Teorema de divergencia

Teorema de cálculo que relaciona el flujo de superficies cerradas con la divergencia sobre su volumen

En cálculo vectorial , el teorema de divergencia , también conocido como teorema de Gauss o teorema de Ostrogradsky , ^[1] es un teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la divergencia del campo en el volumen encerrado.

Más precisamente, el teorema de la divergencia establece que la integral de superficie de un campo vectorial sobre una superficie cerrada, que se denomina "flujo" a través de la superficie, es igual a la integral de volumen de la divergencia sobre la región encerrada por la superficie. Intuitivamente, afirma que "la suma de todas las fuentes del campo en una región (con los sumideros considerados fuentes negativas) da el flujo neto de salida de la región".

El teorema de la divergencia es un resultado importante para las matemáticas de la física y la ingeniería , particularmente en electrostática y dinámica de fluidos . En estos campos se suele aplicar en tres dimensiones. Sin embargo, se generaliza a cualquier número de dimensiones. En una dimensión, equivale al teorema fundamental del cálculo . En dos dimensiones, equivale al teorema de Green .

Explicación utilizando el flujo de líquido.

Los campos vectoriales a menudo se ilustran utilizando el ejemplo del campo de velocidades de un fluido , como un gas o un líquido. Un líquido en movimiento tiene una velocidad (una rapidez y una dirección) en cada punto, que puede representarse mediante un vector , de modo que la velocidad del líquido en cualquier momento forma un campo vectorial. Considere una superficie cerrada imaginaria S dentro de un cuerpo de líquido, que encierra un volumen de líquido. El flujo de líquido que sale del volumen en cualquier momento es igual a la velocidad volumétrica del fluido que cruza esta superficie, es decir, la integral superficial de la velocidad sobre la superficie.

Como los líquidos son incompresibles, la cantidad de líquido dentro de un volumen cerrado es constante; Si no hay fuentes ni sumideros dentro del volumen, entonces el flujo de líquido que sale de S es cero. Si el líquido se está moviendo, puede fluir hacia el volumen en algunos puntos de la superficie S y salir del volumen en otros puntos, pero las cantidades que entran y salen en cualquier momento son iguales, por lo que el flujo neto de líquido hacia afuera el volumen es cero.

Sin embargo, si hay una fuente de líquido dentro de la superficie cerrada, como una tubería a través de la cual se introduce líquido, el líquido adicional ejercerá presión sobre el líquido circundante, provocando un flujo hacia afuera en todas direcciones. Esto provocará un flujo neto hacia afuera a través de la superficie S. El flujo que sale a través de S es igual a la tasa volumétrica de flujo de fluido hacia S desde la tubería. De manera similar, si hay un fregadero o desagüe dentro de S , como una tubería que drena el líquido, la presión externa del líquido provocará una velocidad en todo el líquido dirigida hacia adentro, hacia la ubicación del desagüe. La tasa volumétrica de flujo de líquido hacia el interior a través de la superficie S es igual a la tasa de líquido eliminado por el sumidero.

Si hay múltiples fuentes y sumideros de líquido dentro de S , el flujo a través de la superficie se puede calcular sumando la tasa de volumen de líquido agregado por las fuentes y restando la tasa de líquido drenado por los sumideros. La tasa volumétrica de flujo de líquido a través de una fuente o sumidero (con el flujo a través de un sumidero dado un signo negativo) es igual a la divergencia del campo de velocidades en la boca de la tubería, por lo que suma (integra) la divergencia del líquido a lo largo de el volumen encerrado por S es igual a la tasa de flujo volumétrico a través de S. Este es el teorema de la divergencia. ^[2]

El teorema de la divergencia se emplea en cualquier ley de conservación que establezca que el volumen total de todos los sumideros y fuentes, es decir, la integral de volumen de la divergencia, es igual al flujo neto a través del límite del volumen. ^[3]

declaración matemática

Una región V limitada por la superficie con la superficie normal n ${\displaystyle S=\partial V}$

