Esferoide

Superficie formada al rotar una elipse

Un esferoide , también conocido como elipsoide de revolución o elipsoide rotacional , es una superficie cuádrica que se obtiene al rotar una elipse alrededor de uno de sus ejes principales; es decir, un elipsoide con dos semidiámetros iguales . Un esferoide tiene simetría circular .

Si la elipse se gira sobre su eje mayor , el resultado es un esferoide alargado , alargado como una pelota de rugby . El balón de fútbol americano es similar, pero tiene un extremo más puntiagudo que el de un esferoide. Si la elipse se gira sobre su eje menor , el resultado es un esferoide achatado , aplanado como una lenteja o un M&M simple . Si la elipse generadora es un círculo, el resultado es una esfera .

Debido a los efectos combinados de la gravedad y la rotación , la figura de la Tierra (y de todos los planetas ) no es exactamente una esfera, sino que está ligeramente aplanada en la dirección de su eje de rotación. Por esa razón, en cartografía y geodesia la Tierra se suele aproximar mediante un esferoide achatado, conocido como elipsoide de referencia , en lugar de una esfera. El modelo actual del Sistema Geodésico Mundial utiliza un esferoide cuyo radio es de 6.378,137 km (3.963,191 mi) en el Ecuador y de 6.356,752 km (3.949,903 mi) en los polos .

La palabra esferoide originalmente significaba "un cuerpo aproximadamente esférico", que admitía irregularidades incluso más allá de la forma elipsoidal biaxial o triaxial; así es como se usa el término en algunos artículos antiguos sobre geodesia (por ejemplo, refiriéndose a las expansiones armónicas esféricas truncadas del modelo geopotencial de gravedad de la Tierra ). ^[1]

Ecuación

Asignación de semiejes en un esferoide. Es achatado si c < a (izquierda) y achatado si c > a (derecha).

La ecuación de un elipsoide triaxial centrado en el origen con semiejes a , b y c alineados a lo largo de los ejes de coordenadas es

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}$

La ecuación de un esferoide con z como eje de simetría se da estableciendo a = b :

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}$

El semieje a es el radio ecuatorial del esferoide y c es la distancia del centro al polo a lo largo del eje de simetría. Existen dos casos posibles:

• c < a : esferoide oblato
• c > a : esferoide alargado

El caso de a = c se reduce a una esfera.

Propiedades

Área

Un esferoide oblato con c < a tiene área de superficie

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\operatorname {arctanh} e\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {c^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right)\qquad {\mbox{where}}\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}.}$

El esferoide oblato se genera por rotación alrededor del eje z de una elipse con semieje mayor a y semieje menor c , por lo tanto, e puede identificarse como la excentricidad . (Ver elipse ). ^[2]

Un esferoide alargado con c > a tiene área de superficie

${\displaystyle S_{\text{prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin \,e\right)\qquad {\mbox{where}}\quad e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}.}$

El esferoide alargado se genera por rotación alrededor del eje z de una elipse con semieje mayor c y semieje menor a ; por lo tanto, e puede identificarse nuevamente como la excentricidad . (Ver elipse .) ^[3]

Estas fórmulas son idénticas en el sentido de que la fórmula para S _oblata se puede utilizar para calcular el área de superficie de un esferoide alargado y viceversa. Sin embargo, e se vuelve imaginario y ya no se puede identificar directamente con la excentricidad. Ambos resultados se pueden expresar en muchas otras formas utilizando identidades matemáticas estándar y relaciones entre parámetros de la elipse.

