Átomo de hidrógeno

Átomo del elemento hidrógeno.

Representación de un átomo de hidrógeno que muestra un diámetro de aproximadamente el doble del radio del modelo de Bohr . (Imagen no a escala)

Un átomo de hidrógeno es un átomo del elemento químico hidrógeno . El átomo eléctricamente neutro contiene un único protón cargado positivamente y un único electrón cargado negativamente unidos al núcleo por la fuerza de Coulomb . El hidrógeno atómico constituye aproximadamente el 75% de la masa bariónica del universo. ^[1]

En la vida cotidiana en la Tierra, los átomos de hidrógeno aislados (llamados "hidrógeno atómico") son extremadamente raros. En cambio, un átomo de hidrógeno tiende a combinarse con otros átomos en compuestos, o con otro átomo de hidrógeno para formar gas hidrógeno ordinario ( diatómico ), _H2 . "Hidrógeno atómico" y "átomo de hidrógeno" en el uso común del inglés tienen significados superpuestos, aunque distintos. Por ejemplo, una molécula de agua contiene dos átomos de hidrógeno, pero no contiene hidrógeno atómico (lo que se referiría a átomos de hidrógeno aislados).

La espectroscopia atómica muestra que existe un conjunto infinito y discreto de estados en los que puede existir un átomo de hidrógeno (o cualquier otro), contrariamente a las predicciones de la física clásica . Los intentos de desarrollar una comprensión teórica de los estados del átomo de hidrógeno han sido importantes para la historia de la mecánica cuántica , ya que todos los demás átomos pueden entenderse de manera aproximada conociendo en detalle esta estructura atómica más simple.

Isótopos

El isótopo más abundante , el protio ( ¹ H), o hidrógeno ligero, no contiene neutrones y es simplemente un protón y un electrón . El protio es estable y constituye el 99,985% de los átomos de hidrógeno naturales. ^[2]

El deuterio ( ² H) contiene un neutrón y un protón en su núcleo. El deuterio es estable, constituye el 0,0156% del hidrógeno natural ^[2] y se utiliza en procesos industriales como reactores nucleares y resonancia magnética nuclear .

El tritio ( ^3H ) contiene dos neutrones y un protón en su núcleo y no es estable, desintegrándose con una vida media de 12,32 años. Debido a su corta vida media, el tritio no existe en la naturaleza excepto en pequeñas cantidades.

Los isótopos más pesados ​​del hidrógeno sólo se crean artificialmente en aceleradores de partículas y tienen vidas medias del orden de 10 ⁻²² segundos. Son resonancias libres ubicadas más allá de la línea de goteo de neutrones ; esto da como resultado la rápida emisión de un neutrón .

Las fórmulas siguientes son válidas para los tres isótopos de hidrógeno, pero se deben utilizar valores ligeramente diferentes de la constante de Rydberg (la fórmula de corrección se proporciona a continuación) para cada isótopo de hidrógeno.

ion hidrógeno

Los átomos de hidrógeno neutros solitarios son raros en condiciones normales. Sin embargo, el hidrógeno neutro es común cuando está unido covalentemente a otro átomo, y los átomos de hidrógeno también pueden existir en formas catiónicas y aniónicas .

Si un átomo de hidrógeno neutro pierde su electrón, se convierte en catión. El ion resultante, que en el caso del isótopo habitual está formado únicamente por un protón, se escribe como "H ⁺ " y a veces se le llama hidrón . Los protones libres son habituales en el medio interestelar y en el viento solar . En el contexto de soluciones acuosas de ácidos de Brønsted-Lowry clásicos , como el ácido clorhídrico , en realidad se trata de hidronio , H ₃ O ⁺ . En lugar de que se forme un único átomo de hidrógeno ionizado literal, el ácido transfiere el hidrógeno a H ₂ O, formando H ₃ O ⁺ .

Si, en cambio, un átomo de hidrógeno gana un segundo electrón, se convierte en un anión. El anión de hidrógeno se escribe "H ^– " y se llama hidruro .

