Álgebra sobre un campo

En matemáticas , un álgebra sobre un cuerpo (a menudo llamada simplemente álgebra ) es un espacio vectorial dotado de un producto bilineal . Por lo tanto, un álgebra es una estructura algebraica que consiste en un conjunto junto con operaciones de multiplicación y adición y multiplicación escalar por elementos de un cuerpo y que satisface los axiomas implícitos por "espacio vectorial" y "bilineal". ^[1]

La operación de multiplicación en un álgebra puede ser asociativa o no , lo que conduce a las nociones de álgebras asociativas y álgebras no asociativas . Dado un entero n , el anillo de matrices cuadradas reales de orden n es un ejemplo de álgebra asociativa sobre el cuerpo de números reales bajo la suma de matrices y la multiplicación de matrices, ya que la multiplicación de matrices es asociativa. El espacio euclidiano tridimensional con multiplicación dada por el producto vectorial es un ejemplo de álgebra no asociativa sobre el cuerpo de números reales, ya que el producto vectorial es no asociativo y satisface la identidad de Jacobi .

Un álgebra es unital o unitaria si tiene un elemento identidad respecto de la multiplicación. El anillo de matrices cuadradas reales de orden n forma un álgebra unital ya que la matriz identidad de orden n es el elemento identidad respecto de la multiplicación de matrices. Es un ejemplo de álgebra asociativa unital, un anillo (unital) que es también un espacio vectorial.

Muchos autores utilizan el término álgebra para significar álgebra asociativa , o álgebra asociativa unital , o en algunas materias como la geometría algebraica , álgebra asociativa conmutativa unital .

La sustitución del cuerpo de los escalares por un anillo conmutativo conduce a la noción más general de álgebra sobre un anillo. Las álgebras no deben confundirse con espacios vectoriales dotados de una forma bilineal , como los espacios de producto interno , ya que, para tales espacios, el resultado de un producto no está en el espacio, sino en el cuerpo de coeficientes.

Definición y motivación

Ejemplos motivadores

Definición

Sea $K$ un cuerpo y sea $A$ un espacio vectorial sobre $K$ equipado con una operación binaria adicional de $A \times A$ a $A$ , denotada aquí por $\cdot$ (es decir, si $x$ e $y$ son dos elementos cualesquiera de $A$ , entonces $x \cdot y$ es un elemento de $A$ que se llama producto de $x$ e $y$ ). Entonces $A$ es un álgebra sobre $K$ si se cumplen las siguientes identidades para todos los elementos $x, y, z$ en $A$ , y todos los elementos (a menudo llamados escalares ) $a$ y $b$ en $K$ :

Distributividad derecha : $(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$
Distributividad izquierda: $z \cdot (x + y) = z \cdot x + z \cdot y$
Compatibilidad con escalares: $(ax) \cdot (by) = (ab) (x \cdot y)$ .

Estos tres axiomas son otra forma de decir que la operación binaria es bilineal . A un álgebra sobre $K$ también se le llama a veces $K$ -álgebra , y $a K$ se le llama cuerpo base de $A.$ A la operación binaria se le suele denominar multiplicación en $A.$ La convención adoptada en este artículo es que la multiplicación de elementos de un álgebra no es necesariamente asociativa , aunque algunos autores usan el término álgebra para referirse a un álgebra asociativa .

Cuando una operación binaria en un espacio vectorial es conmutativa , la distributividad izquierda y la distributividad derecha son equivalentes y, en este caso, solo una de las distributividades requiere una prueba. En general, para las operaciones no conmutativas, la distributividad izquierda y la distributividad derecha no son equivalentes y requieren pruebas separadas.

Conceptos básicos

Homomorfismos algebraicos

Dadas $las K$ -álgebras $A$ y $B$ , un homomorfismo de $K$ -álgebras u homomorfismo de $K$ - álgebras es una función $K$ - lineal $f$ $:$ $A$ $\to$ $B$ tal que $f$ $($ $xy$ $) =$ $f$ $($ $x$ $)$ $f$ $($ $y$ $)$ para todo $x$ $,$ $y$ en $A.$ Si $A$ y $B$ son unitales, entonces un homomorfismo que satisface $f$ $(1$ $A$ $) = 1$ $B$ se dice que es un homomorfismo unital. El espacio de todos los homomorfismos $de K$ -álgebras entre $A$ y $B$ se escribe frecuentemente como

\mathbf {Hom} _{K{\text{-alg}}}(A,B).

Un isomorfismo de $K$ -álgebra es un homomorfismo de $K$ -álgebra biyectivo .