Supongamos que V es un subconjunto de (en el caso de n = 3, V representa un volumen en el espacio tridimensional ) que es compacto y tiene un límite suave por partes S (también indicado con ). Si F es un campo vectorial continuamente diferenciable definido en una vecindad de V , entonces: ^{[4] [5]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial V=S}$

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\,\mathrm {d} S.}$

El lado izquierdo es una integral de volumen sobre el volumen V y el lado derecho es la integral de superficie sobre el límite del volumen V. El conjunto cerrado y mesurable está orientado por normales que apuntan hacia afuera y es la unidad normal que apunta hacia afuera en casi todos los puntos del límite . ( puede usarse como abreviatura de ). En términos de la descripción intuitiva anterior, el lado izquierdo de la ecuación representa el total de las fuentes en el volumen V , y el lado derecho representa el flujo total a través del límite. S . ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} \mathrm {d} S}$

derivación informal

El teorema de divergencia se deriva del hecho de que si un volumen V se divide en partes separadas, el flujo que sale del volumen original es igual a la suma del flujo que sale de cada volumen componente. ^{[6] [7]} Esto es cierto a pesar del hecho de que los nuevos subvolúmenes tienen superficies que no eran parte de la superficie del volumen original, porque estas superficies son solo particiones entre dos de los subvolúmenes y el flujo a través de ellas simplemente pasa de un volumen a otro. el otro y, por lo tanto, se cancela cuando se suma el flujo de salida de los subvolúmenes.

Un volumen dividido en dos subvolúmenes. A la derecha, los dos subvolúmenes están separados para mostrar el flujo que sale de las diferentes superficies.

Ver el diagrama. Un volumen cerrado y acotado V se divide en dos volúmenes V ₁ y V ₂ por una superficie S ₃ (verde) . El flujo Φ( Vi ) _que sale de cada región componente Vi _es igual a la suma del flujo que pasa por sus dos caras, por lo que la suma del flujo que sale de las dos partes es

${\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}+\Phi _{\text{31}}+\Phi _{\text{2}}+\Phi _{\text{32}}}$

donde Φ ₁ y Φ ₂ son el flujo que sale de las superficies S ₁ y S ₂ , Φ ₃₁ es el flujo a través de S ₃ desde el volumen 1 y Φ ₃₂ es el flujo a través de S ₃ desde el volumen 2. El punto es que la superficie S ₃ forma parte de la superficie de ambos volúmenes. La dirección "hacia afuera" del vector normal es opuesta para cada volumen, por lo que el flujo que sale de uno a través de S ₃ es igual al negativo del flujo que sale del otro. ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

${\displaystyle \Phi _{\text{31}}=\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=-\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot (-\mathbf {\hat {n}} )\;\mathrm {d} S=-\Phi _{\text{32}}}$

entonces estos dos flujos se cancelan en la suma. Por lo tanto

${\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}+\Phi _{\text{2}}}$

Dado que la unión de las superficies S ₁ y S ₂ es S

${\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi (V)}$

El volumen se puede dividir en cualquier número de subvolúmenes y el flujo que sale de V es igual a la suma del flujo que sale de cada subvolumen, porque el flujo a través de las superficies verdes se cancela en la suma. En (b), los volúmenes se muestran ligeramente separados, lo que ilustra que cada partición verde es parte del límite de dos volúmenes adyacentes.

Este principio se aplica a un volumen dividido en cualquier número de partes, como se muestra en el diagrama. ^[7] Dado que la integral sobre cada partición interna (superficies verdes) aparece con signos opuestos en el flujo de los dos volúmenes adyacentes, se cancelan, y la única contribución al flujo es la integral sobre las superficies externas (gris) . Dado que las superficies externas de todos los volúmenes componentes son iguales a la superficie original.

