Turno de cordero

Diferencia en la energía de los estados electrónicos de los átomos de hidrógeno no predicha por la ecuación de Dirac

Estructura fina de los niveles de energía del hidrógeno: correcciones relativistas al modelo de Bohr

En física , el desplazamiento Lamb , llamado así por Willis Lamb , es una diferencia anómala de energía entre dos orbitales electrónicos en un átomo de hidrógeno . La diferencia no fue predicha por la teoría y no puede derivarse de la ecuación de Dirac , que predice energías idénticas. Por lo tanto, el desplazamiento Lamb es una desviación de la teoría que se observa en las diferentes energías contenidas por los orbitales ² S _1/2 y ² P _1/2 del átomo de hidrógeno.

El desplazamiento de Lamb es causado por interacciones entre los fotones virtuales creados a través de fluctuaciones de energía del vacío y el electrón a medida que se mueve alrededor del núcleo de hidrógeno en cada uno de estos dos orbitales. Desde entonces, el desplazamiento de Lamb ha desempeñado un papel importante a través de las fluctuaciones de energía del vacío en la predicción teórica de la radiación de Hawking de los agujeros negros .

Este efecto se midió por primera vez en 1947 en el experimento Lamb-Retherford sobre el espectro de microondas del hidrógeno ^[1] y esta medición proporcionó el estímulo para que la teoría de la renormalización manejara las divergencias. Fue el precursor de la electrodinámica cuántica moderna desarrollada por Julian Schwinger , Richard Feynman , Ernst Stueckelberg , Sin-Itiro Tomonaga y Freeman Dyson . Lamb ganó el Premio Nobel de Física en 1955 por sus descubrimientos relacionados con el desplazamiento de Lamb.

Importancia

En 1978, con motivo del 65º cumpleaños de Lamb, Freeman Dyson se dirigió a él de la siguiente manera: “Esos años, en los que el desplazamiento de Lamb era el tema central de la física, fueron años dorados para todos los físicos de mi generación. Usted fue el primero en ver que este pequeño desplazamiento, tan elusivo y difícil de medir, aclararía nuestro pensamiento sobre las partículas y los campos”. ^[2]

Derivación

Esta derivación heurística del cambio de nivel electrodinámico sigue el enfoque de Theodore A. Welton . ^{[3] [4]}

Las fluctuaciones en los campos eléctricos y magnéticos asociados con el vacío QED perturban el potencial eléctrico debido al núcleo atómico . Esta perturbación provoca una fluctuación en la posición del electrón , lo que explica el cambio de energía. La diferencia de energía potencial está dada por

${\displaystyle \Delta V=V({\vec {r}}+\delta {\vec {r}})-V({\vec {r}})=\delta {\vec {r}}\cdot \nabla V({\vec {r}})+{\frac {1}{2}}(\delta {\vec {r}}\cdot \nabla )^{2}V({\vec {r}})+\cdots }$

Dado que las fluctuaciones son isótropas ,

${\displaystyle \langle \delta {\vec {r}}\rangle _{\rm {vac}}=0,}$

${\displaystyle \langle (\delta {\vec {r}}\cdot \nabla )^{2}\rangle _{\rm {vac}}={\frac {1}{3}}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}\nabla ^{2}.}$

Así que uno puede obtener

${\displaystyle \langle \Delta V\rangle ={\frac {1}{6}}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}\left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{\rm {at}}.}$

La ecuación clásica de movimiento para el desplazamiento del electrón ( δr ) _{k →} inducido por un solo modo del campo de vector de onda k → y frecuencia ν es

${\displaystyle m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(\delta r)_{\vec {k}}=-eE_{\vec {k}},}$

y esto es válido sólo cuando la frecuencia ν es mayor que ν ₀ en la órbita de Bohr, . El electrón no puede responder al campo fluctuante si las fluctuaciones son menores que la frecuencia orbital natural en el átomo. ${\displaystyle \nu >\pi c/a_{0}}$

Para el campo que oscila en ν ,

${\displaystyle \delta r(t)\cong \delta r(0)(e^{-i\nu t}+e^{i\nu t}),}$

por lo tanto

${\displaystyle (\delta r)_{\vec {k}}\cong {\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}E_{\vec {k}}={\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}{\mathcal {E}}_{\vec {k}}\left(a_{\vec {k}}e^{-i\nu t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}+h.c.\right)\qquad {\text{with}}\qquad {\mathcal {E}}_{\vec {k}}=\left({\frac {\hbar ck/2}{\epsilon _{0}\Omega }}\right)^{1/2},}$