Análisis teorico

El átomo de hidrógeno tiene un significado especial en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos como un sistema físico problemático simple de dos cuerpos que ha producido muchas soluciones analíticas simples en forma cerrada.

Descripción clásica fallida

Los experimentos realizados por Ernest Rutherford en 1909 demostraron que la estructura del átomo era un núcleo denso y positivo con una tenue nube de carga negativa a su alrededor. Esto inmediatamente generó dudas sobre cómo un sistema así podría ser estable. El electromagnetismo clásico había demostrado que cualquier carga acelerada irradia energía, como lo demuestra la fórmula de Larmor . Si se supone que el electrón orbita en un círculo perfecto e irradia energía continuamente, el electrón rápidamente entraría en espiral hacia el núcleo con un tiempo de caída de: ^[3] donde es el radio de Bohr y es el radio clásico del electrón . Si esto fuera cierto, todos los átomos colapsarían instantáneamente; sin embargo, los átomos parecen ser estables. Además, la espiral hacia adentro liberaría una mancha de frecuencias electromagnéticas a medida que la órbita se hiciera más pequeña. En cambio, se observó que los átomos solo emitían frecuencias discretas de radiación. La solución estaría en el desarrollo de la mecánica cuántica . $${\displaystyle t_{\text{fall}}\approx {\frac {a_{0}^{3}}{4r_{0}^{2}c}}\approx 1.6\times 10^{-11}{\text{ s}},}$$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle r_{0}}$

Modelo de Bohr-Sommerfeld

En 1913, Niels Bohr obtuvo los niveles de energía y las frecuencias espectrales del átomo de hidrógeno después de hacer una serie de suposiciones simples para corregir el fallido modelo clásico. Los supuestos incluían:

1. Los electrones sólo pueden estar en determinadas órbitas circulares discretas o en estados estacionarios , por lo que tienen un conjunto discreto de radios y energías posibles.
2. Los electrones no emiten radiación mientras se encuentran en uno de estos estados estacionarios.
3. Un electrón puede ganar o perder energía saltando de una órbita discreta a otra.

Bohr supuso que el momento angular del electrón está cuantificado con valores posibles: donde y es la constante de Planck sobre . También supuso que la fuerza centrípeta que mantiene al electrón en su órbita es proporcionada por la fuerza de Coulomb , y que la energía se conserva. Bohr derivó la energía de cada órbita del átomo de hidrógeno como: ^[4] donde es la masa del electrón , es la carga del electrón , es la permitividad del vacío y es el número cuántico (ahora conocido como número cuántico principal ). Las predicciones de Bohr coincidieron con los experimentos que midieron la serie espectral del hidrógeno hasta el primer orden, dando más confianza a una teoría que utilizaba valores cuantificados. $${\displaystyle L=n\hbar }$$ ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle 2\pi }$ $${\displaystyle E_{n}=-{\frac {m_{e}e^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}},}$$ ${\displaystyle m_{e}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle n}$

Para , el valor ^[5] se denomina unidad de energía de Rydberg. Está relacionado con la constante de Rydberg de la física atómica por ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle {\frac {m_{e}e^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8h^{2}\varepsilon _{0}^{2}}}=1\,{\text{Ry}}=13.605\;693\;122\;994(26)\,{\text{eV}}}$$ ${\displaystyle R_{\infty }}$ ${\displaystyle 1\,{\text{Ry}}\equiv hcR_{\infty }.}$

