro es multiplicada por la longitud del borde del icosaedro original. Las longitudes de los bordes del dodecaedro estrellado pequeño, el dodecaedro grande y el dodecaedro estrellado grande son respectivamente y multiplicadas por la longitud del borde del dodecaedro original.
Estas figuras tienen pentagramas (pentágonos estrella) como caras o figuras de vértice. El dodecaedro estrellado pequeño y grande tienen caras de pentagrama regulares no convexas . El gran dodecaedro y el gran icosaedro tienen caras poligonales convexas , pero figuras de vértices pentagramáticas .
En todos los casos, dos caras pueden cruzarse a lo largo de una línea que no sea arista de ninguna de las caras, de modo que parte de cada cara pase por el interior de la figura. Estas líneas de intersección no forman parte de la estructura poliédrica y, a veces, se denominan aristas falsas. Del mismo modo, cuando tres de estas líneas se cruzan en un punto que no es una esquina de ninguna cara, estos puntos son falsos vértices. Las imágenes siguientes muestran esferas en los vértices verdaderos y varillas azules a lo largo de los bordes verdaderos.
Por ejemplo, el pequeño dodecaedro estrellado tiene 12 caras de pentagrama con la parte pentagonal central oculta dentro del sólido. Las partes visibles de cada cara comprenden cinco triángulos isósceles que se tocan en cinco puntos alrededor del pentágono. Podríamos tratar estos triángulos como 60 caras separadas para obtener un nuevo poliedro irregular que aparentemente parece idéntico. Cada arista ahora se dividiría en tres aristas más cortas (de dos tipos diferentes), y los 20 vértices falsos se convertirían en verdaderos, de modo que tendríamos un total de 32 vértices (nuevamente de dos tipos). Los pentágonos interiores ocultos ya no forman parte de la superficie poliédrica y pueden desaparecer. Ahora la fórmula de Euler es válida: 60 − 90 + 32 = 2. Sin embargo, este poliedro ya no es el descrito por el símbolo de Schläfli {5/2, 5}, por lo que no puede ser un sólido de Kepler-Poinsot aunque todavía parezca como uno de fuera.
Un poliedro de Kepler-Poinsot cubre su esfera circunscrita más de una vez, actuando los centros de las caras como puntos sinuosos en las figuras que tienen caras pentagramáticas y los vértices en las demás. Debido a esto, no son necesariamente topológicamente equivalentes a la esfera como lo son los sólidos platónicos y, en particular, la relación de Euler.
no siempre se cumple. Schläfli sostuvo que todos los poliedros deben tener χ = 2, y rechazó el dodecaedro estrellado pequeño y el dodecaedro grande como poliedros adecuados. Esta opinión nunca fue ampliamente compartida.
Arthur Cayley dio una forma modificada de la fórmula de Euler, que utiliza la densidad ( D ) de las figuras de vértice ( ) y las caras ( ) , y es válida tanto para poliedros convexos (donde los factores de corrección son todos 1) como para los poliedros de Kepler-Poinsot. :
Los poliedros de Kepler-Poinsot existen en pares duales . Los duales tienen el mismo polígono de Petrie , o más precisamente, polígonos de Petrie con la misma proyección bidimensional.
Las siguientes imágenes muestran los dos compuestos duales con el mismo radio de borde . También muestran que los polígonos de Petrie están asimétricos . También se ven fácilmente en las imágenes dos relaciones descritas en el artículo siguiente: que los bordes violetas son iguales y que las caras verdes se encuentran en los mismos planos.
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John Conway define los poliedros de Kepler-Poinsot como engrandecimientos y estelaciones de los sólidos convexos.
En su convención de nomenclatura, el pequeño dodecaedro estrellado es simplemente el dodecaedro estrellado .
La estelación transforma caras pentagonales en pentagramas. (En este sentido, la estelación es una operación única y no debe confundirse con la estelación más general que se describe a continuación).
Ampliar mantiene el tipo de caras, moviéndolas y redimensionándolas en planos paralelos.
El gran icosaedro es una de las estelaciones del icosaedro . (Ver Los cincuenta y nueve icosaedros )
Los otros tres son todas las estelaciones del dodecaedro .
El gran dodecaedro estrellado es una faceta del dodecaedro.
Los otros tres son facetas del icosaedro.
Si las intersecciones se tratan como nuevas aristas y vértices, las figuras obtenidas no serán regulares , pero aún así pueden considerarse estelaciones . [ ejemplos necesarios ]
(Ver también Lista de modelos de poliedros de Wenninger )
El gran dodecaedro estrellado comparte sus vértices con el dodecaedro. Los otros tres poliedros de Kepler-Poinsot comparten el suyo con el icosaedro.Los esqueletos de los sólidos que comparten vértices son topológicamente equivalentes.
El dodecaedro estrellado pequeño y grande se puede ver como un dodecaedro regular y un gran dodecaedro con sus aristas y caras extendidas hasta intersectarse.
Las caras pentágono de estos núcleos son las partes invisibles de las caras pentagrama de los poliedros estelares.
En el caso del pequeño dodecaedro estrellado, el casco es varias veces mayor que el núcleo, y en el caso del gran dodecaedro es veces mayor.(Ver Proporción áurea )
(El radio medio es una medida común para comparar el tamaño de diferentes poliedros).
