Desplazamiento angular

Desplazamiento medido en sentido angular cuando un cuerpo muestra un movimiento circular o rotacional.

El desplazamiento angular (símbolo θ, ϑ o φ) – también llamado ángulo de rotación , desplazamiento rotacional o desplazamiento rotatorio – de un cuerpo físico es el ángulo (en unidades de radianes , grados , vueltas , etc.) a través del cual el cuerpo rota (gira o da vueltas) alrededor de un centro o eje de rotación . El desplazamiento angular puede estar signado, indicando el sentido de rotación (p. ej ., en el sentido de las agujas del reloj ); también puede ser mayor (en valor absoluto ) que una vuelta completa .

Contexto

Rotación de un cuerpo rígido P alrededor de un eje fijo O.

Cuando un cuerpo gira sobre su eje, el movimiento no puede analizarse simplemente como una partícula, ya que en el movimiento circular experimenta cambios de velocidad y aceleración en cualquier momento. Cuando se trata de la rotación de un cuerpo, resulta más sencillo considerar que el propio cuerpo es rígido. En general, se considera que un cuerpo es rígido cuando la separación entre todas las partículas permanece constante durante todo el movimiento del cuerpo, de modo que, por ejemplo, no se desprendan partes de su masa. En un sentido realista, todas las cosas pueden ser deformables, sin embargo, este impacto es mínimo y despreciable.

Ejemplo

En el ejemplo ilustrado a la derecha (o arriba en algunas versiones móviles), una partícula o cuerpo P está a una distancia fija r del origen, O , girando en sentido antihorario. Es importante representar la posición de la partícula P en términos de sus coordenadas polares ( r , θ ). En este ejemplo en particular, el valor de θ está cambiando, mientras que el valor del radio permanece igual. (En coordenadas rectangulares ( x , y ) tanto x como y varían con el tiempo). A medida que la partícula se mueve a lo largo del círculo, recorre una longitud de arco s , que se relaciona con la posición angular a través de la relación:

${\displaystyle s=r\theta .}$

Definición y unidades

El desplazamiento angular se puede expresar en radianes o grados. El uso de radianes proporciona una relación muy simple entre la distancia recorrida alrededor del círculo ( longitud del arco circular ) y la distancia r desde el centro ( radio ):

${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}\mathrm {rad} }$

Por ejemplo, si un cuerpo gira 360° alrededor de un círculo de radio r , el desplazamiento angular viene dado por la distancia recorrida alrededor de la circunferencia (que es 2π r ) dividida por el radio: lo que se simplifica fácilmente a: . Por lo tanto, 1 revolución son radianes. ${\displaystyle \theta ={\frac {2\pi r}{r}}}$ ${\displaystyle \theta =2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

La definición anterior forma parte del Sistema Internacional de Cantidades (ISQ), formalizado en la norma internacional ISO 80000-3 (Espacio y tiempo), ^[1] y adoptado en el Sistema Internacional de Unidades (SI). ^{[2] [3]}

El desplazamiento angular puede tener signo, indicando el sentido de rotación (p. ej., en el sentido de las agujas del reloj ); ^[1] también puede ser mayor (en valor absoluto ) que una vuelta completa . En el ISQ/SI, el desplazamiento angular se utiliza para definir el número de revoluciones , N = θ/(2π rad), una cantidad de tipo cociente de dimensión uno .

En tres dimensiones

Figura 1 : Teorema de rotación de Euler. Un círculo máximo se transforma en otro círculo máximo al rotar, dejando siempre un diámetro de la esfera en su posición original.

Figura 2 : Una rotación representada por un eje y un ángulo de Euler.

En tres dimensiones, el desplazamiento angular es una entidad con una dirección y una magnitud. La dirección especifica el eje de rotación, que siempre existe en virtud del teorema de rotación de Euler ; la magnitud especifica la rotación en radianes sobre ese eje (usando la regla de la mano derecha para determinar la dirección). Esta entidad se denomina eje-ángulo .