El valor exacto de la constante de Rydberg supone que el núcleo es infinitamente masivo con respecto al electrón. Para el hidrógeno-1, el hidrógeno-2 ( deuterio ) y el hidrógeno-3 ( tritio ) que tienen masa finita, la constante debe modificarse ligeramente para utilizar la masa reducida del sistema, en lugar de simplemente la masa del electrón. Esto incluye la energía cinética del núcleo en el problema, porque la energía cinética total (electrón más nuclear) es equivalente a la energía cinética de la masa reducida que se mueve con una velocidad igual a la velocidad del electrón con respecto al núcleo. Sin embargo, como el núcleo es mucho más pesado que el electrón, la masa del electrón y la masa reducida son casi iguales. La constante de Rydberg R _M para un átomo de hidrógeno (un electrón), R está dada por dónde está la masa del núcleo atómico. Para el hidrógeno-1, la cantidad es aproximadamente 1/1836 (es decir, la relación de masas de electrón a protón). Para el deuterio y el tritio, las proporciones son aproximadamente 1/3670 y 1/5497 respectivamente. Estas cifras, cuando se suman a 1 en el denominador, representan correcciones muy pequeñas en el valor de R y, por tanto, sólo pequeñas correcciones en todos los niveles de energía en los isótopos de hidrógeno correspondientes. $${\displaystyle R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+m_{\text{e}}/M}},}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m_{\text{e}}/M,}$

Todavía había problemas con el modelo de Bohr:

1. no pudo predecir otros detalles espectrales como la estructura fina y la estructura hiperfina
2. sólo podía predecir niveles de energía con cierta precisión para átomos de un solo electrón (átomos similares al hidrógeno)
3. los valores predichos solo fueron correctos para , donde está la constante de estructura fina . ${\displaystyle \alpha ^{2}\approx 10^{-5}}$ ${\displaystyle \alpha }$

La mayoría de estas deficiencias se resolvieron mediante la modificación del modelo de Bohr realizada por Arnold Sommerfeld . Sommerfeld introdujo dos grados de libertad adicionales, permitiendo que un electrón se moviera en una órbita elíptica caracterizada por su excentricidad y declinación con respecto a un eje elegido. Esto introdujo dos números cuánticos adicionales, que corresponden al momento angular orbital y su proyección sobre el eje elegido. De este modo se encontró la multiplicidad correcta de estados (excepto el factor 2 que explica el espín del electrón aún desconocido). Además, aplicando la relatividad especial a las órbitas elípticas, Sommerfeld logró derivar la expresión correcta para la estructura fina de los espectros del hidrógeno (que resulta ser exactamente la misma que en la teoría de Dirac más elaborada). Sin embargo, algunos fenómenos observados, como el anómalo efecto Zeeman , quedaron sin explicación. Estas cuestiones se resolvieron con el pleno desarrollo de la mecánica cuántica y la ecuación de Dirac . A menudo se alega que la ecuación de Schrödinger es superior a la teoría de Bohr-Sommerfeld a la hora de describir el átomo de hidrógeno. Este no es el caso, ya que la mayoría de los resultados de ambos enfoques coinciden o son muy cercanos (una excepción notable es el problema del átomo de hidrógeno en campos eléctricos y magnéticos cruzados, que no puede resolverse de manera consistente en el marco de la teoría de Bohr). teoría de Sommerfeld), y en ambas teorías las principales deficiencias se deben a la ausencia del espín del electrón. Fue el completo fracaso de la teoría de Bohr-Sommerfeld para explicar los sistemas de muchos electrones (como el átomo de helio o la molécula de hidrógeno) lo que demostró su insuficiencia para describir los fenómenos cuánticos.

ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger permite calcular los estados estacionarios y también la evolución temporal de los sistemas cuánticos. Se dispone de respuestas analíticas exactas para el átomo de hidrógeno no relativista. Antes de pasar a presentar un relato formal, aquí damos una descripción general elemental.

Dado que el átomo de hidrógeno contiene un núcleo y un electrón, la mecánica cuántica permite predecir la probabilidad de encontrar el electrón a cualquier distancia radial dada . Está dada por el cuadrado de una función matemática conocida como " función de onda ", que es una solución de la ecuación de Schrödinger. El estado de equilibrio energético más bajo del átomo de hidrógeno se conoce como estado fundamental. La función de onda del estado fundamental se conoce como función de onda. Está escrito como: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1\mathrm {s} }$ $${\displaystyle \psi _{1\mathrm {s} }(r)={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}a_{0}^{3/2}}}e^{-r/a_{0}}.}$$

