Transformada wavelet continua

Transformada integral

Transformada wavelet continua de la señal de ruptura de frecuencia. Se utilizó un symplet con cinco momentos de desaparición.

En matemáticas , la transformada wavelet continua ( CWT ) es una herramienta formal (es decir, no numérica) que proporciona una representación sobrecompleta de una señal al permitir que los parámetros de traducción y escala de las wavelets varíen continuamente.

Definición

La transformada wavelet continua de una función a una escala y valor traslacional se expresa mediante la siguiente integral ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R^{+*}} }$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle X_{w}(a,b)={\frac {1}{|a|^{1/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t){\overline {\psi }}\left({\frac {t-b}{a}}\right)\,\mathrm {d} t}$$

donde es una función continua tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia llamada wavelet madre y la línea superior representa la operación del conjugado complejo . El propósito principal de la wavelet madre es proporcionar una función fuente para generar las wavelets hijas que son simplemente las versiones traducidas y escaladas de la wavelet madre. Para recuperar la señal original , se puede explotar la primera transformada wavelet continua inversa. ${\displaystyle \psi (t)}$ ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle x(t)=C_{\psi }^{-1}\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }X_{w}(a,b){\frac {1}{|a|^{1/2}}}{\tilde {\psi }}\left({\frac {t-b}{a}}\right)\,\mathrm {d} b\ {\frac {\mathrm {d} a}{a^{2}}}}$

${\displaystyle {\tilde {\psi }}(t)}$es la doble función de y ${\displaystyle \psi (t)}$

${\displaystyle C_{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\overline {\hat {\psi }}}(\omega ){\hat {\tilde {\psi }}}(\omega )}{|\omega |}}\,\mathrm {d} \omega }$

es una constante admisible, donde hat significa operador de transformada de Fourier. A veces, , entonces la constante admisible se convierte en ${\displaystyle {\tilde {\psi }}(t)=\psi (t)}$

${\displaystyle C_{\psi }=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\left|{\hat {\psi }}(\omega )\right|^{2}}{\left|\omega \right|}}\,\mathrm {d} \omega }$

Tradicionalmente, esta constante se denomina constante admisible de wavelet. Una wavelet cuya constante admisible satisface

${\displaystyle 0<C_{\psi }<\infty }$

Se denomina wavelet admisible. Para recuperar la señal original , se puede aprovechar la segunda transformada wavelet continua inversa. ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi {\overline {\hat {\psi }}}(1)}}\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a^{2}}}X_{w}(a,b)\exp \left(i{\frac {t-b}{a}}\right)\,\mathrm {d} b\ \mathrm {d} a}$

Esta transformación inversa sugiere que una ondícula debería definirse como

${\displaystyle \psi (t)=w(t)\exp(it)}$

donde es una ventana. Una wavelet definida de este tipo puede denominarse wavelet analizador, porque admite el análisis tiempo-frecuencia. No es necesario que se admita una wavelet analizador. ${\displaystyle w(t)}$

Factor de escala

El factor de escala dilata o comprime una señal. Cuando el factor de escala es relativamente bajo, la señal se contrae más, lo que a su vez da como resultado un gráfico resultante más detallado. Sin embargo, el inconveniente es que un factor de escala bajo no dura toda la duración de la señal. Por otro lado, cuando el factor de escala es alto, la señal se estira, lo que significa que el gráfico resultante se presentará con menos detalles. No obstante, normalmente dura toda la duración de la señal. ${\displaystyle a}$

Propiedades de la transformada wavelet continua

En su definición, la transformada wavelet continua es una convolución de la secuencia de datos de entrada con un conjunto de funciones generadas por la wavelet madre. La convolución se puede calcular utilizando un algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT). Normalmente, la salida es una función de valor real, excepto cuando la wavelet madre es compleja. Una wavelet madre compleja convertirá la transformada wavelet continua en una función de valor complejo. El espectro de potencia de la transformada wavelet continua se puede representar mediante . ^{[1] [2]} ${\displaystyle X_{w}(a,b)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{a}}\cdot |X_{w}(a,b)|^{2}}$

Visualización del efecto de cambiar el parámetro de una wavelet de Morlet , que interpola entre la serie temporal original y una transformada de Fourier . Aquí, se analiza un tono modulado en frecuencia (más ruido); se ajusta de 1 a 200, en pasos de la unidad. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 1/\sigma }$

Aplicaciones de la transformada wavelet

Una de las aplicaciones más populares de la transformada wavelet es la compresión de imágenes. La ventaja de utilizar la codificación basada en wavelets en la compresión de imágenes es que proporciona mejoras significativas en la calidad de la imagen con relaciones de compresión más altas que las técnicas convencionales. Dado que la transformada wavelet tiene la capacidad de descomponer información y patrones complejos en formas elementales, se utiliza comúnmente en el procesamiento acústico y el reconocimiento de patrones, pero también se ha propuesto como un estimador de frecuencia instantánea. ^[3] Además, las transformadas wavelet se pueden aplicar a las siguientes áreas de investigación científica: detección de bordes y esquinas, resolución de ecuaciones diferenciales parciales, detección de transitorios, diseño de filtros, análisis de electrocardiogramas (ECG), análisis de texturas, análisis de información comercial y análisis de la marcha. ^[4] Las transformadas wavelet también se pueden utilizar en el análisis de datos de electroencefalografía (EEG) para identificar picos epilépticos resultantes de la epilepsia . ^[5] La transformada wavelet también se ha utilizado con éxito para la interpretación de series temporales de deslizamientos de tierra ^[6] y hundimientos de tierra, ^[7] y para calcular las periodicidades cambiantes de las epidemias. ^[8]

