Álgebra no asociativa

Un álgebra no asociativa ^[1] (o álgebra distributiva ) es un álgebra sobre un cuerpo donde no se supone que la operación de multiplicación binaria sea asociativa . Es decir, una estructura algebraica A es un álgebra no asociativa sobre un cuerpo K si es un espacio vectorial sobre K y está equipada con una operación de multiplicación binaria K - bilineal A × A → A que puede ser asociativa o no. Los ejemplos incluyen álgebras de Lie , álgebras de Jordan , los octoniones y el espacio euclidiano tridimensional equipado con la operación de producto vectorial . Dado que no se supone que la multiplicación sea asociativa, es necesario utilizar paréntesis para indicar el orden de las multiplicaciones. Por ejemplo, las expresiones ( ab )( cd ), ( a ( bc )) d y a ( b ( cd )) pueden producir respuestas diferentes.

Si bien este uso de no asociativo significa que no se asume la asociatividad, no significa que la asociatividad esté prohibida. En otras palabras, "no asociativo" significa "no necesariamente asociativo", al igual que "no conmutativo" significa "no necesariamente conmutativo" para anillos no conmutativos .

Un álgebra es unitaria o unitaria si tiene un elemento identidad e con ex = x = xe para todo x en el álgebra. Por ejemplo, los octoniones son unitarios, pero las álgebras de Lie nunca lo son.

La estructura del álgebra no asociativa de A puede estudiarse asociándola con otras álgebras asociativas que son subálgebras del álgebra completa de K -endomorfismos de A como un espacio vectorial K- . Dos de ellas son el álgebra de derivación y el álgebra envolvente (asociativa) , siendo esta última en cierto sentido "la álgebra asociativa más pequeña que contiene a A ".

De manera más general, algunos autores consideran el concepto de un álgebra no asociativa sobre un anillo conmutativo R : un R -módulo equipado con una R -operación de multiplicación binaria bilineal. ^[2] Si una estructura obedece a todos los axiomas del anillo excepto la asociatividad (por ejemplo, cualquier R -álgebra), entonces es naturalmente un -álgebra, por lo que algunos autores se refieren a las -álgebras no asociativas como anillos no asociativos . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

Álgebras que satisfacen identidades

Las estructuras en forma de anillo con dos operaciones binarias y sin otras restricciones son una clase amplia, demasiado general para estudiar. Por esta razón, los tipos más conocidos de álgebras no asociativas satisfacen identidades o propiedades que simplifican un poco la multiplicación. Entre ellas se incluyen las siguientes.

Propiedades habituales

Sean $x$ , $y$ y $z$ elementos arbitrarios del álgebra $A$ sobre el cuerpo $K.$ Sean las potencias de números enteros positivos (distintos de cero) definidas recursivamente por $x 1 ≝ x$ y $x n +1 ≝ x n x$ ^[3] (potencias derechas) o $x n +1 ≝ xx n$ ^[4]^[5] (potencias izquierdas) dependiendo de los autores.

Unital : existe un elemento $e$ tal que $ex = x = xe$ ; en ese caso podemos definir $x 0 ≝ e$ .
Asociativa : $(xy) z = x (yz)$ .
Conmutativa : $xy = yx$ .
Anticomutativo : ^[6] $xy = - yx$ .
Identidad de Jacobi : ^[6]^[7] $(xy) z + (yz) x + (zx) y = 0$ o $x (yz) + y (zx) + z (xy) = 0$ dependiendo de los autores.
Identidad de Jordan : ^[8]^[9] $(x 2 y) x = x 2 (yx)$ o $(xy) x 2 = x (yx 2)$ dependiendo de los autores.
Alternativa : ^[10]^[11]^[12] $(xx) y = x (xy)$ (alternativa izquierda) y $(yx) x = y (xx)$ (alternativa derecha).
Flexible : ^[13]^[14] $(xy) x = x (yx)$ .
n- ésima potencia asociativa con n ≥ 2 : x ^n−k x ^k = x ⁿ para todos los enteros k tales que 0 < k < n .
- Asociativa de tercera potencia: $x 2 x = xx 2$ .
- Asociativa de cuarta potencia: $x 3 x = x 2 x 2 = xx 3$ (compara con la conmutativa de cuarta potencia a continuación).
Asociativa de potencia : ^[4]^[5]^[15]^[16]^[3] la subálgebra generada por cualquier elemento es asociativa, es decir, $la n-$ ésima potencia es asociativa para todo $n \geq 2$ .
n -ésima potencia conmutativa con n ≥ 2 : x ^n−k x ^k = x ^k x ^n−k para todos los enteros k tales que 0 < k < n .
- Tercera potencia conmutativa: $x 2 x = xx 2$ .
- Cuarta potencia conmutativa: $x 3 x = xx 3$ (comparar con la cuarta potencia asociativa anterior).
Potencia conmutativa: la subálgebra generada por cualquier elemento es conmutativa, es decir, la $n-$ ésima potencia es conmutativa para todo $n \geq 2$ .
Nilpotente de índice $n \geq 2$ : el producto de cualesquiera $n$ elementos, en cualquier asociación, se anula, pero no para algunos $n -1$ elementos: $x 1 x 2 \dots x n = 0$ y existen $n -1$ elementos tales que $y 1 y 2 \dots y n -1 \neq 0$ para una asociación específica.
Nulo de índice $n \geq 2$ : asociativo de potencia y $x n = 0$ y existe un elemento $y$ tal que $y n -1 \neq 0$ .

