En geometría , un panal E 9 es una teselación de politopos uniformes en un espacio hiperbólico de 9 dimensiones. Además, (E 10 ) es un grupo hiperbólico paracompacto, por lo que ni las facetas ni las figuras de vértices estarán acotadas.
E 10 es el último de la serie de grupos de Coxeter con un diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado de longitudes 6,2,1. Hay 1023 panales E 10 únicos por todas las combinaciones de su diagrama de Coxeter-Dynkin . No hay panales regulares en la familia ya que su diagrama de Coxeter es un grafo no lineal, pero hay tres más simples, con un solo anillo al final de sus 3 ramas: 6 21 , 2 61 , 1 62 .
El panal 6 21 está construido a partir de facetas alternas 9-simplex y 9-ortoplex dentro de la simetría del grupo E 10 de Coxeter.
Este panal es altamente regular en el sentido de que su grupo de simetría (el grupo de Weyl afín E9 ) actúa transitivamente sobre las k -caras para k ≤ 7. Todas las k -caras para k ≤ 8 son símplices.
Este panal es el último de la serie de k 21 politopos enumerados por Thorold Gosset en 1900, que enumera politopos y panales construidos enteramente con facetas regulares, aunque su lista termina con el panal euclidiano de 8 dimensiones, 5 21 . [1]
Se crea mediante una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 10 espejos hiperplanos en un espacio hiperbólico de 9 dimensiones.
La información de la faceta se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin .
Al quitar el nodo en el extremo de la rama de 2 longitudes queda el 9-ortoplex , 7 11 .
Al eliminar el nodo en el extremo de la rama de longitud 1, queda el 9-símplex .
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto forma el panal 5 21 .
La figura de la arista se determina a partir de la figura del vértice eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto forma el politopo 4 21 .
La figura de la cara se determina a partir de la figura del borde eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto forma el politopo 3 21 .
La figura de la celda se determina a partir de la figura de la cara eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto forma el politopo 2 21 .
El 6 21 es el último de una serie dimensional de politopos semirregulares y panales de abejas, identificado en 1900 por Thorold Gosset . Cada miembro de la secuencia tiene al miembro anterior como su figura de vértice . Todas las facetas de estos politopos son politopos regulares , es decir, símplex y ortoplex .
El panal 2 61 está compuesto por 2 51 facetas de 9 panales y 9 símplex . Es la figura final de la familia 2 k1 .
Se crea mediante una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 10 espejos hiperplanos en un espacio hiperbólico de 9 dimensiones.
La información de la faceta se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin .
Al eliminar el nodo de la rama corta queda el 9-símplex .
Al eliminar el nodo del extremo de la rama de longitud 6, queda el panal de abejas 2 51. Esta es una faceta infinita porque E10 es un grupo hiperbólico paracompacto.
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto forma el demicubo de 9 , 1 61 .
La figura de la arista es la figura del vértice de la figura de la arista. Esto hace que el 8-símplex rectificado sea 0 51 .
La figura de la cara se determina a partir de la figura del borde eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto forma el prisma 5-símplex .
El 2 61 es el último de una serie dimensional de politopos y panales uniformes.
El panal de abejas 1 62 contiene 1 52 facetas (panal de abejas 9) y 1 61 facetas de demicubes 9. Es la figura final de la familia de politopos 1 k2 .
Se crea mediante una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 10 espejos hiperplanos en un espacio de 9 dimensiones.
La información de la faceta se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin .
Al quitar el nodo en el extremo de la rama de 2 longitudes, queda el demicubo 9 , 1 61 .
Al quitar el nodo en el extremo de la rama de longitud 6 queda el panal de 1,52 .
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto produce el 9-símplex birectificado , 0 62 .
El 1 62 es el último de una serie dimensional de politopos y panales uniformes.