Aquí está el valor numérico del radio de Bohr. La densidad de probabilidad de encontrar el electrón a una distancia en cualquier dirección radial es el valor al cuadrado de la función de onda: ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle |\psi _{1\mathrm {s} }(r)|^{2}={\frac {1}{\pi a_{0}^{3}}}e^{-2r/a_{0}}.}$$

La función de onda es esféricamente simétrica y el área de superficie de una capa a distancia es , por lo que la probabilidad total de que el electrón esté en una capa a una distancia y un espesor es ${\displaystyle 1\mathrm {s} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$ ${\displaystyle P(r)\,dr}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle dr}$ $${\displaystyle P(r)\,dr=4\pi r^{2}|\psi _{1\mathrm {s} }(r)|^{2}\,dr.}$$

Resulta que este es un máximo en . Es decir, la imagen de Bohr de un electrón que orbita alrededor del núcleo en un radio corresponde al radio más probable. En realidad, existe una probabilidad finita de que el electrón pueda encontrarse en cualquier lugar , siendo la probabilidad indicada por el cuadrado de la función de onda. Dado que la probabilidad de encontrar el electrón en algún lugar de todo el volumen es la unidad, la integral de es la unidad. Entonces decimos que la función de onda está correctamente normalizada. ${\displaystyle r=a_{0}}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle P(r)\,dr}$

Como se analiza a continuación, el estado fundamental también está indicado por los números cuánticos . Los segundos estados de energía más bajos, justo por encima del estado fundamental, están dados por los números cuánticos , y . Todos estos estados tienen la misma energía y se conocen como estados y . Hay un estado: y hay tres estados: ${\displaystyle 1\mathrm {s} }$ ${\displaystyle (n=1,\ell =0,m=0)}$ ${\displaystyle (2,0,0)}$ ${\displaystyle (2,1,0)}$ ${\displaystyle (2,1,\pm 1)}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle 2\mathrm {s} }$ ${\displaystyle 2\mathrm {p} }$ ${\displaystyle 2\mathrm {s} }$ $${\displaystyle \psi _{2,0,0}={\frac {1}{4{\sqrt {2\pi }}a_{0}^{3/2}}}\left(2-{\frac {r}{a_{0}}}\right)e^{-r/2a_{0}},}$$ ${\displaystyle 2\mathrm {p} }$ $${\displaystyle \psi _{2,1,0}={\frac {1}{4{\sqrt {2\pi }}a_{0}^{3/2}}}{\frac {r}{a_{0}}}e^{-r/2a_{0}}\cos \theta ,}$$ $${\displaystyle \psi _{2,1,\pm 1}=\mp {\frac {1}{8{\sqrt {\pi }}a_{0}^{3/2}}}{\frac {r}{a_{0}}}e^{-r/2a_{0}}\sin \theta ~e^{\pm i\varphi }.}$$

Es más probable que un electrón en el estado o se encuentre en la segunda órbita de Bohr con energía dada por la fórmula de Bohr. ${\displaystyle 2\mathrm {s} }$ ${\displaystyle 2\mathrm {p} }$

Función de onda

El hamiltoniano del átomo de hidrógeno es el operador de energía cinética radial y la fuerza de atracción de Coulomb entre el protón positivo y el electrón negativo. Usando la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, ignorando todas las interacciones de acoplamiento de espín y usando la masa reducida , la ecuación se escribe como: ${\displaystyle \mu =m_{e}M/(m_{e}+M)}$ $${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\right)\psi (r,\theta ,\varphi )=E\psi (r,\theta ,\varphi )}$$

Ampliando el laplaciano en coordenadas esféricas: $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \varphi ^{2}}}\right]-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\psi =E\psi }$$

Esta es una ecuación diferencial parcial separable que se puede resolver en términos de funciones especiales. Cuando la función de onda se separa como producto de las funciones , y aparecen tres funciones diferenciales independientes ^[6] siendo A y B las constantes de separación: ${\displaystyle R(r)}$ ${\displaystyle \Theta (\theta )}$ ${\displaystyle \Phi (\varphi )}$

