Álgebra de Weyl

Álgebra diferencial

En álgebra abstracta , las álgebras de Weyl se abstraen del anillo de operadores diferenciales con coeficientes polinómicos . Reciben su nombre de Hermann Weyl , quien las introdujo para estudiar el principio de incertidumbre de Heisenberg en mecánica cuántica .

En el caso más simple, estos son operadores diferenciales. Sea un cuerpo , y sea el anillo de polinomios en una variable con coeficientes en . Entonces, el álgebra de Weyl correspondiente consta de operadores diferenciales de la forma ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle f_{m}(x)\partial _{x}^{m}+f_{m-1}(x)\partial _{x}^{m-1}+\cdots +f_{1}(x)\partial _{x}+f_{0}(x)}$

Esta es la primera álgebra de Weyl . Las n -ésimas álgebras de Weyl se construyen de manera similar. ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

Alternativamente, se puede construir como el cociente del álgebra libre sobre dos generadores, q y p , por el ideal generado por . De manera similar, se obtiene al cociente del álgebra libre sobre 2n generadores por el ideal generado por donde es el delta de Kronecker . ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle ([p,q]-1)}$ ${\displaystyle A_{n}}$ $${\displaystyle ([p_{i},q_{j}]-\delta _{i,j}),\quad \forall i,j=1,\dots ,n}$$ ${\displaystyle \delta _{i,j}}$

De manera más general, sea un anillo diferencial parcial con derivadas conmutativas . El álgebra de Weyl asociada a es el anillo no conmutativo que satisface las relaciones para todo . El caso anterior es el caso especial donde y donde es un cuerpo. ${\displaystyle (R,\Delta )}$ ${\displaystyle \Delta =\lbrace \partial _{1},\ldots ,\partial _{m}\rbrace }$ ${\displaystyle (R,\Delta )}$ ${\displaystyle R[\partial _{1},\ldots ,\partial _{m}]}$ ${\displaystyle \partial _{i}r=r\partial _{i}+\partial _{i}(r)}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle R=F[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \Delta =\lbrace \partial _{x_{1}},\ldots ,\partial _{x_{n}}\rbrace }$ ${\displaystyle F}$

Este artículo analiza únicamente el caso con característica de campo subyacente cero , a menos que se indique lo contrario. ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle F}$

El álgebra de Weyl es un ejemplo de un anillo simple que no es un anillo de matrices sobre un anillo de división . También es un ejemplo no conmutativo de un dominio y un ejemplo de una extensión de Ore .

Motivación

El álgebra de Weyl surge de manera natural en el contexto de la mecánica cuántica y el proceso de cuantificación canónica . Considérese un espacio de fases clásico con coordenadas canónicas . Estas coordenadas satisfacen las relaciones de corchete de Poisson : En la cuantificación canónica, se busca construir un espacio de Hilbert de estados y representar los observables clásicos (funciones en el espacio de fases) como operadores autoadjuntos en este espacio. Se imponen las relaciones de conmutación canónicas: donde denota el conmutador . Aquí, y son los operadores correspondientes a y respectivamente. Erwin Schrödinger propuso en 1926 lo siguiente: ^[1] ${\displaystyle (q_{1},p_{1},\dots ,q_{n},p_{n})}$ $${\displaystyle \{q_{i},q_{j}\}=0,\quad \{p_{i},p_{j}\}=0,\quad \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}.}$$ $${\displaystyle [{\hat {q}}_{i},{\hat {q}}_{j}]=0,\quad [{\hat {p}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=0,\quad [{\hat {q}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},}$$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle {\hat {q}}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

• ${\displaystyle {\hat {q_{j}}}}$con multiplicación por . ${\displaystyle x_{j}}$
• ${\displaystyle {\hat {p}}_{j}}$con . ${\displaystyle -i\hbar \partial _{x_{j}}}$

Con esta identificación, se cumple la relación de conmutación canónica.

Construcciones

Las álgebras de Weyl tienen diferentes construcciones, con diferentes niveles de abstracción.

