En matemáticas, específicamente en análisis funcional , una C ∗ -álgebra (pronunciada "C-star") es un álgebra de Banach junto con una involución que satisface las propiedades del adjunto . Un caso particular es el de un álgebra compleja A de operadores lineales continuos en un espacio de Hilbert complejo con dos propiedades adicionales:
Otra clase importante de C*-álgebras no-Hilbert incluye el álgebra de funciones continuas de valor complejo en X que se desvanecen en el infinito, donde X es un espacio de Hausdorff localmente compacto .
Las C*-álgebras fueron consideradas inicialmente para su uso en mecánica cuántica para modelar álgebras de observables físicos . Esta línea de investigación comenzó con la mecánica matricial de Werner Heisenberg y en una forma más desarrollada matemáticamente con Pascual Jordan alrededor de 1933. Posteriormente, John von Neumann intentó establecer un marco general para estas álgebras, que culminó en una serie de artículos sobre anillos de operadores. Estos artículos consideraron una clase especial de C*-álgebras que ahora se conocen como álgebras de von Neumann .
Alrededor de 1943, el trabajo de Israel Gelfand y Mark Naimark produjo una caracterización abstracta de las C*-álgebras que no hacía referencia a operadores en un espacio de Hilbert.
Las C*-álgebras son hoy una herramienta importante en la teoría de representaciones unitarias de grupos localmente compactos , y también se utilizan en formulaciones algebraicas de mecánica cuántica. Otra área activa de investigación es el programa para obtener clasificación, o para determinar el grado en que es posible la clasificación, para C*-álgebras nucleares simples separables .
Comenzamos con la caracterización abstracta de las C*-álgebras dada en el artículo de 1943 de Gelfand y Naimark.
El álgebra AC*, A , es un álgebra de Banach sobre el cuerpo de números complejos , junto con una función para con las siguientes propiedades:
Observación. Las primeras cuatro identidades indican que A es una *-álgebra . La última identidad se denomina identidad C* y es equivalente a:
que a veces se denomina identidad B*. Para conocer la historia detrás de los nombres de álgebras C* y B*, consulte la sección de historia a continuación.
La identidad C* es un requisito muy estricto. Por ejemplo, junto con la fórmula del radio espectral , implica que la norma C* está determinada únicamente por la estructura algebraica:
Una función lineal acotada , π : A → B , entre las C*-álgebras A y B se denomina *-homomorfismo si
En el caso de las C*-álgebras, cualquier *-homomorfismo π entre C*-álgebras es contractivo , es decir, acotado por norma ≤ 1. Además, un *-homomorfismo inyectivo entre C*-álgebras es isométrico . Estas son consecuencias de la C*-identidad.
Un *-homomorfismo biyectivo π se llama C*-isomorfismo , en cuyo caso se dice que A y B son isomorfos .
El término B*-álgebra fue introducido por CE Rickart en 1946 para describir las *-álgebras de Banach que satisfacen la condición:
Esta condición implica automáticamente que la *-involución es isométrica, es decir, . Por lo tanto, , y por lo tanto, una B*-álgebra es también una C*-álgebra. Por el contrario, la C*-condición implica la B*-condición. Esto no es trivial y se puede demostrar sin utilizar la condición . [1] Por estas razones, el término B*-álgebra rara vez se utiliza en la terminología actual y ha sido reemplazado por el término 'C*-álgebra'.
El término C*-álgebra fue introducido por IE Segal en 1947 para describir subálgebras cerradas de norma de B ( H ), es decir, el espacio de operadores acotados en algún espacio de Hilbert H . 'C' significaba 'cerrado'. [2] [3] En su artículo Segal define una C*-álgebra como un "álgebra autoadjunta, uniformemente cerrada, de operadores acotados en un espacio de Hilbert". [4]
Las C*-álgebras tienen un gran número de propiedades que son técnicamente convenientes. Algunas de estas propiedades pueden establecerse utilizando el cálculo funcional continuo o por reducción a C*-álgebras conmutativas. En este último caso, podemos utilizar el hecho de que la estructura de estas está completamente determinada por el isomorfismo de Gelfand .