Subálgebras e ideales

Una subálgebra de un álgebra sobre un cuerpo K es un subespacio lineal que tiene la propiedad de que el producto de dos de sus elementos está nuevamente en el subespacio. En otras palabras, una subálgebra de un álgebra es un subconjunto no vacío de elementos que está cerrado bajo la adición, la multiplicación y la multiplicación escalar. En símbolos, decimos que un subconjunto L de una K -álgebra A es una subálgebra si para cada x , y en L y c en K , tenemos que x · y , x + y y cx están todos en L .

En el ejemplo anterior de los números complejos vistos como un álgebra bidimensional sobre los números reales, la línea real unidimensional es un subálgebra.

Un ideal izquierdo de una K -álgebra es un subespacio lineal que tiene la propiedad de que cualquier elemento del subespacio multiplicado por la izquierda por cualquier elemento del álgebra produce un elemento del subespacio. En símbolos, decimos que un subconjunto L de una K -álgebra A es un ideal izquierdo si para cada x e y en L , z en A y c en K , tenemos las tres afirmaciones siguientes.

x + y está en L ( L está cerrado bajo adición),
cx está en L ( L está cerrado bajo la multiplicación escalar),
z · x está en L ( L está cerrado bajo la multiplicación por la izquierda por elementos arbitrarios).

Si (3) se reemplazara por x · z está en L , entonces esto definiría un ideal derecho . Un ideal bilateral es un subconjunto que es tanto un ideal izquierdo como un ideal derecho. El término ideal por sí solo suele tomarse como un ideal bilateral. Por supuesto, cuando el álgebra es conmutativa, entonces todas estas nociones de ideal son equivalentes. Las condiciones (1) y (2) juntas son equivalentes a que L sea un subespacio lineal de A . De la condición (3) se deduce que todo ideal izquierdo o derecho es una subálgebra.

Esta definición es diferente de la definición de un ideal de un anillo , en que aquí se requiere la condición (2). Por supuesto, si el álgebra es unital, entonces la condición (3) implica la condición (2).

Extensión de escalares

Si tenemos una extensión de campo F / K , es decir, un campo mayor F que contiene a K , entonces hay una manera natural de construir un álgebra sobre F a partir de cualquier álgebra sobre K. Es la misma construcción que se usa para hacer un espacio vectorial sobre un campo mayor, es decir, el producto tensorial . Por lo tanto, si A es un álgebra sobre K , entonces es un álgebra sobre F. $V_{F}:=V\otimes _{K}F$ $A_{F}$

Tipos de álgebras y ejemplos

Las álgebras sobre cuerpos se presentan en muchos tipos diferentes. Estos tipos se especifican insistiendo en algunos axiomas adicionales, como la conmutatividad o la asociatividad de la operación de multiplicación, que no son necesarios en la definición amplia de un álgebra. Las teorías correspondientes a los diferentes tipos de álgebras suelen ser muy diferentes.

Álgebra unitaria

Un álgebra es unitaria o unitaria si tiene una unidad o elemento identidad I con Ix = x = xI para todo x en el álgebra.

Álgebra cero

Un álgebra se denomina álgebra cero si uv = 0 para todo u , v en el álgebra, ^[2] no debe confundirse con el álgebra con un elemento. Es inherentemente no unitaria (excepto en el caso de un solo elemento), asociativa y conmutativa.

Se puede definir un álgebra cero unital tomando la suma directa de los módulos de un cuerpo (o más generalmente un anillo) K y un espacio vectorial K (o módulo) V , y definiendo el producto de cada par de elementos de V como cero. Es decir, si λ , μ ∈ K y u , v ∈ V , entonces ( λ + u ) ( μ + v ) = λμ + ( λv + μu ) . Si e ₁ , ... e _d es una base de V , el álgebra cero unital es el cociente del anillo polinómico K [ E ₁ , ..., E _n ] por el ideal generado por el E _i E _j para cada par ( i , j ) .

Un ejemplo de álgebra cero unital es el álgebra de números duales , el R -álgebra cero unital construida a partir de un espacio vectorial real unidimensional.

Estas álgebras cero unitarias pueden ser de utilidad más general, ya que permiten traducir cualquier propiedad general de las álgebras a propiedades de espacios vectoriales o módulos . Por ejemplo, la teoría de bases de Gröbner fue introducida por Bruno Buchberger para ideales en un anillo de polinomios R = K [ x ₁ , ..., x _n ] sobre un cuerpo. La construcción del álgebra cero unitaria sobre un módulo R libre permite extender esta teoría como una teoría de bases de Gröbner para submódulos de un módulo libre. Esta extensión permite, para calcular una base de Gröbner de un submódulo, utilizar, sin ninguna modificación, cualquier algoritmo y cualquier software para calcular bases de Gröbner de ideales.