${\displaystyle \Phi (V)=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\Phi (V_{\text{i}})}$

A medida que el volumen se subdivide en partes más pequeñas, la relación entre el flujo que sale de cada volumen y el volumen se aproxima ${\displaystyle \Phi (V_{\text{i}})}$ ${\displaystyle |V_{\text{i}}|}$ ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} }$

El flujo Φ que sale de cada volumen es la integral de superficie del campo vectorial F ( x ) sobre la superficie

${\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S}$

El objetivo es dividir el volumen original en infinitos volúmenes infinitesimales. A medida que el volumen se divide en partes cada vez más pequeñas, la integral de superficie de la derecha, el flujo que sale de cada subvolumen, se acerca a cero porque el área de superficie S ( V _i ) se acerca a cero. Sin embargo, a partir de la definición de divergencia , la relación entre flujo y volumen , la parte entre paréntesis a continuación, en general no desaparece sino que se acerca a la divergencia div F cuando el volumen se acerca a cero. ^[7] ${\displaystyle {\frac {\Phi (V_{\text{i}})}{|V_{\text{i}}|}}={\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S}$

${\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S\right)|V_{\text{i}}|}$

Mientras el campo vectorial F ( x ) tenga derivadas continuas, la suma anterior se mantiene incluso en el límite cuando el volumen se divide en incrementos infinitamente pequeños.

${\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\lim _{|V_{\text{i}}|\to 0}\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S\right)|V_{\text{i}}|}$

A medida que el volumen se aproxima a cero, se convierte en dV infinitesimal , la parte entre paréntesis se convierte en la divergencia y la suma se convierte en una integral de volumen sobre V. ${\displaystyle |V_{\text{i}}|}$

${\displaystyle \;\iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\iiint _{V}\operatorname {div} \mathbf {F} \;\mathrm {d} V\;}$

Dado que esta derivación no tiene coordenadas, muestra que la divergencia no depende de las coordenadas utilizadas.

Pruebas

Para subconjuntos abiertos acotados del espacio euclidiano

Vamos a demostrar lo siguiente: ^{[ cita necesaria ]}

Teorema  :  Sea abierto y acotado con límite. Si está en una vecindad abierta de , es decir, , entonces para cada , ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle u\in C^{1}(O)}$ ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$

$${\displaystyle \int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu _{i}\,dS,}$$

¿Dónde está el vector normal unitario que apunta hacia afuera ? De manera equivalente, ${\displaystyle \nu :\partial \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu \,dS.}$$

Prueba del teorema. ^[8] (1) El primer paso es reducir al caso en el que . Elija tal que en . Tenga en cuenta eso y más . Por tanto, basta con demostrar el teorema de . Por lo tanto podemos suponer que . ${\displaystyle u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(O)}$ ${\displaystyle \phi =1}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle \phi u\in C_{c}^{1}(O)\subset C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \phi u=u}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle \phi u}$ ${\displaystyle u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$

(2) Sea arbitrario. La suposición de que tiene límite significa que hay una vecindad abierta de tal que es la gráfica de una función que se encuentra a un lado de esta gráfica. Más precisamente, esto significa que después de una traslación y rotación de , hay y y una función , tal que con la notación ${\displaystyle x_{0}\in \partial \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial \Omega \cap U}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \Omega \cap U}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle h>0}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle x'=(x_{1},\dots ,x_{n-1}),}$$

$${\displaystyle U=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x'|<r{\text{ and }}|x_{n}-g(x')|<h\}}$$

${\displaystyle x\in U}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}=g(x')&\implies x\in \partial \Omega ,\\-h<x_{n}-g(x')<0&\implies x\in \Omega ,\\0<x_{n}-g(x')<h&\implies x\notin \Omega .\\\end{aligned}}}$$

partición de unidadsoporte ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle U_{1},\dots ,U_{N}}$ ${\displaystyle \{\Omega ,U_{1},\dots ,U_{N}\}}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}=\Omega \cup \partial \Omega }$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U_{j}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle \int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u_{x_{i}}\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{\infty }u_{x_{i}}(x)\,dx_{i}\,dx'=0}$ ${\displaystyle \int _{\partial \Omega }u\nu _{i}\,dS=0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U_{j}}$