Tradicionalmente los poliedros de dos estrellas se han definido como aumentos (o acumulaciones ),es decir, como dodecaedro e icosaedro con pirámides añadidas a sus caras.
Kepler llama a la pequeña estelación dodecaedro aumentado (luego lo apodó erizo ). [3]
En su opinión, la gran estelación está relacionada con el icosaedro como la pequeña con el dodecaedro. [4]
Estas definiciones ingenuas todavía se utilizan. Por ejemplo, MathWorld afirma que los poliedros de dos estrellas se pueden construir agregando pirámides a las caras de los sólidos platónicos. [5] [6]
Esto es solo una ayuda para visualizar la forma de estos sólidos, y no una afirmación de que las intersecciones de los bordes (falsos vértices) sean vértices.Si lo fueran, los poliedros de dos estrellas serían topológicamente equivalentes al pentakis dodecaedro y al triakis icosaedro .
Todos los poliedros de Kepler-Poinsot tienen simetría icosaédrica completa , al igual que sus cascos convexos.
El gran icosaedro y su dual se parecen al icosaedro y su dual en que tienen caras y vértices en los ejes de simetría triple (amarillo) y quíntuple (rojo).
En el gran dodecaedro y su dual, todas las caras y vértices están en ejes de simetría de 5 veces (por lo que no hay elementos amarillos en estas imágenes).
La siguiente tabla muestra los sólidos en pares de duales. En la fila superior se muestran con simetría piritoédrica , en la fila inferior con simetría icosaédrica (a la que se refieren los colores mencionados).
La siguiente tabla muestra proyecciones ortográficas de los ejes de simetría de 5 veces (rojo), 3 veces (amarillo) y 2 veces (azul).
La mayoría, si no todos, los poliedros de Kepler-Poinsot eran conocidos de una forma u otra antes de Kepler. Un pequeño dodecaedro estrellado aparece en una tarsia (panel de incrustaciones) de mármol en el suelo de la Basílica de San Marcos , Venecia , Italia. Data del siglo XV y en ocasiones se atribuye a Paolo Uccello . [7]
En su Perspectiva corporum regularium ( Perspectivas de los sólidos regulares ), un libro de grabados en madera publicado en 1568, Wenzel Jamnitzer representa el gran dodecaedro estrellado y un gran dodecaedro (ambos mostrados a continuación). También existe una versión truncada del pequeño dodecaedro estrellado . [8] De la disposición general del libro se desprende claramente que sólo consideraba regulares los cinco sólidos platónicos.
Los dodecaedros estrellados pequeños y grandes, a veces llamados poliedros de Kepler , fueron reconocidos por primera vez como regulares por Johannes Kepler alrededor de 1619. [9] Los obtuvo estrellando el dodecaedro convexo regular, tratándolo por primera vez como una superficie en lugar de un sólido. . Notó que extendiendo los bordes o caras del dodecaedro convexo hasta que se volvieran a encontrar, podía obtener pentágonos estelares. Además, reconoció que estos pentágonos estelares también son regulares. De esta forma construyó los dos dodecaedros estrellados. Cada uno tiene la región convexa central de cada cara "oculta" dentro del interior, con sólo los brazos triangulares visibles. El último paso de Kepler fue reconocer que estos poliedros encajaban en la definición de regularidad, aunque no eran convexos , como lo eran los sólidos platónicos tradicionales .
En 1809, Louis Poinsot redescubrió las figuras de Kepler ensamblando pentágonos estelares alrededor de cada vértice. También reunió polígonos convexos alrededor de los vértices de las estrellas para descubrir dos estrellas más regulares, el gran icosaedro y el gran dodecaedro. Algunas personas llaman a estos dos poliedros de Poinsot . Poinsot no sabía si había descubierto todos los poliedros de estrellas regulares.
Tres años más tarde, Augustin Cauchy demostró que la lista estaba completa al estrellar los sólidos platónicos , y casi medio siglo después, en 1858, Bertrand proporcionó una prueba más elegante al facetarlos .
Al año siguiente, Arthur Cayley dio a los poliedros de Kepler-Poinsot los nombres con los que se los conoce generalmente en la actualidad.
Cien años después, John Conway desarrolló una terminología sistemática para las estelaciones de hasta cuatro dimensiones. Dentro de este esquema el pequeño dodecaedro estrellado es simplemente el dodecaedro estrellado .
Los poliedros de estrellas regulares aparecen por primera vez en el arte del Renacimiento. Un pequeño dodecaedro estrellado está representado en una tarsia de mármol en el suelo de la Basílica de San Marcos , Venecia, Italia, que data de ca. 1430 y en ocasiones atribuido a Paulo Uccello .
En el siglo XX, el interés del artista MC Escher por las formas geométricas a menudo condujo a obras basadas en sólidos regulares o que los incluían; La gravitación se basa en un pequeño dodecaedro estrellado.
Se utilizó una disección del gran dodecaedro para el rompecabezas de la década de 1980 La estrella de Alejandro .
La escultura del artista noruego Vebjørn Sand, La estrella Kepler, se exhibe cerca del aeropuerto de Oslo, Gardermoen . La estrella mide 14 metros y consta de un icosaedro y un dodecaedro dentro de un gran dodecaedro estrellado.
