Índice de Miller

Sistema de notación para planos de red cristalina

Planos con diferentes índices de Miller en cristales cúbicos

Ejemplos de direcciones

Los índices de Miller forman un sistema de notación en cristalografía para planos reticulares en redes cristalinas (Bravais) .

En particular, una familia de planos reticulares de una red de Bravais dada (directa) está determinada por tres enteros h , k y  ℓ , los índices de Miller . Se escriben ( hkℓ ), y denotan la familia de planos reticulares (paralelos) (de la red de Bravais dada) ortogonales a , donde son los vectores de traslación base o primitivos de la red recíproca para la red de Bravais dada. (Tenga en cuenta que el plano no siempre es ortogonal a la combinación lineal de vectores reticulares directos u originales porque los vectores reticulares directos no necesitan ser mutuamente ortogonales). Esto se basa en el hecho de que un vector reticular recíproco (el vector que indica un punto reticular recíproco desde el origen reticular recíproco) es el vector de onda de una onda plana en la serie de Fourier de una función espacial (por ejemplo, función de densidad electrónica) cuya periodicidad sigue la red de Bravais original, por lo que los frentes de onda de la onda plana coinciden con los planos reticulares paralelos de la red original. Dado que un vector de dispersión medido en cristalografía de rayos X , con como el vector de onda de rayos X saliente (dispersado desde una red cristalina) y como el vector de onda de rayos X entrante (hacia la red cristalina), es igual a un vector de red recíproco como se indica por las ecuaciones de Laue , el pico de rayos X dispersos medido en cada vector de dispersión medido está marcado por índices de Miller . Por convención, los números enteros negativos se escriben con una barra, como en 3 para −3. Los números enteros generalmente se escriben en términos más bajos, es decir, su máximo común divisor debe ser 1. Los índices de Miller también se utilizan para designar reflexiones en cristalografía de rayos X. En este caso, los números enteros no están necesariamente en términos más bajos, y pueden considerarse como correspondientes a planos espaciados de tal manera que las reflexiones de planos adyacentes tendrían una diferencia de fase de exactamente una longitud de onda (2 π ), independientemente de si hay átomos en todos estos planos o no. ${\displaystyle \mathbf {g} _{hk\ell }=h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$ ${\displaystyle h\mathbf {a} _{1}+k\mathbf {a} _{2}+\ell \mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {k} }$

También hay varias notaciones relacionadas: ^[1]

• La notación denota el conjunto de todos los planos que son equivalentes por la simetría de la red. ${\textstyle \{hk\ell \}}$ ${\displaystyle (hk\ell )}$

En el contexto de direcciones de cristal (no planos), las notaciones correspondientes son:

• ${\displaystyle [hk\ell ],}$con corchetes en lugar de corchetes redondos, denota una dirección en la base de los vectores reticulares directos en lugar de los vectores reticulares recíprocos; y
• De manera similar, la notación denota el conjunto de todas las direcciones que son equivalentes por simetría. ${\displaystyle \langle hk\ell \rangle }$ ${\displaystyle [hk\ell ]}$

Nota, para interferencias de Laue-Bragg

• ${\displaystyle hk\ell }$Carece de corchetes al designar una reflexión

Los índices de Miller fueron introducidos en 1839 por el mineralogista británico William Hallowes Miller , aunque un sistema casi idéntico ( parámetros de Weiss ) ya había sido utilizado por el mineralogista alemán Christian Samuel Weiss desde 1817. ^[2] El método también se conocía históricamente como sistema milleriano, y los índices como millerianos, ^[3] aunque ahora esto es poco común.

Los índices de Miller se definen con respecto a cualquier elección de celda unitaria y no sólo con respecto a vectores base primitivos, como a veces se afirma.

Definición

Ejemplos de determinación de índices para un plano utilizando intersecciones con ejes; izquierda (111), derecha (221)

Hay dos formas equivalentes de definir el significado de los índices de Miller: ^[1] a través de un punto en la red recíproca , o como las intersecciones inversas a lo largo de los vectores de la red. Ambas definiciones se dan a continuación. En cualquier caso, uno necesita elegir los tres vectores de red a ₁ , a ₂ y a ₃ que definen la celda unitaria (tenga en cuenta que la celda unitaria convencional puede ser más grande que la celda primitiva de la red de Bravais , como lo ilustran los ejemplos a continuación). Dados estos, también se determinan los tres vectores de red recíprocos primitivos (denotados b ₁ , b ₂ y b ₃ ).

Entonces, dados los tres índices de Miller, se denotan planos ortogonales al vector reticular recíproco: ${\displaystyle h,k,\ell ,(hk\ell )}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{hk\ell }=h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}.}$

Es decir, ( hkℓ ) simplemente indica una normal a los planos en la base de los vectores reticulares recíprocos primitivos. Debido a que las coordenadas son números enteros, esta normal es siempre en sí misma un vector reticular recíproco. El requisito de los términos más bajos significa que es el vector reticular recíproco más corto en la dirección dada.