Álgebra asociativa

Los ejemplos de álgebras asociativas incluyen

el álgebra de todas las matrices n por n sobre un cuerpo (o anillo conmutativo) K. Aquí la multiplicación es la multiplicación de matrices ordinaria .
álgebras de grupo , donde un grupo sirve como base del espacio vectorial y la multiplicación del álgebra extiende la multiplicación de grupos.
el álgebra conmutativa K [ x ] de todos los polinomios sobre K (ver anillo polinomial ).
álgebras de funciones , como la R -álgebra de todas las funciones continuas de valor real definidas en el intervalo [0,1], o la C -álgebra de todas las funciones holomorfas definidas en algún conjunto abierto fijo en el plano complejo . Estas también son conmutativas.
Las álgebras de incidencia se construyen sobre ciertos conjuntos parcialmente ordenados .
Álgebras de operadores lineales , por ejemplo en un espacio de Hilbert . Aquí la multiplicación del álgebra se da por la composición de operadores. Estas álgebras también tienen una topología ; muchas de ellas están definidas en un espacio de Banach subyacente , lo que las convierte en álgebras de Banach . Si también se da una involución, obtenemos B*-álgebras y C*-álgebras . Estas se estudian en el análisis funcional .

Álgebra no asociativa

Un álgebra no asociativa ^[3] (o álgebra distributiva ) sobre un cuerpo K es un K -espacio vectorial A equipado con una función K -bilineal . El uso de "no asociativo" aquí pretende transmitir que no se supone la asociatividad, pero no significa que esté prohibida; es decir, significa "no necesariamente asociativo". $A\times A\rightarrow A$

Los ejemplos detallados en el artículo principal incluyen:

Espacio euclidiano R ³ con multiplicación dada por el producto vectorial
Octoniones
Álgebras de Lie
Álgebras de Jordan
Álgebras alternativas
Álgebras flexibles
Álgebras asociativas de potencias

Álgebras y anillos

La definición de una K -álgebra asociativa con unidad también se da frecuentemente de forma alternativa. En este caso, un álgebra sobre un cuerpo K es un anillo A junto con un homomorfismo de anillos.

\eta \colon K\to Z(A),

donde Z ( A ) es el centro de A . Dado que η es un homomorfismo de anillo, entonces se debe tener o bien que A es el anillo cero , o bien que η es inyectivo . Esta definición es equivalente a la anterior, con multiplicación escalar

K\times A\to A

dado por

(k,a)\mapsto \eta (k)a.

Dadas dos K -álgebras unitarias asociativas A y B , un homomorfismo de K -álgebra unitaria f : A → B es un homomorfismo de anillo que conmuta con la multiplicación escalar definida por η , que puede escribirse como

f(ka)=kf(a)

para todos y . En otras palabras, el siguiente diagrama conmuta: $k\in K$ $a\in A$

{\begin{matrix}&&K&&\\&\eta _{A}\swarrow &\,&\eta _{B}\searrow &\\A&&{\begin{matrix}f\\\longrightarrow \end{matrix}}&&B\end{matrix}}

Coeficientes de estructura

Para las álgebras sobre un cuerpo, la multiplicación bilineal de A × A por A está completamente determinada por la multiplicación de los elementos base de A . Por el contrario, una vez que se ha elegido una base para A , los productos de los elementos base se pueden establecer arbitrariamente y luego extender de manera única a un operador bilineal en A , es decir, de modo que la multiplicación resultante satisfaga las leyes del álgebra.

Así, dado el cuerpo K , cualquier álgebra de dimensión finita puede especificarse hasta el isomorfismo dando su dimensión (digamos n ) y especificando n ³ coeficientes de estructura c _{i , j , k} , que son escalares . Estos coeficientes de estructura determinan la multiplicación en A mediante la siguiente regla:

\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}

donde e ₁ ,..., e _n forman una base de A .

Sin embargo, hay que tener en cuenta que varios conjuntos diferentes de coeficientes de estructura pueden dar lugar a álgebras isomorfas.

En física matemática , los coeficientes de estructura se escriben generalmente con índices superiores e inferiores, para distinguir sus propiedades de transformación bajo transformaciones de coordenadas. Específicamente, los índices inferiores son índices covariantes y se transforman mediante retrocesos , mientras que los índices superiores son contravariantes y se transforman mediante empujes hacia delante . Por lo tanto, los coeficientes de estructura a menudo se escriben c _{i , j}^k , y su regla definitoria se escribe utilizando la notación de Einstein como

e _i e _j = c _{i , j}^k e _k .