(3) Supongamos que tiene soporte compacto en algunos . El último paso ahora es demostrar que el teorema es verdadero mediante cálculo directo. Cambie la notación a e introduzca la notación de (2) utilizada para describir . Tenga en cuenta que esto significa que hemos rotado y traducido . Esta es una reducción válida ya que el teorema es invariante bajo rotaciones y traslaciones de coordenadas. Dado que para y para , tenemos para cada uno que ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U_{j}}$ ${\displaystyle U=U_{j}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u(x)=0}$ ${\displaystyle |x'|\geq r}$ ${\displaystyle |x_{n}-g(x')|\geq h}$ ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV&=\int _{|x'|<r}\int _{g(x')-h}^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle i=n}$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{n}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',g(x'))\,dx'.}$$

${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n-1\}}$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}u_{x_{i}}(x',g(x')+s)\,ds\,dx'}$$

${\displaystyle v:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v(x',s)=u(x',g(x')+s)}$

$${\displaystyle v_{x_{i}}(x',s)=u_{x_{i}}(x',g(x')+s)+u_{x_{n}}(x',g(x')+s)g_{x_{i}}(x').}$$

${\displaystyle v}$ ${\displaystyle dx_{i}}$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}v_{x_{i}}(x',s)\,ds\,dx'=0.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}u_{x_{i}}(x',g(x')+s)\,ds\,dx'&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}-u_{x_{n}}(x',g(x')+s)g_{x_{i}}(x')\,ds\,dx'\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}-u(x',g(x'))g_{x_{i}}(x')\,dx'.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \nabla u=(u_{x_{1}},\dots ,u_{x_{n}})}$

$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}\nabla u\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',g(x'))(-\nabla g(x'),1)\,dx'.}$$

${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x',g(x'))\in \Gamma }$ ${\displaystyle \nu (x',g(x'))={\frac {1}{\sqrt {1+|\nabla g(x')|^{2}}}}(-\nabla g(x'),1)}$ ${\displaystyle dS}$ ${\displaystyle dS={\sqrt {1+|\nabla g(x')|^{2}}}\,dx'}$

$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu \,dS.}$$

Para variedades riemannianas compactas con límite

Vamos a demostrar lo siguiente: ^{[ cita necesaria ]}

Teorema  :  Sea una variedad compacta con límite con tensor métrico . Denotemos el interior múltiple de y denotamos el límite múltiple de . Denotemos productos internos de funciones y denotemos productos internos de vectores. Supongamos que y es un campo vectorial en . Entonces ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle L^{2}({\overline {\Omega }})}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle u\in C^{1}({\overline {\Omega }},\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$

$${\displaystyle (\operatorname {grad} u,X)=-(u,\operatorname {div} X)+\int _{\partial \Omega }u\langle X,N\rangle \,dS,}$$

¿Dónde está el vector normal unitario que apunta hacia afuera a ? ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

Prueba del teorema. ^[9] Usamos la convención de suma de Einstein. Al usar una partición de unidad, podemos asumir que tenemos un soporte compacto en un parche de coordenadas . Primero considere el caso en el que el parche está desunido . Entonces se identifica con un subconjunto abierto de y la integración por partes no produce términos límite: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O\subset {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {grad} u,X)&=\int _{O}\langle \operatorname {grad} u,X\rangle {\sqrt {g}}\,dx\\&=\int _{O}\partial _{j}uX^{j}{\sqrt {g}}\,dx\\&=-\int _{O}u\partial _{j}({\sqrt {g}}X^{j})\,dx\\&=-\int _{O}u{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}({\sqrt {g}}X^{j}){\sqrt {g}}\,dx\\&=(u,-{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}({\sqrt {g}}X^{j}))\\&=(u,-\operatorname {div} X).\end{aligned}}}$$