La transformada wavelet continua (CWT) es muy eficiente para determinar la relación de amortiguamiento de señales oscilantes (por ejemplo, identificación de amortiguamiento en sistemas dinámicos). La CWT también es muy resistente al ruido en la señal. ^[9]

Véase también

• Ondícula continua
• Transformación S
• Análisis de tiempo-frecuencia
• Ondícula de Cauchy

Referencias

• ^[10]
• A. Grossmann y J. Morlet, 1984, Descomposición de funciones de Hardy en wavelets cuadrados integrables de forma constante, Soc. Int. Am. Math. (SIAM), J. Math. Analys., 15, 723–736.
• Lintao Liu y Houtse Hsu (2012) "Inversión y normalización de la transformada tiempo-frecuencia" AMIS 6 No. 1S pp. 67S-74S.
• Stéphane Mallat , "Un recorrido wavelet por el procesamiento de señales", 2.ª edición, Academic Press, 1999, ISBN  0-12-466606-X
• Ding, Jian-Jiun (2008), Análisis de tiempo-frecuencia y transformada wavelet, consultado el 19 de enero de 2008
• Polikar, Robi (2001), The Wavelet Tutorial, consultado el 19 de enero de 2008
• WaveMetrics (2004), Análisis de frecuencia de tiempo, consultado el 18 de enero de 2008
• Valens, Clemens (2004), A Really Friendly Guide to Wavelets, consultado el 18 de septiembre de 2018]
• Transformada Wavelet Continua de Mathematica
• Lewalle, Jacques: Transformada wavelet continua ^{[ enlace muerto permanente ]} , consultado el 6 de febrero de 2010

1. Torrence, Christopher; Compo, Gilbert (1998). "Una guía práctica para el análisis wavelet". Boletín de la Sociedad Meteorológica Americana . 79 (1): 61–78. Bibcode :1998BAMS...79...61T. doi : 10.1175/1520-0477(1998)079<0061:APGTWA>2.0.CO;2 . S2CID  14928780.
2. Liu, Yonggang (diciembre de 2007). "Rectificación del sesgo en el espectro de potencia wavelet". Revista de tecnología atmosférica y oceánica . 24 (12): 2093–2102. Código Bibliográfico :2007JAtOT..24.2093L. doi : 10.1175/2007JTECHO511.1 .
3. Sejdic, E.; Djurovic, I.; Stankovic, L. (agosto de 2008). "Análisis cuantitativo del rendimiento del escalograma como estimador de frecuencia instantánea". IEEE Transactions on Signal Processing . 56 (8): 3837–3845. Bibcode :2008ITSP...56.3837S. doi :10.1109/TSP.2008.924856. ISSN  1053-587X. S2CID  16396084.
4. "Nuevo método para la estimación de la longitud de la zancada con acelerómetros de red de área corporal", IEEE BioWireless 2011 , págs. 79-82
5. Iranmanesh, Saam; Rodriguez-Villegas, Esther (2017). "Un chip de reducción de datos analógico de 950 nW para sistemas de EEG portátiles en epilepsia". IEEE Journal of Solid-State Circuits . 52 (9): 2362–2373. Bibcode :2017IJSSC..52.2362I. doi :10.1109/JSSC.2017.2720636. hdl : 10044/1/48764 . S2CID  24852887.
6. Tomás, R.; Li, Z.; López-Sánchez, JM; Liu, P.; Singleton, A. (1 de junio de 2016). "Uso de herramientas wavelet para analizar variaciones estacionales a partir de datos de series temporales de InSAR: un estudio de caso del deslizamiento de tierra de Huangtupo" (PDF) . Deslizamientos de tierra . 13 (3): 437–450. Código Bib :2016Tierras..13..437T. doi :10.1007/s10346-015-0589-y. hdl : 10045/62160 . ISSN  1612-510X. S2CID  129736286.
7. Tomás, Roberto; Pastor, José Luis; Béjar-Pizarro, Marta; Bonì, Roberta; Ezquerro, Pablo; Fernández-Merodo, José Antonio; Guardiola-Albert, Carolina; Herrera, Gerardo; Meisina, Claudia; Teatini, Pietro; Zucca, Francisco; Zoccarato, Claudia; Franceschini, Andrea (22 de abril de 2020). "Análisis de wavelets de series temporales de subsidencia del terreno: estudio de caso del acuífero terciario de Madrid". Actas de la Asociación Internacional de Ciencias Hidrológicas . 382 : 353–359. Código Bib : 2020PIAHS.382..353T. doi : 10.5194/piahs-382-353-2020 . ISSN  2199-899X.
8. von Csefalvay, Chris (2023), "Dinámica temporal de las epidemias", Modelado computacional de enfermedades infecciosas , Elsevier, págs. 217-255, doi :10.1016/b978-0-32-395389-4.00016-5, ISBN 978-0-323-95389-4, consultado el 27 de febrero de 2023
9. Slavic, J y Simonovski, I y M. Boltezar, Identificación de amortiguamiento utilizando una transformada wavelet continua: aplicación a datos reales
10. Prasad, Akhilesh; Maan, Jeetendrasingh; Verma, Sandeep Kumar (2021). "Transformadas wavelet asociadas con la transformada de índice de Whittaker". Métodos matemáticos en las ciencias aplicadas . 44 (13): 10734–10752. Bibcode :2021MMAS...4410734P. doi :10.1002/mma.7440. ISSN  1099-1476. S2CID  235556542.

Enlaces externos

• Wavelets: un microscopio matemático en YouTube