• radial: $${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)+{\frac {2\mu r^{2}}{\hbar ^{2}}}\left(E+{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\right)R-AR=0}$$
• polar: $${\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+A\sin ^{2}\theta -B=0}$$
• azimut: $${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}+B=0.}$$

Las funciones de onda de posición normalizadas , dadas en coordenadas esféricas, son: $${\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}^{*}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n(n+\ell )!}}}}e^{-\rho /2}\rho ^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\rho )Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$

Ilustración 3D del estado propio . Hay un 45% de probabilidades de que los electrones en este estado se encuentren dentro del cuerpo sólido que se muestra. ${\displaystyle \psi _{4,3,1}}$

dónde:

• ${\displaystyle \rho ={2r \over {na_{0}^{*}}}}$,
• ${\displaystyle a_{0}^{*}}$es el radio de Bohr reducido , , ${\displaystyle a_{0}^{*}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}}$
• ${\displaystyle L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\rho )}$es un polinomio de grado de Laguerre generalizado , y ${\displaystyle n-\ell -1}$
• ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$es una función armónica esférica de grado y orden . ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$

Note that the generalized Laguerre polynomials are defined differently by different authors. The usage here is consistent with the definitions used by Messiah,^[7] and Mathematica.^[8] In other places, the Laguerre polynomial includes a factor of ${\displaystyle (n+\ell )!}$,^[9] or the generalized Laguerre polynomial appearing in the hydrogen wave function is ${\displaystyle L_{n+\ell }^{2\ell +1}(\rho )}$ instead.^[10]

The quantum numbers can take the following values:

• ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ (principal quantum number)
• ${\displaystyle \ell =0,1,2,\ldots ,n-1}$ (azimuthal quantum number)
• ${\displaystyle m=-\ell ,\ldots ,\ell }$ (magnetic quantum number).

Additionally, these wavefunctions are normalized (i.e., the integral of their modulus square equals 1) and orthogonal: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }r^{2}\,dr\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\psi _{n\ell m}^{*}(r,\theta ,\varphi )\psi _{n'\ell 'm'}(r,\theta ,\varphi )=\langle n,\ell ,m|n',\ell ',m'\rangle =\delta _{nn'}\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},}$$where ${\displaystyle |n,\ell ,m\rangle }$ is the state represented by the wavefunction ${\displaystyle \psi _{n\ell m}}$ in Dirac notation, and ${\displaystyle \delta }$ is the Kronecker delta function.^[11]

The wavefunctions in momentum space are related to the wavefunctions in position space through a Fourier transform $${\displaystyle \varphi (p,\theta _{p},\varphi _{p})=(2\pi \hbar )^{-3/2}\int e^{-i{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}/\hbar }\psi (r,\theta ,\varphi )\,dV,}$$which, for the bound states, results in^[12] $${\displaystyle \varphi (p,\theta _{p},\varphi _{p})={\sqrt {{\frac {2}{\pi }}{\frac {(n-\ell -1)!}{(n+\ell )!}}}}n^{2}2^{2\ell +2}\ell !{\frac {n^{\ell }p^{\ell }}{(n^{2}p^{2}+1)^{\ell +2}}}C_{n-\ell -1}^{\ell +1}\left({\frac {n^{2}p^{2}-1}{n^{2}p^{2}+1}}\right)Y_{\ell }^{m}(\theta _{p},\varphi _{p}),}$$where ${\displaystyle C_{N}^{\alpha }(x)}$ denotes a Gegenbauer polynomial and ${\displaystyle p}$ is in units of ${\displaystyle \hbar /a_{0}^{*}}$.

The solutions to the Schrödinger equation for hydrogen are analytical, giving a simple expression for the hydrogen energy levels and thus the frequencies of the hydrogen spectral lines and fully reproduced the Bohr model and went beyond it. It also yields two other quantum numbers and the shape of the electron's wave function ("orbital") for the various possible quantum-mechanical states, thus explaining the anisotropic character of atomic bonds.

The Schrödinger equation also applies to more complicated atoms and molecules. When there is more than one electron or nucleus the solution is not analytical and either computer calculations are necessary or simplifying assumptions must be made.

