Homomorfismo de anillos

En matemáticas , un homomorfismo de anillo es una función que preserva la estructura entre dos anillos . Más explícitamente, si R y S son anillos, entonces un homomorfismo de anillo es una función que preserva la adición, la multiplicación y la identidad multiplicativa ; es decir, ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] $f:R\to S$

{\begin{aligned}f(a+b)&=f(a)+f(b),\\f(ab)&=f(a)f(b),\\f(1_{R})&=1_{S},\end{aligned}}

para todos en $a,b$ $R.$

Estas condiciones implican que los inversos aditivos y la identidad aditiva también se conservan.

Si además f es una biyección , entonces su inversa f⁻¹ es también un homomorfismo de anillos. En este caso, f se denomina isomorfismo de anillos y los anillos R y S se denominan isomorfos . Desde el punto de vista de la teoría de anillos, los anillos isomorfos tienen exactamente las mismas propiedades.

Si R y S son anillos rng , entonces la noción correspondiente es la de un homomorfismo de anillos rng , ^[a] definido como arriba excepto sin la tercera condición f (1 _R ) = 1 _S . Un homomorfismo de anillos rng entre anillos (unitales) no necesita ser un homomorfismo de anillos.

La composición de dos homomorfismos de anillos es un homomorfismo de anillos. De ello se deduce que los anillos forman una categoría con homomorfismos de anillos como morfismos (véase Categoría de anillos ). En particular, se obtienen los conceptos de endomorfismo de anillos, isomorfismo de anillos y automorfismo de anillos.

Propiedades

Sea f : R → S un homomorfismo de anillos. Entonces, directamente de estas definiciones, se puede deducir:

f (0R ₎ = _0S .
f (− a ) = − f ( a ) para todo a en R .
Para cualquier unidad a en R , f ( a ) es un elemento unidad tal que $f (a) -1 = f (a -1)$ . En particular, f induce un homomorfismo de grupo desde el grupo (multiplicativo) de unidades de R al grupo (multiplicativo) de unidades de S (o de im( f )).
La imagen de f , denotada im( f ), es un subanillo de S .
El núcleo de f , definido como ker( f ) = { a en R | f ( a ) = 0 _S } , es un ideal bilateral en R . Cada ideal bilateral en un anillo R es el núcleo de algún homomorfismo de anillo.
Un homomorfismo es inyectivo si y sólo si el núcleo es el ideal cero .
La característica de S divide la característica de R. Esto a veces se puede utilizar para demostrar que entre ciertos anillos R y S no existe ningún homomorfismo de anillo R → S.
Si R _p es el subanillo más pequeño contenido en R y S _p es el subanillo más pequeño contenido en S , entonces cada homomorfismo de anillo f : R → S induce un homomorfismo de anillo f _p : R _p → S _p .
Si R es un campo (o más generalmente un campo oblicuo ) y S no es el anillo cero , entonces f es inyectiva.
Si tanto R como S son campos , entonces im( f ) es un subcampo de S , por lo que S puede verse como una extensión de campo de R.
Si I es un ideal de S entonces f⁻¹ ( I ) es un ideal de R .
Si R y S son conmutativos y P es un ideal primo de S entonces f⁻¹ ( P ) es un ideal primo de R .
Si R y S son conmutativas, M es un ideal maximal de S y f es sobreyectiva, entonces f⁻¹ ( M ) es un ideal maximal de R .
Si R y S son conmutativos y S es un dominio integral , entonces ker( f ) es un ideal primo de R .
Si R y S son conmutativos, S es un campo y f es sobreyectivo, entonces ker( f ) es un ideal maximal de R .
Si f es sobreyectiva, P es ideal primo (máximo) en R y ker( f ) ⊆ P , entonces f ( P ) es ideal primo (máximo) en S .

Además,

La composición de los homomorfismos de anillo S → T y R → S es un homomorfismo de anillo R → T .
Para cada anillo R , la función identidad R → R es un homomorfismo de anillo.
Por lo tanto, la clase de todos los anillos junto con los homomorfismos de anillos forma una categoría, la categoría de anillos .
La función cero R → S que envía cada elemento de R a 0 es un homomorfismo de anillo solo si S es el anillo cero (el anillo cuyo único elemento es cero).
Para cada anillo R , existe un homomorfismo de anillo único Z → R . Esto dice que el anillo de números enteros es un objeto inicial en la categoría de anillos.
Para cada anillo R , existe un homomorfismo de anillo único desde R hasta el anillo cero. Esto indica que el anillo cero es un objeto terminal en la categoría de anillos.
Como el objeto inicial no es isomorfo al objeto terminal, no existe ningún objeto cero en la categoría de anillos; en particular, el anillo cero no es un objeto cero en la categoría de anillos.