Los elementos autoadjuntos son aquellos de la forma . El conjunto de elementos de una C*-álgebra A de la forma forma un cono convexo cerrado . Este cono es idéntico a los elementos de la forma . Los elementos de este cono se denominan no negativos (o a veces positivos , aunque esta terminología entra en conflicto con su uso para elementos de )
El conjunto de elementos autoadjuntos de una C*-álgebra A tiene naturalmente la estructura de un espacio vectorial parcialmente ordenado ; el ordenamiento se denota habitualmente . En este ordenamiento, un elemento autoadjunto satisface si y solo si el espectro de es no negativo, si y solo si para algún . Dos elementos autoadjuntos y de A satisfacen si .
Este subespacio parcialmente ordenado permite la definición de un funcional lineal positivo en un C*-álgebra, que a su vez se utiliza para definir los estados de un C*-álgebra, que a su vez pueden utilizarse para construir el espectro de un C*-álgebra utilizando la construcción GNS .
Cualquier C*-álgebra A tiene una identidad aproximada . De hecho, existe una familia dirigida { e λ } λ∈I de elementos autoadjuntos de A tal que
Utilizando identidades aproximadas, se puede demostrar que el cociente algebraico de un C*-álgebra por un ideal bilateral propio cerrado , con la norma natural, es un C*-álgebra.
De manera similar, un ideal bilateral cerrado de un C*-álgebra es en sí mismo un C*-álgebra.
El álgebra M( n , C ) de matrices n × n sobre C se convierte en una C*-álgebra si consideramos las matrices como operadores en el espacio euclidiano, C n , y utilizamos la norma de operadores ||·|| sobre matrices. La involución está dada por la transpuesta conjugada . De manera más general, se pueden considerar sumas directas finitas de álgebras de matrices. De hecho, todas las C*-álgebras que son de dimensión finita como espacios vectoriales son de esta forma, salvo isomorfismo. El requisito de autoadjunto significa que las C*-álgebras de dimensión finita son semisimples , de cuyo hecho se puede deducir el siguiente teorema de tipo Artin–Wedderburn :
Teorema. Una C*-álgebra de dimensión finita, A , es canónicamente isomorfa a una suma directa finita
donde min A es el conjunto de proyecciones centrales autoadjuntas mínimas distintas de cero de A .
Cada C*-álgebra, Ae , es isomorfa (de manera no canónica) al álgebra matricial completa M(dim( e ), C ). La familia finita indexada en min A dada por {dim( e )} e se llama vector de dimensión de A . Este vector determina de manera única la clase de isomorfismo de un C*-álgebra de dimensión finita. En el lenguaje de la K-teoría , este vector es el cono positivo del grupo K 0 de A .
Una †-álgebra (o, más explícitamente, una †-álgebra cerrada ) es el nombre que se utiliza ocasionalmente en física [5] para una C*-álgebra de dimensión finita. La daga , †, se utiliza en el nombre porque los físicos suelen utilizar el símbolo para denotar un adjunto hermítico y, a menudo, no se preocupan por las sutilezas asociadas con un número infinito de dimensiones. (Los matemáticos suelen utilizar el asterisco, *, para denotar el adjunto hermítico). Las †-álgebras ocupan un lugar destacado en la mecánica cuántica y, especialmente, en la ciencia de la información cuántica .
Una generalización inmediata de las C*-álgebras de dimensión finita son las C*-álgebras de dimensión aproximadamente finita .
El ejemplo prototípico de una C*-álgebra es el álgebra B(H) de operadores lineales acotados (equivalentemente continuos) definidos en un espacio de Hilbert complejo H ; aquí x* denota el operador adjunto del operador x : H → H . De hecho, toda C*-álgebra, A , es *-isomorfa a una subálgebra adjunta cerrada de norma cerrada de B ( H ) para un espacio de Hilbert adecuado, H ; este es el contenido del teorema de Gelfand–Naimark .
Sea H un espacio de Hilbert de dimensión infinita separable . El álgebra K ( H ) de operadores compactos sobre H es una subálgebra de B ( H ) cerrada en norma . También está cerrada bajo involución; por lo tanto, es una C*-álgebra.
Las C*-álgebras concretas de operadores compactos admiten una caracterización similar al teorema de Wedderburn para C*-álgebras de dimensión finita:
Teorema. Si A es una C*-subálgebra de K ( H ), entonces existen espacios de Hilbert { H i } i ∈ I tales que
donde la suma directa (C*) consiste en elementos ( T i ) del producto cartesiano Π K ( H i ) con || T i || → 0.