Since the Schrödinger equation is only valid for non-relativistic quantum mechanics, the solutions it yields for the hydrogen atom are not entirely correct. The Dirac equation of relativistic quantum theory improves these solutions (see below).

Results of Schrödinger equation

La solución de la ecuación de Schrödinger (ecuación de onda) para el átomo de hidrógeno utiliza el hecho de que el potencial de Coulomb producido por el núcleo es isotrópico (es radialmente simétrico en el espacio y sólo depende de la distancia al núcleo). Aunque las funciones propias de energía resultantes (los orbitales ) no son necesariamente isotrópicas en sí mismas, su dependencia de las coordenadas angulares se deriva completamente de esta isotropía del potencial subyacente: los estados propios del hamiltoniano (es decir, los estados propios de energía) se pueden elegir como simultáneos. Estados propios del operador de momento angular . Esto corresponde al hecho de que el momento angular se conserva en el movimiento orbital del electrón alrededor del núcleo. Por lo tanto, los estados propios de energía pueden clasificarse mediante dos números cuánticos de momento angular , y (ambos son números enteros). El número cuántico del momento angular determina la magnitud del momento angular. El número cuántico magnético determina la proyección del momento angular sobre el eje (elegido arbitrariamente). ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ell =0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle m=-\ell ,\ldots ,+\ell }$ ${\displaystyle z}$

Además de las expresiones matemáticas para el momento angular total y la proyección del momento angular de funciones de onda, es necesario encontrar una expresión para la dependencia radial de las funciones de onda. Sólo aquí entran los detalles del potencial de Coulomb (que conducen a los polinomios de Laguerre en ). Esto conduce a un tercer número cuántico, el número cuántico principal . El número cuántico principal del hidrógeno está relacionado con la energía total del átomo. ${\displaystyle 1/r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

Tenga en cuenta que el valor máximo del número cuántico del momento angular está limitado por el número cuántico principal: sólo puede llegar hasta , es decir, . ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \ell =0,1,\ldots ,n-1}$

Debido a la conservación del momento angular, estados iguales pero diferentes tienen la misma energía (esto es válido para todos los problemas de simetría rotacional ). Además, para el átomo de hidrógeno, los estados iguales pero diferentes también son degenerados (es decir, tienen la misma energía). Sin embargo, esta es una propiedad específica del hidrógeno y ya no es cierta para átomos más complicados que tienen un potencial (efectivo) que difiere de la forma (debido a la presencia de electrones internos que protegen el potencial del núcleo). ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle 1/r}$

Al tener en cuenta el espín del electrón se añade un último número cuántico, la proyección del momento angular del espín del electrón a lo largo del eje -, que puede tomar dos valores. Por lo tanto, cualquier estado propio del electrón en el átomo de hidrógeno se describe completamente mediante cuatro números cuánticos. Según las reglas habituales de la mecánica cuántica, el estado real del electrón puede ser cualquier superposición de estos estados. Esto explica también por qué la elección del eje para la cuantificación direccional del vector de momento angular es irrelevante: un orbital dado y obtenido para otro eje preferido siempre puede representarse como una superposición adecuada de los distintos estados de diferentes (pero iguales ) que han sido obtenidos para . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m'}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle z}$

Resumen matemático de los estados propios del átomo de hidrógeno.

En 1928, Paul Dirac encontró una ecuación que era totalmente compatible con la relatividad especial y (como consecuencia) convirtió la función de onda en un " espinor de Dirac " de 4 componentes que incluía componentes de espín "arriba" y "abajo", con componentes positivos y "abajo". energía "negativa" (o materia y antimateria). La solución a esta ecuación dio los siguientes resultados, más precisos que la solución de Schrödinger.

