Arbol real

En matemáticas , los árboles reales (también llamados árboles - ) son una clase de espacios métricos que generalizan árboles simpliciales . Surgen de forma natural en muchos contextos matemáticos, en particular en la teoría de grupos geométricos y la teoría de la probabilidad . También son los ejemplos más simples de espacios hiperbólicos de Gromov . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Definición y ejemplos

Definición formal

Un triángulo en un árbol real

Un espacio métrico es un árbol real si es un espacio geodésico donde cada triángulo es un trípode. Es decir, por cada tres puntos existe un punto tal que los segmentos geodésicos se intersecan en el segmento y además . Esta definición es equivalente a ser un "espacio cero-hiperbólico" en el sentido de Gromov (todos los triángulos son "cero-delgados"). Los árboles reales también pueden caracterizarse por una propiedad topológica . Un espacio métrico es un árbol real si para cualquier par de puntos todas las incrustaciones topológicas del segmento en tales que tienen la misma imagen (que entonces es un segmento geodésico de a ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y,\rho \in X}$ ${\displaystyle c=x\wedge y}$ ${\displaystyle [\rho ,x],[\rho ,y]}$ ${\displaystyle [\rho ,c]}$ ${\displaystyle c\in [x,y]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (0)=x,\,\sigma (1)=y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Ejemplos sencillos

• Si es un grafo conexo con métrica combinatoria entonces es un árbol real si y solo si es un árbol (es decir, no tiene ciclos ). Este tipo de árbol se suele denominar árbol simplicial. Se caracterizan por la siguiente propiedad topológica: un árbol real es simplicial si y solo si el conjunto de puntos singulares de (puntos cuyo complemento en tiene tres o más componentes conexos) es cerrado y discreto en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• El árbol obtenido de la siguiente manera no es simplista. Se comienza con el intervalo [0, 2] y se pega, para cada entero positivo n , un intervalo de longitud 1/ n al punto 1 − 1/ n en el intervalo original. El conjunto de puntos singulares es discreto, pero no se puede cerrar ya que 1 es un punto ordinario en este árbol. Pegar un intervalo a 1 daría como resultado un conjunto cerrado de puntos singulares a expensas de la discreción. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• La métrica de París convierte el plano en un árbol real. Se define de la siguiente manera: se fija un origen , y si dos puntos están en el mismo rayo desde , su distancia se define como la distancia euclidiana. En caso contrario, su distancia se define como la suma de las distancias euclidianas de estos dos puntos al origen . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$
• El plano bajo la métrica de París es un ejemplo de espacio erizo , una colección de segmentos de línea unidos en un punto final común. Cualquier espacio de este tipo es un árbol real.

Caracterizaciones

Visualización de la condición de cuatro puntos y la hiperbolicidad 0. En verde:  ; en azul: . ${\displaystyle (x,y)_{t}=(y,z)_{t}}$ ${\displaystyle (x,z)_{t}}$

A continuación se presentan caracterizaciones equivalentes de árboles reales que pueden usarse como definiciones:

1) (similar a los árboles como gráficos) Un árbol real es un espacio métrico geodésico que no contiene ningún subconjunto homeomorfo a un círculo. ^[1]

2) Un árbol real es un espacio métrico conexo que tiene la condición de cuatro puntos ^[2] (ver figura): ${\displaystyle (X,d)}$

Para todos . ${\displaystyle x,y,z,t\in X,}$ ${\displaystyle d(x,y)+d(z,t)\leq \max[d(x,z)+d(y,t)\,;\,d(x,t)+d(y,z)]}$

3) Un árbol real es un espacio métrico hiperbólico 0 conexo ^[3] (ver figura). Formalmente,

A pesar de ${\displaystyle x,y,z,t\in X,}$ ${\displaystyle (x,y)_{t}\geq \min[(x,z)_{t}\,;\,(y,z)_{t}],}$

donde denota el producto de Gromov de y con respecto a , es decir, ${\displaystyle (x,y)_{t}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\left(d(x,t)+d(y,t)-d(x,y)\right).}$

4) (similar a la caracterización de los plátanos por su proceso de contorno). Consideremos una excursión positiva de una función. En otras palabras, sea una función continua de valor real y un intervalo tal que y para . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle e(a)=e(b)=0}$ ${\displaystyle e(t)>0}$ ${\displaystyle t\in ]a,b[}$

Para , , define una relación pseudométrica y una relación de equivalencia con: ${\displaystyle x,y\in [a,b]}$ ${\displaystyle x\leq y}$

${\displaystyle d_{e}(x,y):=e(x)+e(y)-2\min(e(z)\,;z\in [x,y]),}$

${\displaystyle x\sim _{e}y\Leftrightarrow d_{e}(x,y)=0.}$

Entonces, el espacio cociente es un árbol real. ^[3] Intuitivamente, los mínimos locales de la excursión e son los padres de los máximos locales . Otra forma visual de construir el árbol real a partir de una excursión es "poner pegamento" debajo de la curva de e , y "doblar" esta curva, identificando los puntos pegados (ver animación). ${\displaystyle ([a,b]/\sim _{e}\,,\,d_{e})}$

Partant d'une excursion e (en noir), la deformación (en vert) representa le « pliage » de la courbe jusqu'au « collage » des pointes d'une même classe d'equivalence, l'état final est l'arbre réel associé à e .