Aunque K ( H ) no tiene un elemento de identidad, se puede desarrollar una identidad aproximada secuencial para K ( H ). Para ser más específico, H es isomorfo al espacio de secuencias cuadradas sumables l 2 ; podemos suponer que H = l 2 . Para cada número natural n, sea H n el subespacio de secuencias de l 2 que se anulan para índices k ≥ n y sea e n la proyección ortogonal sobre H n . La secuencia { e n } n es una identidad aproximada para K ( H ).
K ( H ) es un ideal bilateral cerrado de B ( H ). Para espacios de Hilbert separables, es el ideal único. El cociente de B ( H ) por K ( H ) es el álgebra de Calkin .
Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto . El espacio de funciones continuas de valor complejo en X que se anulan en el infinito (definido en el artículo sobre compacidad local ) forma un C*-álgebra conmutativa bajo multiplicación y adición puntuales. La involución es conjugación puntual. tiene un elemento unitario multiplicativo si y solo si es compacto. Como cualquier C*-álgebra, tiene una identidad aproximada . En el caso de esto es inmediato: considere el conjunto dirigido de subconjuntos compactos de , y para cada compacto sea una función de soporte compacto que es idénticamente 1 en . Tales funciones existen por el teorema de extensión de Tietze , que se aplica a espacios de Hausdorff localmente compactos. Cualquier secuencia de funciones de este tipo es una identidad aproximada.
La representación de Gelfand establece que cada C*-álgebra conmutativa es *-isomorfa al álgebra , donde es el espacio de caracteres equipado con la topología débil* . Además, si es isomorfa a como C*-álgebras, se deduce que y son homeomorfas . Esta caracterización es una de las motivaciones para los programas de topología no conmutativa y geometría no conmutativa .
Dada una *-álgebra de Banach A con una identidad aproximada , existe una C*-álgebra E ( A ) y *-morfismo π únicos (hasta C*-isomorfismo) de A en E ( A ) que es universal , es decir, cualquier otro *-morfismo continuo π ' : A → B se factoriza únicamente a través de π. El álgebra E ( A ) se denomina álgebra envolvente de C* del *-álgebra de Banach A .
De particular importancia es el C*-álgebra de un grupo localmente compacto G . Se define como el C*-álgebra envolvente del álgebra de grupo de G . El C*-álgebra de G proporciona contexto para el análisis armónico general de G en el caso de que G no sea abeliano. En particular, el dual de un grupo localmente compacto se define como el espacio ideal primitivo del C*-álgebra de grupo. Véase espectro de un C*-álgebra .
Las álgebras de von Neumann , conocidas como álgebras W* antes de los años 1960, son un tipo especial de álgebra C*. Deben estar cerradas en la topología de operadores débiles , que es más débil que la topología de normas.
El teorema de Sherman-Takeda implica que cualquier C*-álgebra tiene un W*-álgebra envolvente universal, tal que cualquier homomorfismo a un W*-álgebra se factoriza a través de ella.
El AC*-álgebra A es de tipo I si y solo si para todas las representaciones no degeneradas π de A el álgebra de von Neumann π( A )″ (es decir, la bicommutante de π( A )) es un álgebra de von Neumann de tipo I. De hecho, es suficiente considerar solo representaciones factoriales, es decir, representaciones π para las cuales π( A )″ es un factor.
Se dice que un grupo localmente compacto es de tipo I si y solo si su C*-álgebra de grupo es de tipo I.
Sin embargo, si una C*-álgebra tiene representaciones que no son de tipo I, entonces, según los resultados de James Glimm, también tiene representaciones de tipo II y tipo III. Por lo tanto, para las C*-álgebras y los grupos localmente compactos, solo tiene sentido hablar de propiedades de tipo I y de no tipo I.
En mecánica cuántica , normalmente se describe un sistema físico con una C*-álgebra A con elemento unidad; los elementos autoadjuntos de A (elementos x con x* = x ) se consideran los observables , las cantidades mensurables, del sistema. Un estado del sistema se define como un funcional positivo en A (una función C -lineal φ : A → C con φ( u*u ) ≥ 0 para todo u ∈ A ) tal que φ(1) = 1. El valor esperado del observable x , si el sistema está en el estado φ, es entonces φ( x ).
Este enfoque de álgebra C* se utiliza en la axiomatización de Haag-Kastler de la teoría cuántica de campos locales , donde cada conjunto abierto del espaciotiempo de Minkowski está asociado con un álgebra C*.
