En matemáticas , el término conectividad [1] se utiliza para referirse a varias propiedades que, en cierto sentido, significan "una sola pieza". Cuando un objeto matemático tiene una propiedad de este tipo, decimos que está conexo ; en caso contrario, está desconectado . Cuando un objeto desconectado se puede dividir de forma natural en piezas conectadas, cada pieza suele denominarse componente (o componente conectado ).
Se dice que un espacio topológico es conexo si no es la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos . [2] Un conjunto es abierto si no contiene ningún punto que se encuentre en su límite ; por lo tanto, en un sentido informal e intuitivo, el hecho de que un espacio pueda dividirse en conjuntos abiertos disjuntos sugiere que el límite entre los dos conjuntos no es parte del espacio y, por lo tanto, lo divide en dos partes separadas.
Los campos de las matemáticas se ocupan típicamente de tipos especiales de objetos. A menudo se dice que un objeto de este tipo es conexo si, cuando se lo considera como un espacio topológico, es un espacio conexo. Por lo tanto, las variedades , los grupos de Lie y los grafos se denominan conexos si están conexos como espacios topológicos, y sus componentes son los componentes topológicos. A veces es conveniente reformular la definición de conexidad en tales campos. Por ejemplo, se dice que un grafo es conexo si cada par de vértices en el grafo está unido por un camino . Esta definición es equivalente a la topológica, tal como se aplica a los grafos, pero es más fácil de tratar en el contexto de la teoría de grafos . La teoría de grafos también ofrece una medida de conexidad independiente del contexto, llamada coeficiente de agrupamiento .
Otros campos de las matemáticas se ocupan de objetos que rara vez se consideran espacios topológicos. No obstante, las definiciones de conectividad a menudo reflejan el significado topológico de alguna manera. Por ejemplo, en la teoría de categorías , se dice que una categoría está conectada si cada par de objetos que la componen está unido por una secuencia de morfismos . Por lo tanto, una categoría está conectada si es, intuitivamente, una sola pieza.
Puede haber diferentes nociones de conectividad que sean intuitivamente similares, pero diferentes como conceptos definidos formalmente. Podríamos desear decir que un espacio topológico está conectado si cada par de puntos en él está unido por un camino . Sin embargo, esta condición resulta ser más fuerte que la conectividad topológica estándar; en particular, hay espacios topológicos conexos para los que esta propiedad no se cumple. Debido a esto, se utiliza una terminología diferente; los espacios con esta propiedad se dicen que están conectados por caminos . Si bien no todos los espacios conexos están conectados por caminos, todos los espacios conectados por caminos están conectados.
Los términos que implican conexión también se utilizan para propiedades que están relacionadas con la conectividad, pero que son claramente diferentes de ella. Por ejemplo, un espacio topológico conexo por trayectorias es simplemente conexo si cada bucle (ruta desde un punto hasta sí mismo) en él es contráctil ; es decir, intuitivamente, si esencialmente solo hay una manera de llegar desde cualquier punto a cualquier otro punto. Por lo tanto, una esfera y un disco son simplemente conexos, mientras que un toro no lo es. Como otro ejemplo, un grafo dirigido es fuertemente conexo si cada par ordenado de vértices está unido por una trayectoria dirigida (es decir, una que "sigue las flechas").
Otros conceptos expresan la forma en que un objeto no está conectado. Por ejemplo, un espacio topológico está totalmente desconectado si cada uno de sus componentes es un único punto.
Las propiedades y parámetros basados en la idea de conectividad a menudo involucran la palabra conectividad . Por ejemplo, en la teoría de grafos , un grafo conexo es uno del cual debemos eliminar al menos un vértice para crear un grafo desconectado. [3] En reconocimiento de esto, también se dice que dichos grafos son 1-conexos . De manera similar, un grafo es 2-conexo si debemos eliminar al menos dos vértices de él para crear un grafo desconectado. Un grafo 3-conexo requiere la eliminación de al menos tres vértices, y así sucesivamente. La conectividad de un grafo es el número mínimo de vértices que deben eliminarse para desconectarlo. Equivalentemente, la conectividad de un grafo es el mayor entero k para el cual el grafo es k -conexo.
Si bien la terminología varía, las formas nominales de las propiedades relacionadas con la conectividad a menudo incluyen el término conectividad . Por lo tanto, cuando se habla de espacios topológicos simplemente conexos, es mucho más común hablar de conectividad simple que de conectividad simple . Por otro lado, en campos sin una noción formalmente definida de conectividad , la palabra puede usarse como sinónimo de conectividad .
Otro ejemplo de conectividad se puede encontrar en los mosaicos regulares. Aquí, la conectividad describe la cantidad de vecinos accesibles desde un solo mosaico :