Relaciones entre propiedades

Para $K$ de cualquier característica :

Asociativo implica alternativa .
Dos de las tres propiedades , alternativa izquierda , alternativa derecha y flexible , implican la tercera.
- Por tanto, alternativa implica flexibilidad .
La alternativa implica la identidad de Jordan . ^[17]^[a]
Conmutativo implica flexible .
Anticonmutativo implica flexible .
La alternativa implica poder asociativo . ^[a]
Flexible implica asociatividad de tercera potencia .
La segunda potencia asociativa y la segunda potencia conmutativa son siempre verdaderas.
La tercera potencia asociativa y la tercera potencia conmutativa son equivalentes.
$La n$ -ésima potencia asociativa implica $n-$ ésima potencia conmutativa .
Nulo de índice 2 implica anticonmutativo .
Ninguno del índice 2 implica identidad de Jordania .
Nilpotente de índice 3 implica identidad de Jacobi .
Nilpotente de índice $n$ implica nulo de índice $N$ con $2 \leq N \leq n$ .
Unital y nil de índice $n$ son incompatibles.

Si $K \neq GF(2)$ o $dim(A) \leq 3$ :

La identidad de Jordan y la conmutativa juntas implican una potencia asociativa . ^[18]^[19]^[20]^{[ cita requerida ]}

Si $char(K) \neq 2$ :

La alternativa correcta implica potencia asociativa . ^[21]^[22]^[23]^[24]
- De manera similar, la alternativa de izquierda implica poder asociativo .
La identidad unitaria y jordana juntas implican flexibilidad . ^[25]
La identidad jordana y la flexibilidad juntas implican poder asociativo . ^[26]
Conmutativo y anticonmutativo juntos implican nilpotente de índice 2 .
Anticomutativo implica cero de índice 2 .
Unital y anticonmutativo son incompatibles.

Si $char(K) \neq 3$ :

La identidad unitaria y la de Jacobi son incompatibles.

Si $char(K) \notin {2,3,5$ }:

Conmutativa y $x 4 = x 2 x 2$ (una de las dos identidades que definen la cuarta potencia asociativa ) juntas implican potencia asociativa . ^[27]

Si $char(K) = 0$ :

La tercera potencia asociativa y $x 4 = x 2 x 2$ (una de las dos identidades que definen la cuarta potencia asociativa ) juntas implican potencia asociativa . ^[28]

Si $char(K) = 2$ :

Conmutativo y anticonmutativo son equivalentes.

Asociador

El asociador en A es el K - mapa multilineal dado por $[\cdot ,\cdot ,\cdot ]:A\times A\times A\to A$

[x, y, z] = (xy) z - x (yz)

Mide el grado de no asociatividad de y puede utilizarse para expresar convenientemente algunas posibles identidades satisfechas por A. $A$

Sean $x$ , $y$ y $z$ elementos arbitrarios del álgebra.

Asociativo: $[x, y, z] = 0$ .
Alternativa: [ x , x , y ] = 0 (alternativa izquierda) y [ y , x , x ] = 0 (alternativa derecha).
- Esto implica que permutar dos términos cualesquiera cambia el signo: $[x, y, z] = -[x, z, y] = -[z, y, x] = -[y, x, z]$ ; lo inverso sólo se cumple si $char(K) \neq 2$ .
Flexible: [ x , y , x ] = 0 .
- Esto implica que permutar los términos extremos cambia el signo: $[x, y, z] = -[z, y, x]$ ; lo inverso se cumple sólo si $char(K) \neq 2$ .
Identidad de Jordan: ^[29] $[x 2, y, x] = 0$ o $[x, y, x 2] = 0$ dependiendo de los autores.
Asociativo de tercera potencia: $[x, x, x] = 0$ .

El núcleo es el conjunto de elementos que se asocian con todos los demás: ^[30] es decir, los $n$ en A tales que

[n, A, A] = [A, n, A] = [A, A, n] = {0}

El núcleo es un subanillo asociativo de A.