Ejemplos

Los árboles reales aparecen a menudo, en diversas situaciones, como límites de espacios métricos más clásicos.

Árboles brownianos

Un árbol browniano ^[4] es un proceso estocástico cuyo valor es casi con toda seguridad un árbol real (no simple). Los árboles brownianos surgen como límites de varios procesos aleatorios en árboles finitos. ^[5]

Ultralímites de espacios métricos

Cualquier ultralímite de una sucesión de espacios hiperbólicos con es un árbol real. En particular, el cono asintótico de cualquier espacio hiperbólico es un árbol real . ${\displaystyle (X_{i})}$ ${\displaystyle \delta _{i}}$ ${\displaystyle \delta _{i}\to 0}$

Límite de acciones grupales

Sea un grupo . Para una secuencia de espacios base existe una noción de convergencia a un espacio base debido a M. Bestvina y F. Paulin. Cuando los espacios son hiperbólicos y las acciones no están acotadas, el límite (si existe) es un árbol real. ^[6] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (X_{i},*_{i},\rho _{i})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (X_{\infty },x_{\infty },\rho _{\infty })}$

Un ejemplo simple se obtiene tomando donde es una superficie compacta y la cubierta universal de con la métrica (donde es una métrica hiperbólica fija en ). ${\displaystyle G=\pi _{1}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle i\rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S}$

Esto es útil para producir acciones de grupos hiperbólicos en árboles reales. Dichas acciones se analizan utilizando la llamada máquina de Rips . Un caso de particular interés es el estudio de la degeneración de grupos que actúan de forma propiamente discontinua en un espacio hiperbólico real (esto es anterior al trabajo de Rips, Bestvina y Paulin y se debe a J. Morgan y P. Shalen ^[7] ).

Grupos algebraicos

Si es un campo con una valoración ultramétrica , entonces el edificio Bruhat-Tits de es un árbol real. Es simple si y solo si las valoraciones son discretas. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(F)}$

Generalizaciones

O {\estilo de visualización \Lambda} -árboles

Si es un grupo abeliano totalmente ordenado existe una noción natural de una distancia con valores en (los espacios métricos clásicos corresponden a ). Existe una noción de -árbol ^[8] que recupera árboles simpliciales cuando y árboles reales cuando . Se describió la estructura de grupos finitamente presentados que actúan libremente sobre -árboles. ^[9] En particular, un grupo de este tipo actúa libremente sobre algún -árbol. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Edificios reales

Los axiomas de un edificio se pueden generalizar para dar una definición de un edificio real. Estos surgen, por ejemplo, como conos asintóticos de espacios simétricos de rango superior o como edificios de Bruhat-Tits de grupos de rango superior sobre cuerpos valorados.

Véase también

• Dendroid (topología)
• Espacio arbolado

Referencias

1. Chiswell, Ian (2001). Introducción a los árboles [lambda]. Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-281-053-3.OCLC 268962256  .
2. Peter Buneman, Una nota sobre las propiedades métricas de los árboles , Journal of combinatorial theory, B (17), pág. 48-50, 1974.
3. Evans, Stevan N. (2005). Probabilidad y árboles reales . Escuela de Été de Probabilités de Saint-Flour XXXV.
4. Aldous, D. (1991), "El árbol aleatorio continuo I", Anales de probabilidad , 19 : 1–28, doi : 10.1214/aop/1176990534
5. Aldous, D. (1991), "El árbol aleatorio continuo III", Anales de probabilidad , 21 : 248–289
6. Bestvina, Mladen (2002), " -árboles en topología, geometría y teoría de grupos", Handbook of Geometric Topology, Elsevier, págs. 55-91, ISBN ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 9780080532851
7. Shalen, Peter B. (1987), "Dendrología de grupos: una introducción", en Gersten, SM (ed.), Ensayos sobre teoría de grupos , Math. Sci. Res. Inst. Publ., vol. 8, Springer-Verlag , págs. 265–319, ISBN 978-0-387-96618-2, Sr.  0919830
8. Chiswell, Ian (2001), Introducción a los árboles Λ , River Edge, Nueva Jersey: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 981-02-4386-3, Sr.  1851337
9. O. Kharlampovich, A. Myasnikov, D. Serbin, Acciones, funciones de longitud y palabras no arquímedes IJAC 23, No. 2, 2013.{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)