Representación

El álgebra de Weyl puede construirse concretamente como una representación . ${\displaystyle A_{n}}$

En la representación del operador diferencial, similar a la cuantificación canónica de Schrödinger, sea representado por la multiplicación a la izquierda por , y sea representado por la diferenciación a la izquierda por . ${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle \partial _{x_{j}}}$

En la representación matricial, similar a la mecánica matricial , se representa por ^[2] ${\displaystyle A_{1}}$ $${\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\cdots \\0&0&2&0&\cdots \\0&0&0&3&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}},\quad Q={\begin{bmatrix}0&0&0&0&\ldots \\1&0&0&0&\cdots \\0&1&0&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$$

Generador

${\displaystyle A_{n}}$se puede construir como un cociente de un álgebra libre en términos de generadores y relaciones. Una construcción comienza con un espacio vectorial abstracto V (de dimensión 2 n ) equipado con una forma simpléctica ω . Defina el álgebra de Weyl W ( V ) como

${\displaystyle W(V):=T(V)/(\!(v\otimes u-u\otimes v-\omega (v,u),{\text{ for }}v,u\in V)\!),}$

donde T ( V ) es el álgebra tensorial en V , y la notación significa "el ideal generado por". ${\displaystyle (\!()\!)}$

En otras palabras, W ( V ) es el álgebra generada por V sujeta únicamente a la relación vu − uv = ω ( v , u ) . Entonces, W ( V ) es isomorfo a A _n mediante la elección de una base Darboux para ω .

${\displaystyle A_{n}}$es también un cociente del álgebra envolvente universal del álgebra de Heisenberg , el álgebra de Lie del grupo de Heisenberg , al establecer el elemento central del álgebra de Heisenberg (es decir, [ q , p ]) igual a la unidad del álgebra envolvente universal (llamada 1 arriba).

Cuantización

El álgebra W ( V ) es una cuantificación del álgebra simétrica Sym( V ). Si V está sobre un cuerpo de característica cero, entonces W ( V ) es naturalmente isomorfo al espacio vectorial subyacente del álgebra simétrica Sym( V ) equipada con un producto deformado, llamado producto de Groenewold–Moyal (considerando el álgebra simétrica como funciones polinómicas en V ^∗ , donde las variables abarcan el espacio vectorial V , y reemplazando iħ en la fórmula del producto de Moyal por 1).

El isomorfismo viene dado por el mapa de simetrización de Sym( V ) a W ( V )

${\displaystyle a_{1}\cdots a_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}a_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes a_{\sigma (n)}~.}$

Si uno prefiere tener iħ y trabajar sobre los números complejos, podría haber definido en cambio el álgebra de Weyl anterior como generada por q _i e iħ∂ _{q i} (según el uso de la mecánica cuántica ).

Así, el álgebra de Weyl es una cuantificación del álgebra simétrica, que es esencialmente la misma que la cuantificación de Moyal (si bien para esta última se restringe a funciones polinómicas), pero la primera es en términos de generadores y relaciones (considerados operadores diferenciales) y la segunda es en términos de una multiplicación deformada.

Dicho de otra manera, si el producto estrella de Moyal se denota como , entonces el álgebra de Weyl es isomorfa a . ^[3] ${\displaystyle f\star g}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}],\star )}$

En el caso de las álgebras exteriores , la cuantificación análoga a la de Weyl es el álgebra de Clifford , también denominada álgebra de Clifford ortogonal . ^{[4] [5]}

El álgebra de Weyl también se conoce como álgebra simpléctica de Clifford . ^{[4] [5] [6]} Las álgebras de Weyl representan para las formas bilineales simplécticas la misma estructura que las álgebras de Clifford representan para las formas bilineales simétricas no degeneradas. ^[6]

Módulo D

El álgebra de Weyl se puede construir como un módulo D. ^[7] Específicamente, el álgebra de Weyl correspondiente al anillo polinomial con su estructura diferencial parcial habitual es precisamente igual al anillo de operaciones diferenciales de Grothendieck . ^[7] ${\displaystyle R[x_{1},...,x_{n}]}$ ${\displaystyle D_{\mathbb {A} _{R}^{n}/R}}$

En términos más generales, sea un esquema suave sobre un anillo . Localmente, los factores como una cubierta étale sobre algunos equipados con la proyección estándar. ^[8] Debido a que " étale " significa "(plana y) que posee un haz cotangente nulo", ^[9] esto significa que cada D-módulo sobre tal esquema puede considerarse localmente como un módulo sobre el álgebra de Weyl. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\to R}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{R}^{n}}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$

