En matemáticas , la conjetura jacobiana es un famoso problema no resuelto relativo a polinomios en varias variables . Afirma que si una función polinómica de un espacio de n dimensiones tiene un determinante jacobiano que es una constante distinta de cero, entonces la función tiene un polinomio inverso. Fue conjeturada por primera vez en 1939 por Ott-Heinrich Keller , [1] y ampliamente publicitada por Shreeram Abhyankar , como un ejemplo de una pregunta difícil en geometría algebraica que puede entenderse usando poco más que un conocimiento de cálculo .
La conjetura jacobiana es conocida por la gran cantidad de intentos de demostración que resultaron contener errores sutiles. A partir de 2018, no hay afirmaciones plausibles que lo hayan demostrado. Incluso el caso de las dos variables ha resistido todos los esfuerzos. Actualmente no se conocen razones convincentes para creer que la conjetura sea cierta y, según van den Essen [2], existen algunas sospechas de que la conjetura es de hecho falsa para un gran número de variables (de hecho, tampoco hay evidencia convincente). para apoyar estas sospechas). La conjetura jacobiana ocupa el puesto 16 en la lista de problemas matemáticos para el próximo siglo de Stephen Smale de 1998 .
Sea N > 1 un entero fijo y considere polinomios f 1 , ..., f N en variables X 1 , ..., X N con coeficientes en un campo k . Luego definimos una función con valores vectoriales F : k N → k N estableciendo:
Cualquier aplicación F : k N → k N que surja de esta manera se denomina aplicación polinomial .
El determinante jacobiano de F , denotado por J F , se define como el determinante de la matriz jacobiana N × N que consta de las derivadas parciales de f i con respecto a X j :
entonces J F es en sí misma una función polinómica de las N variables X 1 , ..., X N .
De la regla de la cadena multivariable se deduce que si F tiene una función polinómica inversa G : k N → k N , entonces J F tiene un polinomio recíproco, por lo que es una constante distinta de cero. La conjetura jacobiana es la siguiente inversa parcial:
Conjetura jacobiana: Sea k tenga la característica 0. Si J F es una constante distinta de cero, entonces F tiene una función inversa G : k N → k N que es regular , lo que significa que sus componentes son polinomios.
Según van den Essen, [2] el problema fue conjeturado por primera vez por Keller en 1939 para el caso limitado de dos variables y coeficientes enteros.
La analogía obvia de la conjetura jacobiana falla si k tiene la característica p > 0 incluso para una variable. La característica de un campo, si no es cero, debe ser prima, por lo que al menos 2. El polinomio x − x p tiene derivada 1 − px p −1 que es 1 (porque px es 0) pero no tiene función inversa. . Sin embargo, Kossivi Adjamagbo sugirió extender la conjetura jacobiana a la característica p > 0 agregando la hipótesis de que p no divide el grado de la extensión del campo k ( X ) / k ( F ) . [3]
La existencia de un polinomio inverso es obvia si F es simplemente un conjunto de funciones lineales en las variables, porque entonces el inverso también será un conjunto de funciones lineales. Un ejemplo no lineal simple viene dado por
de modo que el determinante jacobiano es
En este caso la inversa existe como los polinomios.
Pero si modificamos ligeramente F , para
entonces el determinante es
que no es constante y la conjetura jacobiana no se aplica. La función todavía tiene una inversa:
pero la expresión de x no es un polinomio.
La condición J F ≠ 0 está relacionada con el teorema de la función inversa en cálculo multivariable . De hecho, para funciones suaves (y, por tanto, en particular para polinomios), existe una función inversa local suave de F en cada punto donde J F es distinto de cero. Por ejemplo, el mapa x → x + x 3 tiene una inversa global suave, pero la inversa no es polinómica.
Stuart Sui-Sheng Wang demostró la conjetura jacobiana para polinomios de grado 2. [4] Hyman Bass, Edwin Connell y David Wright demostraron que el caso general se deriva del caso especial donde los polinomios son de grado 3, o incluso más específicamente, de tipo cúbico homogéneo, es decir de la forma F = ( X 1 + H 1 , ..., X n + H n ), donde cada H i es cero o un cúbico homogéneo. [5] Ludwik Drużkowski demostró que se puede suponer además que el mapa es de tipo lineal cúbico, lo que significa que los H i distintos de cero son cubos de polinomios lineales homogéneos. [6] Parece que la reducción de Drużkowski es una de las formas más prometedoras de avanzar. Estas reducciones introducen variables adicionales y, por lo tanto, no están disponibles para N fijo .
Edwin Connell y Lou van den Dries demostraron que si la conjetura jacobiana es falsa, entonces tiene un contraejemplo con coeficientes enteros y determinante jacobiano 1. [7] En consecuencia, la conjetura jacobiana es verdadera para todos los campos de característica 0 o para ninguno. . Para dimensión fija N , es cierto si se cumple para al menos un campo algebraicamente cerrado de característica 0.
Sea k [ X ] el anillo polinomial k [ X 1 , ..., X n ] y k [ F ] la k -subálgebra generada por f 1 , ..., f n . Para una F dada , la conjetura jacobiana es verdadera si, y sólo si, k [ X ] = k [ F ] . Keller (1939) demostró el caso biracional, es decir, donde los dos campos k ( X ) y k ( F ) son iguales. El caso en el que k ( X ) es una extensión de Galois de k ( F ) fue demostrado por Andrew Campbell para mapas complejos [8] y, en general, por Michael Razar [9] e, independientemente, por David Wright. [10] Tzuong-Tsieng Moh comprobó la conjetura de polinomios de grado como máximo 100 en dos variables. [11] [12]
Michiel de Bondt y Arno van den Essen [13] [14] y Ludwik Drużkowski [15] demostraron de forma independiente que es suficiente probar la conjetura jacobiana para mapas complejos de tipo cúbico homogéneo con una matriz jacobiana simétrica, y además demostraron que la conjetura es válido para mapas de tipo lineal cúbico con una matriz jacobiana simétrica, sobre cualquier campo de característica 0.
La fuerte conjetura jacobiana real era que un mapa polinómico real con un determinante jacobiano que no desaparece en ninguna parte tiene una inversa global suave. Esto equivale a preguntar si dicho mapa es topológicamente un mapa adecuado, en cuyo caso es un mapa de cobertura de una variedad simplemente conexa y, por lo tanto, invertible. Sergey Pinchuk construyó dos contraejemplos variables de grado total 35 y superior. [dieciséis]
Es bien sabido que la conjetura de Dixmier implica la conjetura jacobiana. [5] Por el contrario, Yoshifumi Tsuchimoto [17] e independientemente Alexei Belov-Kanel y Maxim Kontsevich [18] demuestran que la conjetura jacobiana para 2N variables implica la conjetura de Dixmier en N dimensiones. Kossivi Adjamagbo y Arno van den Essen [19] también ofrecen una prueba autónoma y puramente algebraica de la última implicación, quienes también demostraron en el mismo artículo que estas dos conjeturas son equivalentes a la conjetura de Poisson.