Volumen

El volumen dentro de un esferoide (de cualquier tipo) es

${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\approx 4.19a^{2}c.}$

Si A = 2 a es el diámetro ecuatorial y C = 2 c es el diámetro polar, el volumen es

${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}A^{2}C\approx 0.523A^{2}C.}$

Curvatura

Sea un esferoide parametrizado como

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\beta ,\lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,a\cos \beta \sin \lambda ,c\sin \beta ),}$

donde β es la latitud reducida o latitud paramétrica , λ es la longitud y − ⁠π/2⁠ < β < + ⁠π/2⁠ y −π < λ < +π . Entonces, la curvatura gaussiana del esferoidees

${\displaystyle K(\beta ,\lambda )={\frac {c^{2}}{\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{2}}},}$

y su curvatura media es

${\displaystyle H(\beta ,\lambda )={\frac {c\left(2a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)}{2a\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

Ambas curvaturas son siempre positivas, de modo que cada punto de un esferoide es elíptico.

Relación de aspecto

La relación de aspecto de un esferoide/elipse oblato, c  : a , es la relación entre las longitudes polar y ecuatorial, mientras que el aplanamiento (también llamado oblato ) f , es la relación entre la diferencia de longitud ecuatorial-polar y la longitud ecuatorial:

${\displaystyle f={\frac {a-c}{a}}=1-{\frac {c}{a}}.}$

La primera excentricidad (normalmente simplemente excentricidad, como se indicó anteriormente) se utiliza a menudo en lugar del aplanamiento. ^[4] Se define por:

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}$

Las relaciones entre excentricidad y aplanamiento son:

${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\sqrt {2f-f^{2}}}\\f&=1-{\sqrt {1-e^{2}}}\end{aligned}}}$

Todos los elipsoides geodésicos modernos se definen por el semieje mayor más el semieje menor (que da la relación de aspecto), el aplanamiento o la primera excentricidad. Si bien estas definiciones son matemáticamente intercambiables, los cálculos del mundo real deben perder algo de precisión. Para evitar confusiones, una definición elipsoidal considera que sus propios valores son exactos en la forma que proporciona.

Ocurrencia y aplicaciones

Las formas más comunes para la distribución de densidad de protones y neutrones en un núcleo atómico son esférica , alargada y esferoidal achatada, donde se supone que el eje polar es el eje de espín (o la dirección del vector de momento angular de espín ). Las formas nucleares deformadas se producen como resultado de la competencia entre la repulsión electromagnética entre protones, la tensión superficial y los efectos de capa cuántica .

Los esferoides son comunes en los cultivos celulares en 3D . Los esferoides de equilibrio rotatorio incluyen el esferoide de Maclaurin y el elipsoide de Jacobi . El esferoide también es una forma de los artefactos arqueológicos.

Esferoides oblatos

El planeta Júpiter es un esferoide ligeramente achatado con un aplanamiento de 0,06487

El esferoide achatado es la forma aproximada de los planetas en rotación y otros cuerpos celestes , incluidos la Tierra, Saturno , Júpiter y la estrella Altair , que gira rápidamente . Saturno es el planeta más achatado del Sistema Solar , con un achatamiento de 0,09796. Consulte achatamiento planetario y abultamiento ecuatorial para obtener más detalles.

El científico de la Ilustración Isaac Newton , trabajando a partir de los experimentos de péndulo de Jean Richer y las teorías de Christiaan Huygens para su interpretación, razonó que Júpiter y la Tierra son esferoides achatados debido a su fuerza centrífuga . ^{[5] [6]} Los diversos sistemas cartográficos y geodésicos de la Tierra se basan en elipsoides de referencia , todos ellos achatados.

Esferoides alargados

Una pelota de rugby .

El esferoide alargado es la forma aproximada del balón en varios deportes, como por ejemplo en el rugby .

Varias lunas del Sistema Solar tienen una forma que se aproxima a la de un esferoide alargado, aunque en realidad son elipsoides triaxiales . Algunos ejemplos son los satélites de Saturno , Mimas , Encélado y Tetis , y el satélite de Urano , Miranda .

A diferencia de la distorsión en esferoides achatados por la rotación rápida, los objetos celestes se distorsionan ligeramente en esferoides alargados por las fuerzas de marea cuando orbitan un cuerpo masivo en una órbita cercana. El ejemplo más extremo es la luna de Júpiter, Ío , que se vuelve ligeramente más o menos alargada en su órbita debido a una ligera excentricidad, lo que provoca un intenso vulcanismo . El eje mayor del esferoide alargado no pasa por los polos del satélite en este caso, sino por los dos puntos de su ecuador que miran directamente hacia y desde el primario. Esto se combina con la distorsión achatada más pequeña de la rotación sincrónica para hacer que el cuerpo se vuelva triaxial.