${\displaystyle -\operatorname {div} }$ ${\displaystyle \operatorname {grad} }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}\geq 0\}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {grad} u,X)&=\int _{O}\langle \operatorname {grad} u,X\rangle {\sqrt {g}}\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} _{+}^{n}}\partial _{j}uX^{j}{\sqrt {g}}\,dx\\&=(u,-\operatorname {div} X)-\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',0)X^{n}(x',0){\sqrt {g(x',0)}}\,dx',\end{aligned}}}$$

teorema de enderezamiento para campos vectoriales ${\displaystyle dx'=dx_{1}\dots dx_{n-1}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$ ${\displaystyle -N}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle {\sqrt {g(x',0)}}\,dx'={\sqrt {g_{\partial \Omega }(x')}}\,dx'=dS}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

$${\displaystyle (\operatorname {grad} u,X)=(u,-\operatorname {div} X)+\int _{\partial \Omega }u\langle X,N\rangle \,dS.}$$

Corolarios

Al reemplazar F en el teorema de la divergencia con formas específicas, se pueden derivar otras identidades útiles (cf. identidades vectoriales ). ^[10]

• Con para una función escalar g y un campo vectorial F , ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} g}$

${\displaystyle \iiint _{V}\left[\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right]\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle g\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

Un caso especial de esto es , en cuyo caso el teorema es la base de las identidades de Green . ${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla f}$

• Con para dos campos vectoriales F y G , donde denota un producto cruzado, ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \times \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \times }$

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right]\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

• Con dos campos vectoriales F y G , donde denota un producto escalar , ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\left(\nabla \mathbf {G} \right)\cdot \mathbf {F} +\left(\nabla \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {G} \right]\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} )\mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

• Con para una función escalar f y un campo vectorial c : ^[11] ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow f\mathbf {c} }$  

${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {c} \cdot \nabla f\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {c} f)\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S-\iiint _{V}f(\nabla \cdot \mathbf {c} )\,\mathrm {d} V.}$

El último término de la derecha desaparece para campos vectoriales constantes o libres de divergencia (solenoidales), por ejemplo, flujos incompresibles sin fuentes ni sumideros, como cambios de fase o reacciones químicas, etc. En particular, si se toma como constante: ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla f\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle f\mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

• Con para campo vectorial F y vector constante c : ^[11] ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {c} \times \mathbf {F} }$

${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {c} \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \times \mathbf {c} )\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

Reordenando el producto triple en el lado derecho y quitando el vector constante de la integral,

${\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V\cdot \mathbf {c} =}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathrm {d} \mathbf {S} \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {c} .}$

Por eso,

${\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \times \mathbf {F} \mathrm {d} S.}$

Ejemplo

El campo vectorial correspondiente al ejemplo mostrado. Los vectores pueden apuntar hacia dentro o fuera de la esfera.

El teorema de divergencia se puede utilizar para calcular un flujo a través de una superficie cerrada que encierra completamente un volumen, como cualquiera de las superficies de la izquierda. No se puede utilizar directamente para calcular el flujo a través de superficies con límites, como las de la derecha. (Las superficies son azules, los límites son rojos).

Supongamos que deseamos evaluar

${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,}$

donde S es la esfera unitaria definida por

${\displaystyle S=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\},}$

y F es el campo vectorial

${\displaystyle \mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .}$

El cálculo directo de esta integral es bastante difícil, pero podemos simplificar la derivación del resultado usando el teorema de la divergencia, porque el teorema de la divergencia dice que la integral es igual a:

${\displaystyle \iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}(1+y+z)\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}\mathrm {d} V+2\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V+2\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V,}$

donde W es la unidad de bola :

${\displaystyle W=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}.}$

Como la función y es positiva en un hemisferio de W y negativa en el otro, de manera igual y opuesta, su integral total sobre W es cero. Lo mismo ocurre con z :

${\displaystyle \iiint _{W}y\,\mathrm {d} V=\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V=0.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S=2\iiint _{W}\,dV={\frac {8\pi }{3}},}$

porque la bola unitaria W tiene volumen 4 π/3.

Aplicaciones

Formas diferenciales e integrales de leyes físicas.