donde es un volumen de normalización grande (el volumen de la "caja" hipotética que contiene el átomo de hidrógeno), y denota el conjugado hermítico del término precedente. Mediante la suma de todos los ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle h.c.}$ ${\displaystyle {\vec {k}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}&=\sum _{\vec {k}}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left\langle 0\left|(E_{\vec {k}})^{2}\right|0\right\rangle \\&=\sum _{\vec {k}}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left({\frac {\hbar ck}{2\epsilon _{0}\Omega }}\right)\\&=2{\frac {\Omega }{(2\pi )^{3}}}4\pi \int dkk^{2}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left({\frac {\hbar ck}{2\epsilon _{0}\Omega }}\right)&&{\text{since continuity of }}{\vec {k}}{\text{ implies }}\sum _{\vec {k}}\to 2{\frac {\Omega }{(2\pi )^{3}}}\int d^{3}k\\&={\frac {1}{2\epsilon _{0}\pi ^{2}}}\left({\frac {e^{2}}{\hbar c}}\right)\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\int {\frac {dk}{k}}\end{aligned}}}$

Este resultado diverge cuando no hay límites en la integral (tanto en frecuencias grandes como pequeñas). Como se mencionó anteriormente, se espera que este método sea válido solo cuando , o equivalentemente . También es válido solo para longitudes de onda más largas que la longitud de onda Compton , o equivalentemente . Por lo tanto, se puede elegir el límite superior e inferior de la integral y estos límites hacen que el resultado converja. ${\displaystyle \nu >\pi c/a_{0}}$ ${\displaystyle k>\pi /a_{0}}$ ${\displaystyle k<mc/\hbar }$

${\displaystyle \langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}\cong {\frac {1}{2\epsilon _{0}\pi ^{2}}}\left({\frac {e^{2}}{\hbar c}}\right)\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\ln {\frac {4\epsilon _{0}\hbar c}{e^{2}}}}$.

Para el orbital atómico y el potencial de Coulomb ,

${\displaystyle \left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{\rm {at}}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int d{\vec {r}}\psi ^{*}({\vec {r}})\nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)\psi ({\vec {r}})={\frac {e^{2}}{\epsilon _{0}}}|\psi (0)|^{2},}$

ya que se sabe que

${\displaystyle \nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)=-4\pi \delta ({\vec {r}}).}$

En el caso de los orbitales p , la función de onda no relativista se anula en el origen (en el núcleo), por lo que no hay desplazamiento de energía. Pero en el caso de los orbitales s , hay un valor finito en el origen.

${\displaystyle \psi _{2S}(0)={\frac {1}{(8\pi a_{0}^{3})^{1/2}}},}$

donde está el radio de Bohr

${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{me^{2}}}.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{\rm {at}}={\frac {e^{2}}{\epsilon _{0}}}|\psi _{2S}(0)|^{2}={\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}a_{0}^{3}}}}$.

Finalmente, la diferencia de energía potencial se convierte en:

${\displaystyle \langle \Delta V\rangle ={\frac {4}{3}}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}{\frac {1}{8\pi a_{0}^{3}}}\ln {\frac {4\epsilon _{0}\hbar c}{e^{2}}}=\alpha ^{5}mc^{2}{\frac {1}{6\pi }}\ln {\frac {1}{\pi \alpha }},}$

donde es la constante de estructura fina . Este desplazamiento es de aproximadamente 500 MHz, dentro de un orden de magnitud del desplazamiento observado de 1057 MHz. Esto es igual a una energía de solo 7,00 x 10^-25 J., o 4,37 x 10^-6 eV. ${\displaystyle \alpha }$

La derivación heurística de Welton del desplazamiento de Lamb es similar, pero distinta, al cálculo del término de Darwin utilizando Zitterbewegung , una contribución a la estructura fina que es de orden inferior que el desplazamiento de Lamb. ^{[5] : 80–81} ${\displaystyle \alpha }$

Experimento de Lamb-Retherford

En 1947, Willis Lamb y Robert Retherford realizaron un experimento utilizando técnicas de microondas para estimular transiciones de radiofrecuencia entre los niveles ² S _1/2 y ² P _{1/2 del hidrógeno.} ^[6] Al utilizar frecuencias más bajas que las utilizadas para las transiciones ópticas, se pudo descuidar el ensanchamiento Doppler (el ensanchamiento Doppler es proporcional a la frecuencia). La diferencia de energía que encontraron Lamb y Retherford fue un aumento de aproximadamente 1000 MHz (0,03 cm ⁻¹ ) del nivel ² S _1/2 por encima del nivel ² P _1/2 .

Esta diferencia particular es un efecto de un bucle de la electrodinámica cuántica y puede interpretarse como la influencia de los fotones virtuales que han sido emitidos y reabsorbidos por el átomo. En la electrodinámica cuántica, el campo electromagnético está cuantizado y, al igual que el oscilador armónico en la mecánica cuántica , su estado más bajo no es cero. Por lo tanto, existen pequeñas oscilaciones de punto cero que hacen que el electrón ejecute movimientos oscilatorios rápidos. El electrón se "desdibuja" y cada valor de radio cambia de r a r + δr (una perturbación pequeña pero finita).