Sea un álgebra conmutativa sobre un subanillo . El anillo de operadores diferenciales (anotado cuando resulta claro a partir del contexto) se define inductivamente como un subálgebra graduada de : ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D_{R/S}}$ ${\displaystyle D_{R}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{S}(R)}$

• ${\displaystyle D_{R}^{0}=R}$
• ${\displaystyle D_{R}^{k}=\left\{d\in \operatorname {End} _{S}(R):[d,a]\in D_{R}^{k-1}{\text{ for all }}a\in R\right\}.}$

Sea la unión de todos los para . Esta es una subálgebra de . ${\displaystyle D_{R}}$ ${\displaystyle D_{R}^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{S}(R)}$

En el caso , el anillo de operadores diferenciales de orden se presenta de manera similar al caso especial pero con la consideración adicional de los "operadores de potencia dividida"; estos son operadores correspondientes a aquellos en el caso complejo que estabilizan , pero que no pueden escribirse como combinaciones integrales de operadores de orden superior, es decir, no habitan en . Un ejemplo de ello es el operador . ${\displaystyle R=S[x_{1},...,x_{n}]}$ ${\displaystyle \leq n}$ ${\displaystyle S=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},...,x_{n}]}$ ${\displaystyle D_{\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}/\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \partial _{x_{1}}^{[p]}:x_{1}^{N}\mapsto {N \choose p}x_{1}^{N-p}}$

Explícitamente, se realiza una presentación a cargo de

${\displaystyle D_{S[x_{1},\dots ,x_{\ell }]/S}^{n}=S\langle x_{1},\dots ,x_{\ell },\{\partial _{x_{i}},\partial _{x_{i}}^{[2]},\dots ,\partial _{x_{i}}^{[n]}\}_{1\leq i\leq \ell }\rangle }$

con las relaciones

${\displaystyle [x_{i},x_{j}]=[\partial _{x_{i}}^{[k]},\partial _{x_{j}}^{[m]}]=0}$

${\displaystyle [\partial _{x_{i}}^{[k]},x_{j}]=\left\{{\begin{matrix}\partial _{x_{i}}^{[k-1]}&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle \partial _{x_{i}}^{[k]}\partial _{x_{i}}^{[m]}={k+m \choose k}\partial _{x_{i}}^{[k+m]}~~~~~{\text{when }}k+m\leq n}$

donde por convención. El álgebra de Weyl consiste entonces en el límite de estas álgebras como . ^{[10] : Cap. IV.16.II} ${\displaystyle \partial _{x_{i}}^{[0]}=1}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

Cuando es un cuerpo de característica 0, entonces se genera, como un -módulo, por 1 y las - derivaciones de . Además, se genera como un anillo por la -subálgebra . En particular, si y , entonces . Como se mencionó, . ^[11] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D_{R}^{1}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D_{R}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D_{R}^{1}}$ ${\displaystyle S=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x_{1},...,x_{n}]}$ ${\displaystyle D_{R}^{1}=R+\sum _{i}R\partial _{x_{i}}}$ ${\displaystyle A_{n}=D_{R}}$

Propiedades deUn​

Muchas propiedades de se aplican con pruebas esencialmente similares, ya que las diferentes dimensiones conmutan. ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

Regla general de Leibniz

Teorema  (regla general de Leibniz)  —  $${\displaystyle p^{k}q^{m}=\sum _{l=0}^{k}{\binom {k}{l}}{\frac {m!}{(m-l)!}}q^{m-l}p^{k-l}=q^{m}p^{k}+mkq^{m-1}p^{k-1}+\cdots }$$

Prueba

Según la representación, esta ecuación se obtiene mediante la regla general de Leibniz. Dado que la regla general de Leibniz se puede demostrar mediante manipulación algebraica, también es válida para . ${\displaystyle p\mapsto x,q\mapsto \partial _{x}}$ ${\displaystyle A_{1}}$

En particular, y . ${\textstyle [q,q^{m}p^{n}]=-nq^{m}p^{n-1}}$ ${\textstyle [p,q^{m}p^{n}]=mq^{m-1}p^{n}}$