Niveles de energía

Los niveles de energía del hidrógeno, incluida la estructura fina (excluyendo el desplazamiento de Lamb y la estructura hiperfina ), vienen dados por la expresión de estructura fina de Sommerfeld : ^[13] donde es la constante de estructura fina y es el número cuántico del momento angular total , que es igual a , dependiendo de la orientación del espín del electrón en relación con el momento angular orbital. ^[14] Esta fórmula representa una pequeña corrección de la energía obtenida por Bohr y Schrödinger como se indicó anteriormente. El factor entre corchetes en la última expresión es casi uno; el término adicional surge de efectos relativistas (para más detalles, consulte #Características que van más allá de la solución de Schrödinger). Vale la pena señalar que esta expresión fue obtenida por primera vez por A. Sommerfeld en 1916 basándose en la versión relativista de la antigua teoría de Bohr . Sin embargo, Sommerfeld ha utilizado una notación diferente para los números cuánticos. $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{j\,n}={}&-\mu c^{2}\left[1-\left(1+\left[{\frac {\alpha }{n-j-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {\left(j+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\alpha ^{2}}}}}\right]^{2}\right)^{-1/2}\right]\\\approx {}&-{\frac {\mu c^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}\left[1+{\frac {\alpha ^{2}}{n^{2}}}\left({\frac {n}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4}}\right)\right],\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \left|\ell \pm {\tfrac {1}{2}}\right|}$

Visualizando los orbitales de los electrones del hidrógeno.

Densidades de probabilidad a través del plano xz para el electrón en diferentes números cuánticos ( ℓ , arriba; n , abajo; m = 0)

La imagen de la derecha muestra los primeros orbitales del átomo de hidrógeno (funciones propias de energía). Estas son secciones transversales de la densidad de probabilidad que están codificadas por colores (el negro representa densidad cero y el blanco representa la densidad más alta). El número cuántico del momento angular (orbital) ℓ se indica en cada columna, utilizando el código de letras espectroscópico habitual ( s significa ℓ  = 0, p significa ℓ  = 1, d significa ℓ  = 2). El número cuántico principal (principal) n (= 1, 2, 3, ...) está marcado a la derecha de cada fila. Para todas las imágenes, el número cuántico magnético m se ha establecido en 0 y el plano de sección transversal es el plano xz ( z es el eje vertical). La densidad de probabilidad en el espacio tridimensional se obtiene girando la que se muestra aquí alrededor del eje z .

El " estado fundamental ", es decir, el estado de menor energía en el que normalmente se encuentra el electrón, es el primero, el estado 1 s ( nivel cuántico principal n = 1, ℓ = 0).

Aparecen líneas negras en todos los orbitales excepto en el primero: estos son los nodos de la función de onda, es decir, donde la densidad de probabilidad es cero. (Más precisamente, los nodos son armónicos esféricos que aparecen como resultado de resolver la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas).

Los números cuánticos determinan la disposición de estos nodos. Hay: ^{[ cita necesaria ]}

• ${\displaystyle n-1}$nodos totales,
• ${\displaystyle \ell }$de los cuales son nodos angulares:
  • ${\displaystyle m}$Los nodos angulares giran alrededor del eje (en el plano xy ). (La figura anterior no muestra estos nodos ya que traza secciones transversales a través del plano xz ). ${\displaystyle \varphi }$
  • ${\displaystyle \ell -m}$(los nodos angulares restantes) ocurren en el eje (vertical). ${\displaystyle \theta }$
• ${\displaystyle n-\ell -1}$(los nodos no angulares restantes) son nodos radiales.

Funciones que van más allá de la solución de Schrödinger

Hay varios efectos importantes que la ecuación de Schrödinger ignora y que son responsables de ciertas desviaciones pequeñas pero mensurables de las líneas espectrales reales con respecto a las predichas:

• Aunque la velocidad media del electrón en el hidrógeno es sólo 1/137 de la velocidad de la luz , muchos experimentos modernos son lo suficientemente precisos como para que una explicación teórica completa requiera un tratamiento completamente relativista del problema. Un tratamiento relativista da como resultado un aumento del momento de aproximadamente 1 parte en 37.000 para el electrón. Dado que la longitud de onda del electrón está determinada por su momento, los orbitales que contienen electrones de mayor velocidad muestran contracción debido a longitudes de onda más pequeñas.
• Incluso cuando no existe un campo magnético externo , en el marco inercial del electrón en movimiento, el campo electromagnético del núcleo tiene una componente magnética. El espín del electrón tiene asociado un momento magnético que interactúa con este campo magnético. Este efecto también se explica por la relatividad especial y conduce al llamado acoplamiento espín-órbita , es decir, una interacción entre el movimiento orbital del electrón alrededor del núcleo y su espín .