A pesar de tener dirección y magnitud, el desplazamiento angular no es un vector porque no obedece la ley conmutativa de la adición. ^[4] Sin embargo, cuando se trata de rotaciones infinitesimales, los infinitesimales de segundo orden pueden descartarse y en este caso aparece la conmutatividad.

Matrices de rotación

Existen varias formas de describir las rotaciones, como las matrices de rotación o los ángulos de Euler . Consulta los gráficos de SO(3) para conocer otras.

Dado que cualquier sistema en el espacio puede describirse mediante una matriz de rotación, el desplazamiento entre ellos también puede describirse mediante una matriz de rotación. Al ser y dos matrices, la matriz de desplazamiento angular entre ellas puede obtenerse como . Cuando este producto se realiza teniendo una diferencia muy pequeña entre ambos sistemas obtendremos una matriz cercana a la identidad. ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A_{f}}$ ${\displaystyle \Delta A=A_{f}A_{0}^{-1}}$

En el límite, tendremos una matriz de rotación infinitesimal.

Matrices de rotación infinitesimales

Una matriz de rotación infinitesimal o matriz de rotación diferencial es una matriz que representa una rotación infinitamente pequeña .

Mientras que una matriz de rotación es una matriz ortogonal que representa un elemento de (el grupo ortogonal especial ), la diferencial de una rotación es una matriz antisimétrica en el espacio tangente (el álgebra de Lie ortogonal especial ), que en sí misma no es una matriz de rotación. ${\displaystyle R^{\mathsf {T}}=R^{-1}}$ ${\displaystyle SO(n)}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$

Una matriz de rotación infinitesimal tiene la forma

${\displaystyle I+d\theta \,A,}$

donde es la matriz identidad, es extremadamente pequeña, y ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle A\in {\mathfrak {so}}(n).}$

Por ejemplo, si se representa una rotación tridimensional infinitesimal alrededor del eje x , un elemento base de ${\displaystyle A=L_{x},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3),}$

${\displaystyle dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

Las reglas de cálculo para matrices de rotación infinitesimal son las habituales, salvo que se descartan rutinariamente los infinitesimales de segundo orden. Con estas reglas, estas matrices no satisfacen todas las mismas propiedades que las matrices de rotación finita ordinarias bajo el tratamiento habitual de los infinitesimales. ^[5] Resulta que el orden en el que se aplican las rotaciones infinitesimales es irrelevante .

Véase también

• Distancia angular
• Frecuencia angular
• Posición angular
• Velocidad angular
• Azimut
• Rotación infinitesimal
• Elasticidad lineal
• Segundo momento del área
• Fase desenvuelta

Referencias

1. «ISO 80000-3:2019 Cantidades y unidades — Parte 3: Espacio y tiempo» (2.ª ed.). Organización Internacional de Normalización . 2019 . Consultado el 23 de octubre de 2019 .[1] (11 páginas)
2. El Sistema Internacional de Unidades (PDF) (9.ª ed.), Oficina Internacional de Pesas y Medidas, diciembre de 2022, ISBN 978-92-822-2272-0
3. Thompson, Ambler; Taylor, Barry N. (4 de marzo de 2020) [2 de julio de 2009]. "Guía del NIST para el uso del Sistema Internacional de Unidades, publicación especial 811" (edición de 2008). Instituto Nacional de Estándares y Tecnología . Consultado el 17 de julio de 2023 .[2]
4. Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (1973). Introducción a la mecánica . McGraw-Hill. págs. 288-89. ISBN. 9780070350489.
5. (Goldstein, Poole y Safko 2002, §4.8)

Fuentes

• Goldstein, Herbert ; Poole, Charles P.; Safko, John L. (2002), Mecánica clásica (tercera edición), Addison Wesley , ISBN 978-0-201-65702-9
• Wedderburn, Joseph HM (1934), Conferencias sobre matrices, AMS , ISBN 978-0-8218-3204-2