Corolario  :  El centro del álgebra de Weyl es el campo subyacente de constantes . ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle F}$

Prueba

Si el conmutador de con cualquiera de es cero, entonces por la afirmación anterior, no tiene monomio con o . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p^{n}q^{m}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle m>0}$

Grado

Teorema  —  tiene una base . ^[12] ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle \{q^{m}p^{n}:m,n\geq 0\}}$

Prueba

Repitiendo las relaciones de conmutación, cualquier monomio puede ser igualado a una suma lineal de estos. Queda por comprobar que estos son linealmente independientes. Esto puede comprobarse en la representación del operador diferencial. Para cualquier suma lineal con coeficientes distintos de cero, agrúpela en orden descendente: , donde es un polinomio distinto de cero. Este operador aplicado a da como resultado . ${\displaystyle \sum _{m,n}c_{m,n}x^{m}\partial _{x}^{n}}$ ${\displaystyle p_{N}(x)\partial _{x}^{N}+p_{N-1}(x)\partial _{x}^{N-1}+\cdots +p_{M}(x)\partial _{x}^{M}}$ ${\displaystyle p_{M}}$ ${\displaystyle x^{M}}$ ${\displaystyle M!p_{M}(x)\neq 0}$

Esto permite que sea un álgebra graduada , donde el grado de está entre sus monomios distintos de cero. El grado se define de manera similar para . ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle \sum _{m,n}c_{m,n}q^{m}p^{n}}$ ${\displaystyle \max(m+n)}$ ${\displaystyle A_{n}}$

Teorema  —  Para : ^[13] ${\displaystyle A_{n}}$

• ${\displaystyle \deg(g+h)\leq \max(\deg(g),\deg(h))}$
• ${\displaystyle \deg([g,h])\leq \deg(g)+\deg(h)-2}$
• ${\displaystyle \deg(gh)=\deg(g)+\deg(h)}$

Prueba

Lo demostramos para , ya que el caso es similar. ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

La primera relación es por definición. La segunda relación es por la regla general de Leibniz. Para la tercera relación, note que , por lo que es suficiente verificar que contiene al menos un monomio distinto de cero que tiene grado . Para encontrar dicho monomio, elija el que tenga el grado más alto. Si hay varios de esos monomios, elija el que tenga la potencia más alta en . De manera similar para . Estos dos monomios, cuando se multiplican entre sí, crean un monomio único entre todos los monomios de , y por lo tanto sigue siendo distinto de cero. ${\displaystyle \deg(gh)\leq \deg(g)+\deg(h)}$ ${\displaystyle gh}$ ${\displaystyle \deg(g)+\deg(h)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle gh}$

Teorema  —  es un dominio simple . ^[14] ${\displaystyle A_{n}}$

Es decir, no tiene ideales no triviales de dos lados y no tiene divisores de cero .

Prueba

Porque no tiene divisores de cero. ${\displaystyle \deg(gh)=\deg(g)+\deg(h)}$

Supongamos por contradicción que es un ideal bilateral distinto de cero de , con . Elija un elemento distinto de cero con el grado más bajo. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle I\neq A_{1}}$ ${\displaystyle f\in I}$

Si contiene algún monomio distinto de cero de la forma , entonces contiene un monomio distinto de cero de la forma Por lo tanto , es distinto de cero y tiene grado . Como es un ideal bilateral, tenemos , lo que contradice la minimalidad de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle xx^{m}\partial ^{n}=x^{m+1}\partial ^{n}}$ $${\displaystyle [\partial ,f]=\partial f-f\partial }$$ $${\displaystyle \partial x^{m+1}\partial ^{n}-x^{m+1}\partial ^{n}\partial =(m+1)x^{m}\partial ^{n}.}$$ ${\displaystyle [\partial ,f]}$ ${\displaystyle \leq \deg(f)-1}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle [\partial ,f]\in I}$ ${\displaystyle \deg(f)}$

De manera similar, si contiene algún monomio distinto de cero de la forma , entonces es distinto de cero con grado menor. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x^{m}\partial ^{n}\partial }$ ${\displaystyle [x,f]=xf-fx}$

Derivación

Teorema  —  Las derivaciones de están en biyección con los elementos de hasta un escalar aditivo. ^[15] ${\textstyle A_{n}}$ ${\textstyle A_{n}}$