El término también se utiliza para describir la forma de algunas nebulosas como la Nebulosa del Cangrejo . ^[7] Las zonas de Fresnel , utilizadas para analizar la propagación de ondas y la interferencia en el espacio, son una serie de esferoides alargados concéntricos con ejes principales alineados a lo largo de la línea de visión directa entre un transmisor y un receptor.

Los núcleos atómicos de los elementos actínidos y lantánidos tienen forma de esferoides alargados. ^[8] En anatomía, los órganos casi esferoides como los testículos pueden medirse por sus ejes largo y corto . ^[9]

Muchos submarinos tienen una forma que puede describirse como esferoide alargado. ^[10]

Propiedades dinámicas

Para un esferoide que tiene densidad uniforme, el momento de inercia es el de un elipsoide con un eje adicional de simetría. Dada una descripción de un esferoide que tiene un eje mayor c y ejes menores a = b , los momentos de inercia a lo largo de estos ejes principales son C , A y B. Sin embargo, en un esferoide los ejes menores son simétricos. Por lo tanto, nuestros términos inerciales a lo largo de los ejes mayores son: ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}A=B&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+c^{2}\right),\\C&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+b^{2}\right)={\tfrac {2}{5}}M\left(a^{2}\right),\end{aligned}}}$

donde M es la masa del cuerpo definida como

${\displaystyle M={\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\rho .}$

Véase también

• Cúpula elipsoidal
• Protuberancia ecuatorial
• Gran elipse
• Lentoide
• Coordenadas esferoidales oblatas
• Ovoide
• Coordenadas esferoidales alargadas
• Rotación de ejes
• Traducción de ejes

Referencias

1. Torge, Wolfgang (2001). Geodesia (3.ª ed.). Walter de Gruyter . pág. 104. ISBN 9783110170726.
2. Se puede encontrar una derivación de este resultado en "Oblate Spheroid - from Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com . Consultado el 24 de junio de 2014 .
3. Se puede encontrar una derivación de este resultado en "Prolate Spheroid - from Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 7 de octubre de 2003. Consultado el 24 de junio de 2014 .
4. Brial P., Shaalan C. (2009), Introducción a la geodésie et au geopositionnement par satélites, p.8
5. Greenburg, John L. (1995). "Isaac Newton y el problema de la forma de la Tierra". Historia de las ciencias exactas . 49 (4). Springer: 371–391. doi :10.1007/BF00374704. JSTOR  41134011. S2CID  121268606.
6. Durant, Will; Durant, Ariel (28 de julio de 1997). La historia de la civilización: la era de Luis XIV . MJF Books. ISBN 1567310192.
7. Trimble, Virginia Louise (octubre de 1973), "La distancia a la Nebulosa del Cangrejo y NP 0532", Publications of the Astronomical Society of the Pacific , 85 (507): 579, Bibcode :1973PASP...85..579T, doi : 10.1086/129507
8. "Fisión nuclear - Teoría de la fisión". Enciclopedia Británica .
9. Página 559 en: John Pellerito, Joseph F Polak (2012). Introducción a la ecografía vascular (6.ª ed.). Elsevier Health Sciences. ISBN 9781455737666.
10. "¿Qué tienen en común un submarino, un cohete y un balón de fútbol?". Scientific American . 8 de noviembre de 2010. Consultado el 13 de junio de 2015 .
11. Weisstein, Eric W. "Spheroid". MathWorld--A Wolfram Web Resource . Consultado el 16 de mayo de 2018 .

Enlaces externos

• Medios relacionados con Esferoides en Wikimedia Commons
• "Esferoide"  . Encyclopædia Britannica (11ª ed.). 1911.