Centro

El centro de A es el conjunto de elementos que conmutan y se asocian con todo en A , es decir la intersección de

C(A)=\{n\in A\ |\ nr=rn\,\forall r\in A\,\}

con el núcleo. Resulta que para los elementos de C(A) basta que dos de los conjuntos sean para que el tercero sea también el conjunto cero. $([n,A,A],[A,n,A],[A,A,n])$ $\{0\}$

Ejemplos

El espacio euclidiano R ³ con multiplicación dada por el producto vectorial es un ejemplo de álgebra anticonmutativa y no asociativa. El producto vectorial también satisface la identidad de Jacobi.
Las álgebras de Lie son álgebras que satisfacen la anticonmutatividad y la identidad de Jacobi.
Álgebras de campos vectoriales en una variedad diferenciable (si K es R o los números complejos C ) o una variedad algebraica (para K general );
Las álgebras de Jordan son álgebras que satisfacen la ley conmutativa y la identidad de Jordan. ^[9]
Toda álgebra asociativa da lugar a un álgebra de Lie utilizando el conmutador como corchete de Lie. De hecho, toda álgebra de Lie puede construirse de esta manera o es una subálgebra de un álgebra de Lie construida de esta manera.
Toda álgebra asociativa sobre un cuerpo de característica distinta de 2 da lugar a un álgebra de Jordan definiendo una nueva multiplicación x*y = ( xy + yx )/2. A diferencia del caso del álgebra de Lie, no todas las álgebras de Jordan pueden construirse de esta manera. Las que sí se pueden construir se denominan especiales .
Las álgebras alternativas son álgebras que satisfacen la propiedad alternativa. Los ejemplos más importantes de álgebras alternativas son los octoniones (un álgebra sobre los números reales) y las generalizaciones de los octoniones sobre otros cuerpos. Todas las álgebras asociativas son alternativas. Hasta el isomorfismo, las únicas álgebras alternativas reales de dimensión finita, las álgebras de división (ver más abajo) son los números reales, complejos, cuaterniones y octoniones.
Las álgebras asociativas de potencias son aquellas álgebras que satisfacen la identidad asociativa de potencias. Algunos ejemplos son todas las álgebras asociativas, todas las álgebras alternativas, las álgebras de Jordan sobre un cuerpo distinto de GF(2) (véase la sección anterior) y los sedeniones .
El álgebra de cuaterniones hiperbólicos sobre R , que era un álgebra experimental antes de la adopción del espacio de Minkowski para la relatividad especial .

Más clases de álgebras:

Álgebras graduadas . Estas incluyen la mayoría de las álgebras de interés para el álgebra multilineal , como el álgebra tensorial , el álgebra simétrica y el álgebra exterior sobre un espacio vectorial dado . Las álgebras graduadas se pueden generalizar a álgebras filtradas .
Álgebras de división , en las que existen inversos multiplicativos. Se han clasificado las álgebras de división alternativas de dimensión finita sobre el cuerpo de los números reales. Son los números reales (dimensión 1), los números complejos (dimensión 2), los cuaterniones (dimensión 4) y los octoniones (dimensión 8). Los cuaterniones y octoniones no son conmutativos. De estas álgebras, todas son asociativas excepto los octoniones.
Álgebras cuadráticas , que requieren que xx = re + sx , para algunos elementos r y s en el cuerpo fundamental, y e como unidad del álgebra. Entre los ejemplos se incluyen todas las álgebras alternativas de dimensión finita y el álgebra de matrices reales de 2 por 2. Hasta el isomorfismo, las únicas álgebras reales cuadráticas alternativas sin divisores de cero son los números reales, complejos, cuaterniones y octoniones.
Las álgebras de Cayley-Dickson (donde K es R ), que comienzan con:
- C (un álgebra conmutativa y asociativa);
- los cuaterniones H (un álgebra asociativa);
- los octoniones (un álgebra alternativa );
- los sedeniones y la secuencia infinita de álgebras de Cayley-Dickson ( álgebras asociativas de potencia ).
Las álgebras hipercomplejas son todas R -álgebras unitarias de dimensión finita , por lo que incluyen las álgebras de Cayley-Dickson y muchas más.
Las álgebras de Poisson se consideran en la cuantificación geométrica . Llevan dos multiplicaciones, lo que las convierte en álgebras conmutativas y álgebras de Lie de diferentes maneras.
Las álgebras genéticas son álgebras no asociativas utilizadas en la genética matemática.
Sistemas triples

Propiedades

Existen varias propiedades que pueden resultar familiares en la teoría de anillos o en las álgebras asociativas, pero que no siempre son ciertas en el caso de las álgebras no asociativas. A diferencia del caso asociativo, los elementos con un inverso multiplicativo (bilateral) también pueden ser divisores de cero . Por ejemplo, todos los elementos distintos de cero de los sedeniones tienen un inverso bilateral, pero algunos de ellos también son divisores de cero.