Es decir, cualquier derivación es igual a para algún ; cualquier produce una derivación ; si satisface , entonces . ${\textstyle D}$ ${\textstyle [\cdot ,f]}$ ${\textstyle f\in A_{n}}$ ${\textstyle f\in A_{n}}$ ${\textstyle [\cdot ,f]}$ ${\textstyle f,f'\in A_{n}}$ ${\textstyle [\cdot ,f]=[\cdot ,f']}$ ${\textstyle f-f'\in F}$

La prueba es similar al cálculo de la función potencial para un campo vectorial polinomial conservativo en el plano. ^[16]

Teoría de la representación

Característica cero

En el caso de que el campo fundamental F tenga característica cero, el n -ésimo álgebra de Weyl es un dominio noetheriano simple . ^[17] Tiene dimensión global n , en contraste con el anillo que deforma, Sym( V ), que tiene dimensión global 2 n .

No tiene representaciones de dimensión finita. Aunque esto se desprende de la simplicidad, se puede demostrar de forma más directa tomando la traza de σ ( q ) y σ ( Y ) para alguna representación de dimensión finita σ (donde [ q , p ] = 1 ).

${\displaystyle \mathrm {tr} ([\sigma (q),\sigma (Y)])=\mathrm {tr} (1)~.}$

Dado que la traza de un conmutador es cero y la traza de la identidad es la dimensión de la representación, la representación debe ser de dimensión cero.

De hecho, hay afirmaciones más fuertes que la ausencia de representaciones de dimensión finita. Para cualquier A _n -módulo M generado finitamente , existe una subvariedad correspondiente Char( M ) de V × V ^∗ llamada la 'variedad característica' ^{[ aclaración necesaria ]} cuyo tamaño corresponde aproximadamente al tamaño ^{[ aclaración necesaria ]} de M (un módulo de dimensión finita tendría variedad característica de dimensión cero). Entonces, la desigualdad de Bernstein establece que para M distinto de cero,

${\displaystyle \dim(\operatorname {char} (M))\geq n}$

Una afirmación aún más fuerte es el teorema de Gabber, que establece que Char( M ) es una subvariedad coisotrópica de V × V ^∗ para la forma simpléctica natural.

Caracteristica positiva

La situación es considerablemente diferente en el caso de un álgebra de Weyl sobre un campo de característica p > 0 .

En este caso, para cualquier elemento D del álgebra de Weyl, el elemento D ^p es central, y por lo tanto el álgebra de Weyl tiene un centro muy grande. De hecho, es un módulo finitamente generado sobre su centro; más aún, es un álgebra de Azumaya sobre su centro. Como consecuencia, hay muchas representaciones de dimensión finita que se construyen a partir de representaciones simples de dimensión p .

Generalizaciones

Los ideales y automorfismos de han sido bien estudiados. ^{[18] [19]} Se conoce el espacio de módulos para su ideal recto. ^[20] Sin embargo, el caso de es considerablemente más difícil y está relacionado con la conjetura jacobiana . ^[21] ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

Para más detalles sobre esta cuantificación en el caso n = 1 (y una extensión usando la transformada de Fourier a una clase de funciones integrables más grandes que las funciones polinomiales), véase la transformada de Wigner-Weyl .

Las álgebras de Weyl y las álgebras de Clifford admiten una estructura adicional de una *-álgebra , y pueden unificarse como términos pares e impares de una superálgebra , como se analiza en las álgebras CCR y CAR .

Variedades afines

Las álgebras de Weyl también se generalizan en el caso de variedades algebraicas. Consideremos un anillo de polinomios

${\displaystyle R={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{I}}.}$

Entonces, un operador diferencial se define como una composición de derivaciones -lineales de . Esto se puede describir explícitamente como el anillo de cocientes ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\text{Diff}}(R)={\frac {\{D\in A_{n}\colon D(I)\subseteq I\}}{I\cdot A_{n}}}.}$