De manera equivalente, ( hkℓ ) denota un plano que intercepta los tres puntos a ₁ / h , a ₂ / k y a ₃ / ℓ , o algún múltiplo de los mismos. Es decir, los índices de Miller son proporcionales a los inversos de las intersecciones del plano, en base a los vectores reticulares. Si uno de los índices es cero, significa que los planos no intersecan ese eje (la intersección está "en el infinito").

Considerando sólo los planos ( hkℓ ) que intersecan uno o más puntos de la red (los planos de la red ), la distancia perpendicular d entre planos de la red adyacentes está relacionada con el vector de red recíproco (más corto) ortogonal a los planos mediante la fórmula: . ^[1] ${\displaystyle d=2\pi /|\mathbf {g} _{hk\ell }|}$

La notación relacionada [hkℓ] denota la dirección :

${\displaystyle h\mathbf {a} _{1}+k\mathbf {a} _{2}+\ell \mathbf {a} _{3}.}$

Es decir, utiliza la base reticular directa en lugar de la recíproca. Nótese que [hkℓ] no es generalmente normal a los planos ( hkℓ ), excepto en una red cúbica como se describe a continuación.

Caso de estructuras cúbicas

En el caso especial de cristales cúbicos simples, los vectores de la red son ortogonales y de igual longitud (generalmente se denotan como a ), al igual que los de la red recíproca. Por lo tanto, en este caso común, los índices de Miller ( hkℓ ) y [ hkℓ ] simplemente denotan normales/direcciones en coordenadas cartesianas .

Para cristales cúbicos con constante de red a , el espaciamiento d entre planos de red adyacentes ( hkℓ ) es (desde arriba)

${\displaystyle d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}}$.

Debido a la simetría de los cristales cúbicos, es posible cambiar el lugar y el signo de los números enteros y tener direcciones y planos equivalentes:

• Los índices entre corchetes angulares, como ⟨100⟩, denotan una familia de direcciones que son equivalentes debido a operaciones de simetría, como [100], [010], [001] o el negativo de cualquiera de esas direcciones.
• Los índices entre llaves o corchetes como {100} denotan una familia de normales planas que son equivalentes debido a operaciones de simetría, de forma muy similar a como los corchetes angulares denotan una familia de direcciones.

En el caso de las redes cúbicas centradas en las caras y en el cuerpo , los vectores reticulares primitivos no son ortogonales. Sin embargo, en estos casos los índices de Miller se definen convencionalmente en relación con los vectores reticulares de la supercelda cúbica y, por lo tanto, son simplemente las direcciones cartesianas.

Caso de estructuras hexagonales y romboédricas

Índices Miller-Bravais

Con sistemas reticulares hexagonales y romboédricos , es posible utilizar el sistema Bravais-Miller , que utiliza cuatro índices ( h k i ℓ ) que obedecen a la restricción

h + k + i = 0.

Aquí h , k y ℓ son idénticos a los índices de Miller correspondientes, e i es un índice redundante.

Este esquema de cuatro índices para etiquetar planos en una red hexagonal hace que las simetrías de permutación sean evidentes. Por ejemplo, la similitud entre (110) ≡ (11 2 0) y (1 2 0) ≡ (1 2 10) es más obvia cuando se muestra el índice redundante.

En la figura de la derecha, el plano (001) tiene una simetría triple: permanece inalterado por una rotación de 1/3 (2 π /3 rad, 120°). Las direcciones [100], [010] y [ 1 1 0] son ​​realmente similares. Si S es la intersección del plano con el eje [ 1 1 0], entonces

yo = 1/ S .

También existen esquemas ad hoc (por ejemplo, en la literatura sobre microscopía electrónica de transmisión ) para indexar vectores de red hexagonal (en lugar de vectores o planos de red recíprocos) con cuatro índices. Sin embargo, no funcionan de manera similar agregando un índice redundante al conjunto regular de tres índices.

Por ejemplo, el vector reticular recíproco ( hkℓ ) como se sugirió anteriormente se puede escribir en términos de vectores reticulares recíprocos como . Para cristales hexagonales esto se puede expresar en términos de vectores base reticulares directos a ₁ , a ₂ y a ₃ como ${\displaystyle h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}}$

${\displaystyle h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}={\frac {2}{3a^{2}}}(2h+k)\mathbf {a} _{1}+{\frac {2}{3a^{2}}}(h+2k)\mathbf {a} _{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(\ell )\mathbf {a} _{3}.}$

Por lo tanto, los índices de zona de la dirección perpendicular al plano ( hkℓ ) son, en forma de triplete adecuadamente normalizado, simplemente . Sin embargo, cuando se utilizan cuatro índices para la zona normal al plano ( hkℓ ), la literatura a menudo utiliza en su lugar. ^[4] Por lo tanto, como puede ver, los índices de zona de cuatro índices entre corchetes cuadrados o angulares a veces mezclan un solo índice de red directa a la derecha con índices de red recíproca (normalmente entre llaves redondas o rizadas) a la izquierda. ${\displaystyle [2h+k,h+2k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]}$ ${\displaystyle [h,k,-h-k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]}$