Como resultado del teorema de la divergencia, se pueden escribir una serie de leyes físicas tanto en forma diferencial (donde una cantidad es la divergencia de otra) como en forma integral (donde el flujo de una cantidad a través de una superficie cerrada es igual al de otra). cantidad). Tres ejemplos son la ley de Gauss (en electrostática ), la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Gauss para la gravedad .

Ecuaciones de continuidad

Las ecuaciones de continuidad ofrecen más ejemplos de leyes con formas diferencial e integral, relacionadas entre sí por el teorema de la divergencia. En dinámica de fluidos , electromagnetismo , mecánica cuántica , teoría de la relatividad y varios otros campos, existen ecuaciones de continuidad que describen la conservación de la masa, el momento, la energía, la probabilidad u otras cantidades. Genéricamente, estas ecuaciones establecen que la divergencia del flujo de la cantidad conservada es igual a la distribución de fuentes o sumideros de esa cantidad. El teorema de la divergencia establece que cualquier ecuación de continuidad se puede escribir en forma diferencial (en términos de divergencia) y en forma integral (en términos de flujo). ^[12]

Leyes del cuadrado inverso

En cambio, cualquier ley del cuadrado inverso se puede escribir en forma tipo ley de Gauss (con una forma diferencial e integral, como se describió anteriormente). Dos ejemplos son la ley de Gauss (en electrostática), que se deriva de la ley de Coulomb del cuadrado inverso , y la ley de Gauss para la gravedad , que se deriva de la ley de gravitación universal de Newton del cuadrado inverso . La derivación de la ecuación tipo ley de Gauss a partir de la formulación del cuadrado inverso o viceversa es exactamente la misma en ambos casos; consulte cualquiera de esos artículos para obtener más detalles. ^[12]

Historia

Joseph-Louis Lagrange introdujo la noción de integrales de superficie en 1760 y nuevamente en términos más generales en 1811, en la segunda edición de su Mécanique Analytique . Lagrange empleó integrales de superficie en su trabajo sobre mecánica de fluidos. ^[13] Descubrió el teorema de la divergencia en 1762. ^[14]

Carl Friedrich Gauss también estaba utilizando integrales de superficie mientras trabajaba en la atracción gravitacional de un esferoide elíptico en 1813, cuando demostró casos especiales del teorema de la divergencia. ^{[15] [13]} Demostró casos especiales adicionales en 1833 y 1839. ^[16] Pero fue Mikhail Ostrogradsky , quien dio la primera demostración del teorema general, en 1826, como parte de su investigación del flujo de calor. ^[17] George Green demostró casos especiales en 1828 en Un ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo , ^{[18] [16]} Siméon Denis Poisson en 1824 en un artículo sobre elasticidad, y Frédéric Sarrus en 1828 en su trabajo sobre cuerpos flotantes. ^{[19] [16]}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Para verificar la variante plana del teorema de divergencia para una región : ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}$

y el campo vectorial:

${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=2y\mathbf {i} +5x\mathbf {j} .}$

El límite de es el círculo unitario, que se puede representar paramétricamente mediante: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle x=\cos(s),\quad y=\sin(s)}$

tal que donde unidades es la longitud del arco desde el punto al punto en . Entonces una ecuación vectorial de es ${\displaystyle 0\leq s\leq 2\pi }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C(s)=\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} .}$

En un punto : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle P=(\cos(s),\,\sin(s))\,\Rightarrow \,\mathbf {F} =2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} .}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} s&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} )\cdot (\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} )\,\mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\cos(s)+5\sin(s)\cos(s))\,\mathrm {d} s\\&=7\int _{0}^{2\pi }\sin(s)\cos(s)\,\mathrm {d} s\\&=0.\end{aligned}}}$

Porque podemos evaluar y porque . De este modo ${\displaystyle M={\mathfrak {Re}}(\mathbf {F} )=2y}$ ${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}=0}$ ${\displaystyle N={\mathfrak {Im}}(\mathbf {F} )=5x}$ ${\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial y}}=0}$

${\displaystyle \iint _{R}\,\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} A=\iint _{R}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}+{\frac {\partial N}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A=0.}$