Véase también

• Conjetura jacobiana
• Conjetura de Dixmier

Notas

1. Landsman 2007, pág. 428.
2. Coutinho 1997, págs. 598–599.
3. Coutinho 1997, págs. 602–603.
4. Lounesto y Ablamowicz 2004, pág. xvi.
5. Micali, Boudet y Helmstetter 1992, págs. 83–96.
6. Helmstetter y Micali 2008, pág. xii.
7. Coutinho 1997, págs. 600–601.
8. "Sección 41.13 (039P): Étale y morfismos suaves: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 29 de septiembre de 2024 .
9. "Morfismo etale de esquemas en nLab". ncatlab.org . Consultado el 29 de septiembre de 2024 .
10. Grothendieck, Alejandro (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 20 : 5–259. ISSN  1618-1913.
11. Coutinho 1995, págs. 20-24.
12. Coutinho 1995, p. 9, Proposición 2.1.
13. Coutinho 1995, págs. 14-15.
14. Coutinho 1995, pág. 16.
15. Dirac 1926, págs. 415–417.
16. Coutinho 1997, pág. 597.
17. Coutinho 1995, pág. 70.
18. Berest y Wilson 2000, págs. 127-147.
19. Cannings & Holland 1994, págs. 116-141.
20. Lebruyn 1995, págs. 32–48.
21. Coutinho 1995, sección 4.4.

Referencias

• Coutinho, SC (1995). Introducción a los módulos D algebraicos . Cambridge [Inglaterra]; Nueva York, NY, EE. UU.: Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511623653. ISBN 978-0-521-55119-9.
• Coutinho, SC (1997). "Los muchos avatares de un álgebra simple". The American Mathematical Monthly . 104 (7): 593–604. doi :10.1080/00029890.1997.11990687. ISSN  0002-9890.
• Dirac, PAM (1926). "Sobre el álgebra cuántica". Actas matemáticas de la Cambridge Philosophical Society . 23 (4): 412–418. doi :10.1017/S0305004100015231. ISSN  0305-0041.
• Helmstetter, J.; Micali, A. (2008). Aplicaciones cuadráticas y álgebras de Clifford . Basilea; Boston: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8605-4.OCLC 175285188  .
• Landsman, NP (2007). "ENTRE LO CLÁSICO Y LO CUÁNTICO". Filosofía de la física . Elsevier. doi :10.1016/b978-044451560-5/50008-7. ISBN 978-0-444-51560-5.
• Lounesto, P.; Ablamowicz, R. (2004). Álgebras de Clifford . Boston: Springer Science & Business Media. ISBN 0-8176-3525-4.
• Micali, A.; Boudet, R.; Helmstetter, J. (1992). Álgebras de Clifford y sus aplicaciones en física matemática . Dordrecht: Springer Science & Business Media. ISBN 0-7923-1623-1.
• de Traubenberg, M. Rausch; Slupinski, MJ; Tanasa, A. (2006). "Subálgebras de Lie de dimensión finita del álgebra de Weyl". J. Lie Theory . 16 : 427–454. arXiv : math/0504224 .
• Traves, Will (2010). "Operaciones diferenciales sobre variedades de Grassmann". En Campbell, H.; Helminck, A.; Kraft, H.; Wehlau, D. (eds.). Simetría y espacios . Progreso en matemáticas. Vol. 278. Birkhäuse. págs. 197–207. doi :10.1007/978-0-8176-4875-6_10. ISBN . 978-0-8176-4875-6.
• Tsit Yuen Lam (2001). Un primer curso sobre anillos no conmutativos . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 131 (2.ª ed.). Springer. pág. 6. ISBN. 978-0-387-95325-0.
• Berest, Yuri; Wilson, George (1 de septiembre de 2000). "Automorfismos e ideales del álgebra de Weyl". Annalen Matemáticas . 318 (1): 127–147. arXiv : matemáticas/0102190 . doi :10.1007/s002080000115. ISSN  0025-5831.
• Cannings, RC; Holland, MP (1994). "Ideales rectos de anillos de operadores diferenciales". Journal of Algebra . 167 (1). Elsevier BV: 116–141. doi :10.1006/jabr.1994.1179. ISSN  0021-8693.
• Lebruyn, L. (1995). "Espacios de módulos para ideales rectos del álgebra de Weyl". Journal of Algebra . 172 (1). Elsevier BV: 32–48. doi :10.1006/jabr.1995.1046. ISSN  0021-8693.