En matemáticas , el intervalo unitario es el intervalo cerrado [0,1] , es decir, el conjunto de todos los números reales mayores o iguales a 0 y menores o iguales a 1. A menudo se denota I (letra I mayúscula ). Además de su papel en el análisis real , el intervalo unitario se utiliza para estudiar la teoría de la homotopía en el campo de la topología .
En la literatura, el término "intervalo unitario" a veces se aplica a otras formas que podría tomar un intervalo de 0 a 1: (0,1] , [0,1) y (0,1) . Sin embargo, la notación I se reserva más comúnmente para el intervalo cerrado [0,1] .
El intervalo unitario es un espacio métrico completo , homeomorfo a la recta numérica real extendida . Como espacio topológico , es compacto , contráctil , conectado por caminos y conectado localmente por caminos . El cubo de Hilbert se obtiene tomando un producto topológico de un número contable de copias del intervalo unitario.
En análisis matemático , el intervalo unitario es una variedad analítica unidimensional cuyo límite consta de los dos puntos 0 y 1. Su orientación estándar va de 0 a 1.
El intervalo unitario es un conjunto totalmente ordenado y una red completa (cada subconjunto del intervalo unitario tiene un supremo y un mínimo ).
El tamaño o cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que contiene.
El intervalo unitario es un subconjunto de los números reales . Sin embargo, tiene el mismo tamaño que todo el conjunto: la cardinalidad del continuo . Dado que los números reales se pueden usar para representar puntos a lo largo de una línea infinitamente larga , esto implica que un segmento de línea de longitud 1, que es parte de esa línea, tiene el mismo número de puntos que toda la línea. Además, tiene el mismo número de puntos que un cuadrado de área 1, que un cubo de volumen 1 e incluso que un espacio euclidiano ilimitado de n dimensiones (ver Curva de llenado del espacio ).
El número de elementos (ya sean números reales o puntos) en todos los conjuntos antes mencionados es incontable , ya que es estrictamente mayor que el número de números naturales .
El intervalo unitario es una curva . El intervalo abierto (0,1) es un subconjunto de los números reales positivos y hereda una orientación de ellos. La orientación se invierte cuando el intervalo se ingresa desde 1, como en la integral utilizada para definir el logaritmo natural para x en el intervalo, lo que produce valores negativos para el logaritmo de dicho x . De hecho, esta integral se evalúa como un área con signo que produce un área negativa en el intervalo unitario debido a la orientación invertida allí.
El intervalo [-1,1] , de longitud dos, demarcado por las unidades positivas y negativas, ocurre con frecuencia, como en el rango de las funciones trigonométricas seno y coseno y la función hiperbólica tanh. Este intervalo se puede utilizar para el dominio de funciones inversas . Por ejemplo, cuando 𝜃 está restringido a [−π/2, π/2] entonces está en este intervalo y el arcoseno se define allí.
A veces, el término "intervalo unitario" se utiliza para referirse a objetos que desempeñan un papel en diversas ramas de las matemáticas análogo al papel que desempeña [0,1] en la teoría de la homotopía. Por ejemplo, en la teoría de los carcaj , el (análogo del) intervalo unitario es el gráfico cuyo conjunto de vértices es y que contiene una única arista e cuyo origen es 0 y cuyo destino es 1. Entonces se puede definir una noción de homotopía entre homomorfismos de carcaj análogos a la noción de homotopía entre mapas continuos .
En lógica , el intervalo unitario [0,1] se puede interpretar como una generalización del dominio booleano {0,1}, en cuyo caso, en lugar de tomar solo valores 0 o 1, se puede asumir cualquier valor entre 0 y 1 inclusive. . Algebraicamente, la negación (NO) se reemplaza por 1 − x ; la conjunción (Y) se reemplaza con la multiplicación ( xy ); y la disyunción (OR) se define, según las leyes de De Morgan , como 1 − (1 − x )(1 − y ) .
La interpretación de estos valores como valores de verdad lógicos produce una lógica multivalor , que forma la base de la lógica difusa y la lógica probabilística . En estas interpretaciones, un valor se interpreta como el "grado" de verdad: hasta qué punto una proposición es verdadera o la probabilidad de que la proposición sea verdadera.