Ejemplos

La función f : Z → Z / n Z , definida por f ( a ) = [ a ] _n = a mod n es un homomorfismo de anillo sobreyectivo con núcleo n Z (ver aritmética modular ).
La conjugación compleja C → C es un homomorfismo de anillo (este es un ejemplo de un automorfismo de anillo).
Para un anillo R de característica prima p , R → R , x → x ^p es un endomorfismo de anillo llamado endomorfismo de Frobenius .
Si R y S son anillos, la función cero de R a S es un homomorfismo de anillo si y solo si S es el anillo cero (de lo contrario, no logra mapear 1 _R a 1 _S ). Por otro lado, la función cero siempre es un homomorfismo de anillo.
Si R [ X ] denota el anillo de todos los polinomios en la variable X con coeficientes en los números reales R , y C denota los números complejos , entonces la función f : R [ X ] → C definida por f ( p ) = p ( i ) (sustituyendo la unidad imaginaria i por la variable X en el polinomio p ) es un homomorfismo de anillo sobreyectivo. El núcleo de f consiste en todos los polinomios en R [ X ] que son divisibles por X² + 1 .
Si f : R → S es un homomorfismo de anillo entre los anillos R y S , entonces f induce un homomorfismo de anillo entre los anillos de matriz M _n ( R ) → M _n ( S ) .
Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo k . Entonces la función ρ : k → End( V ) dada por ρ ( a ) v = av es un homomorfismo de anillo. De manera más general, dado un grupo abeliano M , una estructura de módulo sobre M sobre un anillo R es equivalente a dar un homomorfismo de anillo R → End( M ) .
Un homomorfismo de álgebra unitaria entre álgebras asociativas unitarias sobre un anillo conmutativo R es un homomorfismo de anillo que también es R -lineal .

No-ejemplos

La función f : Z /6 Z → Z /6 Z definida por f ([ a ] ₆ ) = [4 a ] ₆ es un homomorfismo de rng (y endomorfismo de rng), con núcleo 3 Z /6 Z e imagen 2 Z /6 Z (que es isomorfa a Z /3 Z ).
No existe homomorfismo de anillo Z / n Z → Z para cualquier n ≥ 1 .
Si R y S son anillos, la inclusión R → R × S que envía cada r a ( r ,0) es un homomorfismo de rng, pero no un homomorfismo de anillo (si S no es el anillo cero), ya que no asigna la identidad multiplicativa 1 de R a la identidad multiplicativa (1,1) de R × S .

Categoría de anillos

Endomorfismos, isomorfismos y automorfismos

Un endomorfismo de anillo es un homomorfismo de anillo de un anillo a sí mismo.
Un isomorfismo de anillo es un homomorfismo de anillo que tiene una inversa de dos lados que también es un homomorfismo de anillo. Se puede demostrar que un homomorfismo de anillo es un isomorfismo si y solo si es biyectivo como función de los conjuntos subyacentes. Si existe un isomorfismo de anillo entre dos anillos R y S , entonces R y S se denominan isomorfos . Los anillos isomorfos difieren solo por un reetiquetado de elementos. Ejemplo: Hasta el isomorfismo, hay cuatro anillos de orden 4. (Esto significa que hay cuatro anillos no isomorfos por pares de orden 4 tales que cada otro anillo de orden 4 es isomorfo a uno de ellos). Por otro lado, hasta el isomorfismo, hay once anillos de orden 4.
Un automorfismo de anillo es un isomorfismo de anillo de un anillo a sí mismo.

Monomorfismos y epimorfismos

Los homomorfismos de anillos inyectivos son idénticos a los monomorfismos en la categoría de anillos: si f : R → S es un monomorfismo que no es inyectivo, entonces envía algunos r ₁ y r ₂ al mismo elemento de S . Considérense las dos funciones g ₁ y g ₂ de Z [ x ] a R que asignan x a r ₁ y r ₂ , respectivamente; f ∘ g ₁ y f ∘ g ₂ son idénticas, pero como f es un monomorfismo esto es imposible.

Sin embargo, los homomorfismos de anillo sobreyectivos son muy diferentes de los epimorfismos en la categoría de anillos. Por ejemplo, la inclusión Z ⊆ Q es un epimorfismo de anillo, pero no una sobreyección. Sin embargo, son exactamente iguales a los epimorfismos fuertes .

Véase también

Cambio de anillos

Notas

^ Algunos autores utilizan el término "anillo" para referirse a estructuras que no requieren una identidad multiplicativa; en lugar de "rng", "anillo" y "homomorfismo de rng", utilizan los términos "anillo", "anillo con identidad" y "homomorfismo de anillo", respectivamente. Por ello, algunos otros autores, para evitar ambigüedades, especifican explícitamente que los anillos son unitarios y que los homomorfismos conservan la identidad.

Citas

^ Artin 1991, pág. 353
^ Eisenbud 1995, pág. 12
^ Jacobson 1985, pág. 103
^ Lang 2002, pág. 88
^ Hazewinkel 2004, pág. 3

Referencias

Artin, Michael (1991). Álgebra . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall.
Atiyah, Michael F .; Macdonald, Ian G. (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., MR 0242802
Bourbaki, N. (1998). Álgebra I, capítulos 1–3 . Springer.
Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 150. Nueva York: Springer-Verlag . XVI+785. ISBN. 0-387-94268-8.Señor 1322960 .
Hazewinkel, Michiel (2004). Álgebras, anillos y módulos . Springer-Verlag . ISBN 1-4020-2690-0.
Jacobson, Nathan (1985). Álgebra básica I (2ª ed.). ISBN 9780486471891.
Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Sr. 1878556