Álgebra libre no asociativa

El álgebra libre no asociativa sobre un conjunto X sobre un cuerpo K se define como el álgebra cuya base consiste en todos los monomios no asociativos, productos formales finitos de elementos de X que conservan los paréntesis. El producto de los monomios u , v es simplemente ( u )( v ). El álgebra es unital si se toma el producto vacío como un monomio. ^[31]

Kurosh demostró que cada subálgebra de un álgebra libre no asociativa es libre. ^[32]

Álgebras asociadas

Un álgebra A sobre un cuerpo K es en particular un K -espacio vectorial y por tanto se puede considerar el álgebra asociativa End _K ( A ) del K -endomorfismo del espacio vectorial lineal de A . Podemos asociar a la estructura del álgebra sobre A dos subálgebras de End _K ( A ), el álgebra de derivación y el álgebra envolvente (asociativa) .

Álgebra de derivación

Una derivación en A es un mapa D con la propiedad

D(x\cdot y)=D(x)\cdot y+x\cdot D(y)\ .

Las derivaciones en A forman un subespacio Der _K ( A ) en End _K ( A ). El conmutador de dos derivaciones es nuevamente una derivación, de modo que el corchete de Lie le da a Der _K ( A ) una estructura de álgebra de Lie . ^[33]

Álgebra envolvente

Hay aplicaciones lineales L y R asociadas a cada elemento a de un álgebra A : ^[34]

L(a):x\mapsto ax;\ \ R(a):x\mapsto xa\ .

El álgebra asociativa envolvente o álgebra de multiplicación de A es el álgebra asociativa generada por las aplicaciones lineales izquierda y derecha. ^[29]^[35] El centroide de A es el centralizador del álgebra envolvente en el álgebra de endomorfismos End _K ( A ). Un álgebra es central si su centroide consiste en los múltiplos K -escalares de la identidad. ^[16]

Algunas de las posibles identidades satisfechas por las álgebras no asociativas pueden expresarse convenientemente en términos de los mapas lineales: ^[36]

Conmutativa: cada L ( a ) es igual al R ( a ) correspondiente;
Asociativo: cualquier L conmuta con cualquier R ;
Flexible: cada L ( a ) conmuta con el R ( a ) correspondiente ;
Jordania: cada L ( a ) conmuta con R ( a ² );
Alternativa: todo L ( a ) ² = L ( a ² ) y lo mismo para la derecha.

La representación cuadrática Q está definida por ^[37]

Q(a):x\mapsto 2a\cdot (a\cdot x)-(a\cdot a)\cdot x\

o equivalentemente,

Q(a)=2L^{2}(a)-L(a^{2})\ .

El artículo sobre álgebras envolventes universales describe la construcción canónica de las álgebras envolventes, así como los teoremas de tipo PBW para ellas. Para las álgebras de Lie, dichas álgebras envolventes tienen una propiedad universal, que no se cumple, en general, para las álgebras no asociativas. El ejemplo más conocido es, quizás, el álgebra de Albert , un álgebra de Jordan excepcional que no está envuelta por la construcción canónica del álgebra envolvente para las álgebras de Jordan.

Véase también

Lista de álgebras
Magmas conmutativos no asociativos , que dan lugar a álgebras no asociativas

Citas

^ Schafer 1995, Capítulo 1.
^ Schafer 1995, pág. 1.
^Ab Albert 1948a, pág. 553.
^ desde Schafer 1995, pág. 30.
^ desde Schafer 1995, pág. 128.
^ desde Schafer 1995, pág. 3.
^ Okubo 2005, pág. 12.
^ Schafer 1995, pág. 91.
^Ab Okubo 2005, pág. 13.
^ Schafer 1995, pág. 5.
^ Okubo 2005, pág. 18.
^ McCrimmon 2004, pág. 153.
^ Schafer 1995, pág. 28.
^ Okubo 2005, pág. 16.
^ Okubo 2005, pág. 17.
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^ Mikheev 1976, pág. 179.
^ Zhevlakov y col. 1982, pág. 343.
^ Schafer 1995, pág. 148.
^ Bremner, Murakami y Shestakov 2013, pág. 18.
^ Bremner, Murakami y Shestakov 2013, págs. 18-19, hecho 6.
^ Albert 1948a, pág. 554, lema 4.
^ Albert 1948a, pág. 554, lema 3.
^ desde Schafer 1995, pág. 14.
^ McCrimmon 2004, pág. 56.
^ Rowen 2008, pág. 321.
^ Kurosh 1947, págs. 237–262.
^ Schafer 1995, pág. 4.
^ Okubo 2005, pág. 24.
^ Albert 2003, pág. 113.
^ McCrimmon 2004, pág. 57.
^ Koecher 1999, pág. 57.

Notas

^ ab Se deduce del teorema de Artin .

Referencias

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