Y, tenga en cuenta que para las distancias interplanares hexagonales, toman la forma

${\displaystyle d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {{\tfrac {4}{3}}\left(h^{2}+k^{2}+hk\right)+{\tfrac {a^{2}}{c^{2}}}\ell ^{2}}}}}$

Planos y direcciones cristalográficas

Planos cristalográficos densos

Las direcciones cristalográficas son líneas que unen nodos ( átomos , iones o moléculas ) de un cristal. De manera similar, los planos cristalográficos son planos que unen nodos. Algunas direcciones y planos tienen una mayor densidad de nodos; estos planos densos tienen una influencia en el comportamiento del cristal:

• Propiedades ópticas : en la materia condensada, la luz "salta" de un átomo a otro con la dispersión de Rayleigh ; la velocidad de la luz varía según las direcciones, ya sea que los átomos estén cerca o lejos; esto da la birrefringencia.
• adsorción y reactividad : la adsorción y las reacciones químicas pueden ocurrir en átomos o moléculas en las superficies de los cristales, estos fenómenos son por lo tanto sensibles a la densidad de nodos;
• Tensión superficial : la condensación de un material significa que los átomos, iones o moléculas son más estables si están rodeados de otras especies similares; la tensión superficial de una interfaz varía según la densidad en la superficie.
  • Los poros y los cristalitos tienden a tener límites de grano rectos siguiendo planos densos.
  • escisión
• dislocaciones ( deformación plástica )
  • El núcleo de dislocación tiende a extenderse en planos densos (la perturbación elástica se "diluye"); esto reduce la fricción ( fuerza de Peierls-Nabarro ), el deslizamiento ocurre con mayor frecuencia en planos densos;
  • La perturbación transportada por la dislocación ( vector de Burgers ) va en dirección densa: el desplazamiento de un nodo en dirección densa es una distorsión menor;
  • La línea de dislocación tiende a seguir una dirección densa, la línea de dislocación es a menudo una línea recta, un bucle de dislocación es a menudo un polígono .

Por todas estas razones es importante determinar los planos y así disponer de un sistema de notación.

Índices de Miller enteros e irracionales: planos reticulares y cuasicristales

Por lo general, los índices de Miller son siempre números enteros por definición, y esta restricción es físicamente significativa. Para entender esto, supongamos que permitimos un plano ( abc ) donde los "índices" de Miller a , b y c (definidos como se indicó anteriormente) no son necesariamente números enteros.

Si a , b y c tienen razones racionales , entonces la misma familia de planos puede escribirse en términos de índices enteros ( hkℓ ) escalando a , b y c apropiadamente: dividir por el mayor de los tres números y luego multiplicar por el mínimo común denominador . Por lo tanto, los índices enteros de Miller incluyen implícitamente índices con todas las razones racionales. La razón por la que los planos donde los componentes (en la base reticular recíproca) tienen razones racionales son de especial interés es que estos son los planos reticulares : son los únicos planos cuyas intersecciones con el cristal son 2d-periódicas.

Por otra parte, para un plano (abc) donde a , b y c tienen proporciones irracionales , la intersección del plano con el cristal no es periódica. Forma un patrón aperiódico conocido como cuasicristal . Esta construcción corresponde precisamente al método estándar de "corte y proyección" para definir un cuasicristal, utilizando un plano con índices de Miller de proporciones irracionales. (Aunque muchos cuasicristales, como el teselado de Penrose , se forman mediante "cortes" de redes periódicas en más de tres dimensiones, lo que implica la intersección de más de un hiperplano de este tipo ).

Véase también

• Estructura cristalina
• Hábito de cristal
• Línea Kikuchi
• Red recíproca
• Eje de zona
• MTEX

Referencias

1. Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1976). Física del estado sólido . Nueva York: Holt, Rinehart y Winston. ISBN 0030839939.OCLC 934604  .
2. Weiss, Christian Samuel (1817). "Ueber eine verbesserte Methode für die Bezeichnung der verschiedenen Flächen eines Krystallisationssystems, nebst Bemerkungen über den Zustand der Polarisierung der Seiten in den den Linien der krystallinischen Structur". Abhandlungen der physikalischen Klasse der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften : 286–336.
3. Oxford English Dictionary Online (consultado en mayo de 2007)
4. JW Edington (1976) Microscopía electrónica práctica en ciencia de materiales (Gloeilampenfabrieken, Eindhoven de NV Philips) ISBN 1-878907-35-2 , Apéndice 2 

Enlaces externos

• Diccionario en línea de cristalografía de la IUCr
• Descripción del índice de Miller con diagramas
• Tutorial en línea sobre planos reticulares e índices de Miller.
• MTEX: caja de herramientas MATLAB gratuita para análisis de texturas
• http://sourceforge.net/projects/orilib – Una colección de rutinas para la manipulación de rotación/orientación, incluidas herramientas especiales para orientaciones de cristales.