Ambas características (y más) están incorporadas en la ecuación relativista de Dirac , con predicciones que se acercan aún más a la experimentación. Una vez más, la ecuación de Dirac puede resolverse analíticamente en el caso especial de un sistema de dos cuerpos, como el átomo de hidrógeno. Los estados cuánticos de la solución resultante ahora deben clasificarse por el número de momento angular total j (que surge del acoplamiento entre el espín del electrón y el momento angular orbital ). Los estados del mismo j y del mismo n todavía están degenerados. Por tanto, la solución analítica directa de la ecuación de Dirac predice 2S( ⁠1/2⁠ ) ​​y 2P( ⁠1/2⁠ ) ​​niveles de hidrógeno tienen exactamente la misma energía, lo que está en contradicción con las observaciones ( experimento de Lamb-Retherford ).

• Según la mecánica cuántica, siempre se producen fluctuaciones del vacío en el campo electromagnético . Debido a tales fluctuaciones, se elimina la degeneración entre estados del mismo j pero de diferente l , dándoles energías ligeramente diferentes. Esto ha quedado demostrado en el famoso experimento de Lamb-Retherford y fue el punto de partida para el desarrollo de la teoría de la electrodinámica cuántica (que es capaz de abordar estas fluctuaciones del vacío y emplea los famosos diagramas de Feynman para aproximaciones utilizando la teoría de la perturbación ). Este efecto ahora se llama cambio Lamb .

Para estos desarrollos, era esencial que la solución de la ecuación de Dirac para el átomo de hidrógeno pudiera resolverse exactamente, de modo que cualquier desviación observada experimentalmente debía tomarse en serio como una señal de fracaso de la teoría.

Alternativas a la teoría de Schrödinger

En el lenguaje de la mecánica matricial de Heisenberg , el átomo de hidrógeno fue resuelto por primera vez por Wolfgang Pauli ^[15] utilizando una simetría rotacional en cuatro dimensiones [O(4)-simetría] generada por el momento angular y el vector de Laplace-Runge-Lenz . Al extender el grupo de simetría O (4) al grupo dinámico O (4,2), todo el espectro y todas las transiciones se integraron en una única representación de grupo irreducible. ^[dieciséis]

En 1979 , Duru y Kleinert resolvieron el átomo de hidrógeno (no relativista) por primera vez dentro de la formulación integral de caminos de la mecánica cuántica de Feynman . ^{[17] [18]} Este trabajo amplió enormemente el rango de aplicabilidad del método de Feynman .

Ver también

• antihidrógeno
• orbital atómico
• serie balmer
• átomo de helio
• Ion molecular de hidrógeno
• Lista de sistemas mecánico-cuánticos con soluciones analíticas.
• Átomo de litio
• desintegración de protones
• Química cuántica
• Estado cuántico
• Catión trihidrógeno

Referencias

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2. Housecroft, Catherine E.; Sharpe, Alan G. (2005). Química inorgánica (2ª ed.). Pearson Prentice-Hall. pag. 237.ISBN​ 0130-39913-2.
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Libros

• Griffiths, David J. (1995). Introducción a la Mecánica Cuántica . Prentice Hall . ISBN 0-13-111892-7.La sección 4.2 trata específicamente del átomo de hidrógeno, pero todo el capítulo 4 es relevante.
• Kleinert, H. (2009). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , cuarta edición, Worldscibooks.com, World Scientific, Singapur (también disponible en línea physik.fu-berlin.de)

enlaces externos

• El átomo de hidrógeno y la tabla periódica: las conferencias Feynman de física
• Física del átomo de hidrógeno en Scienceworld