Ejemplo 2

Digamos que queremos evaluar el flujo del siguiente campo vectorial definido por acotado por las siguientes desigualdades: ${\displaystyle \mathbf {F} =2x^{2}{\textbf {i}}+2y^{2}{\textbf {j}}+2z^{2}{\textbf {k}}}$

${\displaystyle \left\{0\leq x\leq 3\right\},\left\{-2\leq y\leq 2\right\},\left\{0\leq z\leq 2\pi \right\}}$

Por el teorema de la divergencia,

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,\mathrm {d} S.}$

Ahora necesitamos determinar la divergencia de . Si es un campo vectorial tridimensional, entonces la divergencia de viene dada por . ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ ${\textstyle \nabla \cdot {\textbf {F}}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\textbf {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\textbf {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\textbf {k}}\right)\cdot {\textbf {F}}}$

Por tanto, podemos establecer la siguiente integral de flujo de la siguiente manera: ${\displaystyle I=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \mathbf {F_{x}} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{y}} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{z}} }{\partial z}}\right)\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\end{aligned}}}$

Ahora que hemos establecido la integral, podemos evaluarla.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V&=\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(12y+12z+18)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }24(2z+3)\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=48\pi (2\pi +3)\end{aligned}}}$

Generalizaciones

Múltiples dimensiones

Se puede utilizar el teorema de Stokes generalizado para equiparar la integral de volumen n -dimensional de la divergencia de un campo vectorial F sobre una región U con la integral de superficie ( n − 1) -dimensional de F sobre el límite de U :

${\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int _{U}} _{n}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\underbrace {\oint _{}\cdots \oint _{\partial U}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}$

Esta ecuación también se conoce como teorema de la divergencia.

Cuando n = 2 , esto es equivalente al teorema de Green .

Cuando n = 1 , se reduce al teorema fundamental del cálculo , parte 2.

Campos tensoriales

Escribiendo el teorema en notación de Einstein :

${\displaystyle \iiint _{V}{\dfrac {\partial \mathbf {F} _{i}}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}n_{i}\,\mathrm {d} S}$

sugerentemente, reemplazando el campo vectorial F con un campo tensorial de rango n T , esto se puede generalizar a: ^[20]

${\displaystyle \iiint _{V}{\dfrac {\partial T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}}{\partial x_{i_{q}}}}\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}n_{i_{q}}\,\mathrm {d} S.}$

donde en cada lado se produce la contracción tensorial durante al menos un índice. Esta forma del teorema todavía está en 3D, cada índice toma los valores 1, 2 y 3. Se puede generalizar aún más a dimensiones superiores (o inferiores) (por ejemplo, al espacio-tiempo 4D en la relatividad general ^[21] ).