Si aplica esto a vectores escritos en notación de índice , entonces esto se convierte en

( xy ) ^k = c _{i , j}^k x ⁱ y ^j .

Si K es sólo un anillo conmutativo y no un cuerpo, entonces el mismo proceso funciona si A es un módulo libre sobre K. Si no lo es, entonces la multiplicación todavía está completamente determinada por su acción sobre un conjunto que abarca A ; sin embargo, las constantes de estructura no se pueden especificar arbitrariamente en este caso, y conocer sólo las constantes de estructura no especifica el álgebra hasta el isomorfismo.

Clasificación de álgebras asociativas unitarias de baja dimensión sobre los números complejos

Las álgebras asociativas unitarias bidimensionales, tridimensionales y cuatridimensionales sobre el campo de los números complejos fueron clasificadas completamente hasta el isomorfismo por Eduard Study . ^[4]

Existen dos álgebras bidimensionales de este tipo. Cada álgebra consta de combinaciones lineales (con coeficientes complejos) de dos elementos base, 1 (el elemento identidad) y a . Según la definición de un elemento identidad,

\textstyle 1\cdot 1=1\,,\quad 1\cdot a=a\,,\quad a\cdot 1=a\,.

Queda por especificar

\textstyle aa=1

para el primer álgebra,

\textstyle aa=0

para el segundo álgebra.

Existen cinco álgebras tridimensionales de este tipo. Cada álgebra consta de combinaciones lineales de tres elementos básicos, 1 (el elemento identidad), a y b . Teniendo en cuenta la definición de un elemento identidad, es suficiente especificar

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

para el primer álgebra,

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

para el segundo álgebra,

\textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

para el tercer álgebra,

\textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b

para el cuarto álgebra,

\textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

para el quinto álgebra.

La cuarta de estas álgebras es no conmutativa y las demás son conmutativas.

Generalización: álgebra sobre un anillo

En algunas áreas de las matemáticas, como el álgebra conmutativa , es común considerar el concepto más general de un álgebra sobre un anillo , donde un anillo conmutativo R reemplaza al cuerpo K. La única parte de la definición que cambia es que se supone que A es un R -módulo (en lugar de un K -espacio vectorial).

Álgebras asociativas sobre anillos

Un anillo A es siempre un álgebra asociativa sobre su centro , y sobre los enteros . Un ejemplo clásico de un álgebra sobre su centro es el álgebra bicuaterniónica dividida , que es isomorfa a , el producto directo de dos álgebras de cuaterniones . El centro de ese anillo es , y por lo tanto tiene la estructura de un álgebra sobre su centro, que no es un cuerpo. Nótese que el álgebra bicuaterniónica dividida es también naturalmente un álgebra de 8 dimensiones. $\mathbb {H} \times \mathbb {H}$ $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

En álgebra conmutativa, si A es un anillo conmutativo , entonces cualquier homomorfismo de anillo unitario define una estructura de módulo R en A , y esto es lo que se conoce como la estructura del álgebra R. ^[5] Por lo tanto, un anillo viene con una estructura de módulo natural, ya que se puede tomar el homomorfismo único . ^[6] Por otro lado, no a todos los anillos se les puede dar la estructura de un álgebra sobre un cuerpo (por ejemplo, los enteros). Véase Campo con un elemento para una descripción de un intento de dar a cada anillo una estructura que se comporte como un álgebra sobre un cuerpo. $R\to A$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} \to A$

Véase también

Notas

^ Véase también Hazewinkel, Gubareni y Kirichenko 2004, p. 3 Proposición 1.1.1
^ Prolla, João B. (2011) [1977]. "Lema 4.10". Aproximación de funciones con valores vectoriales . Elsevier. pág. 65. ISBN 978-0-08-087136-3.
^ Schafer, Richard D. (1996). Introducción a las álgebras no asociativas. ISBN 0-486-68813-5.
^ Estudio, E. (1890), "Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen", Monatshefte für Mathematik , 1 (1): 283–354, doi :10.1007/BF01692479, S2CID 121426669
^ Matsumura, H. (1989). Teoría de anillos conmutativos. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Traducido por Reid, M. (2.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6.
^ Kunz, Ernst (1985). Introducción al álgebra conmutativa y la geometría algebraica . Birkhauser. ISBN 0-8176-3065-1.

Referencias

Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Álgebras, anillos y módulos . vol. 1. Saltador. ISBN 1-4020-2690-0.