Por lo tanto, el potencial de Coulomb se ve perturbado en una pequeña cantidad y se elimina la degeneración de los dos niveles de energía. El nuevo potencial se puede aproximar (usando unidades atómicas ) de la siguiente manera:

${\displaystyle \langle E_{\mathrm {pot} }\rangle =-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\left\langle {\frac {1}{r+\delta r}}\right\rangle .}$

El cambio de Lamb en sí está dado por

${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {Lamb} }=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {k(n,0)}{4n^{3}}}\ \mathrm {for} \ \ell =0\,}$

con k ( n , 0) alrededor de 13 variando ligeramente con n , y

${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {Lamb} }=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {1}{4n^{3}}}\left[k(n,\ell )\pm {\frac {1}{\pi (j+{\frac {1}{2}})(\ell +{\frac {1}{2}})}}\right]\ \mathrm {for} \ \ell \neq 0\ \mathrm {and} \ j=\ell \pm {\frac {1}{2}},}$

con log( k ( n ,ℓ)) un número pequeño (aprox. −0,05) lo que hace que k ( n ,ℓ) sea cercano a la unidad.

Para una derivación de Δ E _Lamb véase por ejemplo: ^[7]

En el espectro del hidrógeno

En 1947, Hans Bethe fue el primero en explicar el desplazamiento de Lamb en el espectro del hidrógeno , y sentó así las bases para el desarrollo moderno de la electrodinámica cuántica . Bethe pudo derivar el desplazamiento de Lamb implementando la idea de renormalización de masa, lo que le permitió calcular el desplazamiento de energía observado como la diferencia entre el desplazamiento de un electrón ligado y el desplazamiento de un electrón libre. ^[8] El desplazamiento de Lamb proporciona actualmente una medida de la constante de estructura fina α con una precisión mejor que una parte en un millón, lo que permite una prueba de precisión de la electrodinámica cuántica .

Véase también

• Portal de física

• Potencial de Uehling , primera aproximación al desplazamiento de Lamb
• Conferencia de Shelter Island
• Efecto Zeeman utilizado para medir el desplazamiento Lamb

Referencias

1. G Aruldhas (2009). "§15.15 Lamb Shift". Mecánica cuántica (2.ª ed.). Prentice-Hall of India Pvt. Ltd. pág. 404. ISBN 978-81-203-3635-3.
2. "Willis E. Lamb, Jr. 1913—2008" (PDF) . Memorias biográficas de la Academia Nacional de Ciencias : 6. 2009.
3. Marlan Orvil Scully; Muhammad Suhail Zubairy (1997). Óptica cuántica. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. Págs. 13-16. ISBN. 0-521-43595-1.
4. Welton, Theodore A. (1 de noviembre de 1948). "Algunos efectos observables de las fluctuaciones mecánico-cuánticas del campo electromagnético". Physical Review . 74 (9): 1157–1167. Bibcode :1948PhRv...74.1157W. doi :10.1103/PhysRev.74.1157. ISSN  0031-899X.
5. Itzykson, Claude ; Zuber, Jean-Bernard (2012). Teoría cuántica de campos . Publicaciones Dover. ISBN 9780486134697.OCLC 868270376  .
6. Lamb, Willis E. ; Retherford, Robert C. (1947). "Estructura fina del átomo de hidrógeno mediante un método de microondas". Physical Review . 72 (3): 241–243. Bibcode :1947PhRv...72..241L. doi : 10.1103/PhysRev.72.241 .
7. Bethe, HA; Salpeter, EE (2013) [1957]. "c) Correcciones radiativas y otras §21. Estructura fina y desplazamiento de Lamb". Mecánica cuántica de átomos de uno y dos electrones . Springer. pág. 103. ISBN 978-3-662-12869-5.
8. Bethe, HA (1947). "El cambio electromagnético de los niveles de energía". Phys. Rev . 72 (4): 339–341. Código Bibliográfico :1947PhRv...72..339B. doi :10.1103/PhysRev.72.339. S2CID  120434909.

Lectura adicional

• Smirnov, Boris M. (2003). Física de átomos e iones. Springer. Págs. 39-41. ISBN. 0-387-95550-X.
• Scully, MO ; Zubairy, MS (1997). "§1.3 Lamb shift". Óptica cuántica . Cambridge University Press. págs. 13–16. ISBN 0-521-43595-1.

Enlaces externos

• Hans Bethe habla sobre los cálculos del desplazamiento de Lamb en Web of Stories
• Biografía de Willis Lamb, premio Nobel
• Conferencia Nobel de Willis Lamb: Estructura fina del átomo de hidrógeno