Ver también

• Teorema de Kelvin-Stokes

Referencias

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2. RG Lerner ; GL Trigg (1994). Enciclopedia de Física (2ª ed.). VHC. ISBN 978-3-527-26954-9.
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7. Purcell, Edward M.; David J. Morín (2013). Electricidad y magnetismo. Universidad de Cambridge. Prensa. págs. 56–58. ISBN 978-1-107-01402-2.
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11. MathWorld
12. CB Parker (1994). Enciclopedia de Física McGraw Hill (2ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-051400-3.
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14. En su artículo de 1762 sobre el sonido, Lagrange trata un caso especial del teorema de la divergencia: Lagrange (1762) "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" (Nuevas investigaciones sobre la naturaleza y propagación del sonido), Miscellanea Taurinensia (también conocido como: Mélanges de Turin ), 2 : 11 – 172. Este artículo se reimprime como: "Nouvelles recherches sur la Nature et la propagation du son" en: JA Serret, ed., Oeuvres de Lagrange , (París, Francia: Gauthier -Villars, 1867), vol. 1, páginas 151–316; En las páginas 263–265, Lagrange transforma integrales triples en integrales dobles mediante integración por partes.
15. CF Gauss (1813) "Theoria atracciónis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum Methodo nova tractata", Commentationes societatis regiae scientiarium Gottingensis Recentiores , 2 : 355–378; Gauss consideró un caso especial del teorema; consulte las páginas 4, 5 y 6 de su artículo.
16. Katz, Victor (mayo de 1979). "Una historia del teorema de Stokes". Revista Matemáticas . 52 (3): 146-156. doi :10.1080/0025570X.1979.11976770. JSTOR  2690275.
17. Mikhail Ostragradsky presentó su prueba del teorema de la divergencia a la Academia de París en 1826; sin embargo, su obra no fue publicada por la Academia. Regresó a San Petersburgo, Rusia, donde en 1828-1829 leyó el trabajo que había realizado en Francia, en la Academia de San Petersburgo, que publicó su trabajo en forma abreviada en 1831.
    • Su demostración del teorema de la divergencia – "Démonstration d'un théorème du calcul intégral" (Demostración de un teorema de cálculo integral) – que había leído en la Academia de París el 13 de febrero de 1826, fue traducida, en 1965, al ruso junto con con otro artículo suyo. Ver: Юшкевич А.П. (Yushkevich AP) y Антропова В.И. (Antropov VI) (1965) "Неопубликованные работы М.В. Остроградского" (Obras inéditas de MV Ostrogradskii), Историко-математические исследования (Istoriko-Matematicheskie Issledovaniya / Historical- Estudios Matemáticos), 16 : 49–96; consulte la sección titulada: "Остроградский М.В. Доказательство одной теоремы интегрального исчисления" (Ostrogradskii MV Dokazatelstvo odnoy teoremy integralnogo ischislenia / Ostragradsky MV Prueba de un teorema en cálculo integral).
    • M. Ostrogradsky (presentado: 5 de noviembre de 1828; publicado: 1831) "Première note sur la théorie de la chaleur" (Primera nota sobre la teoría del calor) Mémoires de l'Académie impériale des sciences de St. Pétersbourg , serie 6, 1 : 129–133; para obtener una versión abreviada de su demostración del teorema de la divergencia, consulte las páginas 130-131.
    • Victor J. Katz (mayo de 1979) "La historia del teorema de Stokes", archivado el 2 de abril de 2015 en la revista Wayback Machine Mathematics , 52 (3): 146–156; para la demostración de Ostragradsky del teorema de divergencia, véanse las páginas 147-148.
18. George Green, Ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo (Nottingham, Inglaterra: T. Wheelhouse, 1838). En las páginas 10 a 12 aparece una versión del "teorema de la divergencia".
19. Otros de los primeros investigadores que utilizaron alguna forma del teorema de la divergencia incluyen:
    • Poisson (presentado: 2 de febrero de 1824; publicado: 1826) "Mémoire sur la théorie du magnétisme" (Memoria sobre la teoría del magnetismo), Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France , 5 : 247–338; En las páginas 294 a 296, Poisson transforma una integral de volumen (que se utiliza para evaluar una cantidad Q) en una integral de superficie. Para realizar esta transformación, Poisson sigue el mismo procedimiento que se utiliza para demostrar el teorema de la divergencia.
    • Frédéric Sarrus (1828) "Mémoire sur les oscillations des corps flottans" (Memoria sobre las oscilaciones de los cuerpos flotantes), Annales de mathématiques pures et appliquées (Nismes), 19 : 185–211.
20. KF Riley; el diputado Hobson; SJ Bence (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-86153-3.
21. ver por ejemplo: JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. págs. 85–86, §3.5. ISBN
     978-0-7167-0344-0.y R. Penrose (2007). El camino a la realidad . Libros antiguos. ISBN
     978-0-679-77631-4.

enlaces externos

• "Fórmula de Ostrogradski", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Operadores diferenciales y el teorema de la divergencia en MathPages
• El teorema de la divergencia (Gauss) de Nick Bykov, Proyecto de demostraciones Wolfram .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de la divergencia". MundoMatemático .– Este artículo se basó originalmente en el artículo GFDL de PlanetMath en https://web.archive.org/web/20021029094728/http://planetmath.org/encyclopedia/Divergence.html