stringtranslate.com

Objeto matemático

Un objeto matemático es un concepto abstracto que surge en matemáticas . [1] Normalmente, un objeto matemático puede ser un valor que se puede asignar a una variable y, por lo tanto, puede estar involucrado en fórmulas . Los objetos matemáticos que se encuentran comúnmente incluyen números , conjuntos , funciones , expresiones , objetos geométricos , transformaciones de otros objetos matemáticos y espacios . Los objetos matemáticos pueden ser muy complejos; por ejemplo, los teoremas , las demostraciones e incluso las teorías se consideran objetos matemáticos en la teoría de la demostración .

En filosofía de las matemáticas

Naturaleza de los objetos matemáticos

En Filosofía de las matemáticas , el concepto de " objetos " toca temas de existencia , identidad y naturaleza de la realidad . [2] En metafísica , los objetos a menudo se consideran entidades que poseen propiedades y pueden estar en diversas relaciones entre sí. [3] Los filósofos debaten si los objetos tienen una existencia independiente fuera del pensamiento humano ( realismo ), o si su existencia depende de construcciones mentales o del lenguaje ( idealismo y nominalismo ). Los objetos pueden variar desde lo concreto , como los objetos físicos en el mundo, hasta lo abstracto , y es en este último donde generalmente se encuentran los objetos matemáticos. Lo que constituye un "objeto" es fundamental para muchas áreas de la filosofía, desde la ontología (el estudio del ser) hasta la epistemología (el estudio del conocimiento). En matemáticas, los objetos a menudo se ven como entidades que existen independientemente del mundo físico , lo que plantea preguntas sobre su estado ontológico. [4] [5] Hay distintas escuelas de pensamiento que ofrecen diferentes perspectivas sobre el tema, y ​​muchos matemáticos y filósofos famosos tienen opiniones diferentes sobre cuál es más correcta. [6]

Indispensabilidad de Quine-Putnam

La indispensabilidad de Quine-Putnam es un argumento a favor de la existencia de objetos matemáticos basado en su eficacia irrazonable en las ciencias naturales . Cada rama de la ciencia se basa en gran medida en áreas grandes y a menudo muy diferentes de las matemáticas. Desde el uso de los espacios de Hilbert en la física en la mecánica cuántica y la geometría diferencial en la relatividad general hasta el uso de la teoría del caos y la combinatoria en la biología (véase biología matemática ), las matemáticas no sólo ayudan con las predicciones , sino que permiten que estas áreas tengan un lenguaje elegante para expresar estas ideas. Además, es difícil imaginar cómo áreas como la mecánica cuántica y la relatividad general podrían haberse desarrollado sin la ayuda de las matemáticas y, por lo tanto, se podría argumentar que las matemáticas son indispensables para estas teorías. Es debido a esta eficacia irrazonable e indispensabilidad de las matemáticas que los filósofos Willard Quine y Hilary Putnam argumentan que deberíamos creer que los objetos matemáticos de los que dependen estas teorías realmente existen, es decir, deberíamos tener un compromiso ontológico con ellos. El argumento se describe mediante el siguiente silogismo : [7]

( Premisa 1) Debemos tener un compromiso ontológico con todas y sólo las entidades que son indispensables para nuestras mejores teorías científicas.

(Premisa 2) Las entidades matemáticas son indispensables para nuestras mejores teorías científicas.

( Conclusión ) Deberíamos tener un compromiso ontológico con las entidades matemáticas.

Este argumento resuena con una filosofía en matemáticas aplicadas llamada naturalismo [8] (o a veces predicativismo) [9] que establece que los únicos estándares autorizados sobre la existencia son los de la ciencia .

Escuelas de pensamiento

platonismo

Platón representado en La Escuela de Atenas de Rafael Sanzio

El platonismo afirma que los objetos matemáticos son vistos como entidades reales y abstractas que existen independientemente del pensamiento humano , a menudo en algún reino platónico . Así como existen objetos físicos como los electrones y los planetas , también existen los números y los conjuntos. Y así como las afirmaciones sobre los electrones y los planetas son verdaderas o falsas en función de que estos objetos contengan propiedades perfectamente objetivas , también lo son las afirmaciones sobre los números y los conjuntos. Los matemáticos descubren estos objetos en lugar de inventarlos. [10] [11] (Véase también: Platonismo matemático )

Algunos platónicos notables incluyen:

Nominalismo

El nominalismo niega la existencia independiente de los objetos matemáticos. En cambio, sugiere que son meras ficciones convenientes o abreviaturas para describir relaciones y estructuras dentro de nuestro lenguaje y teorías. Según esta perspectiva, los objetos matemáticos no tienen una existencia más allá de los símbolos y conceptos que utilizamos. [13] [14]

Algunos nominalistas notables incluyen:

Logicismo

El logicismo afirma que todas las verdades matemáticas pueden reducirse a verdades lógicas , y que todos los objetos que forman el objeto de estudio de esas ramas de las matemáticas son objetos lógicos. En otras palabras, las matemáticas son fundamentalmente una rama de la lógica , y todos los conceptos, teoremas y verdades matemáticas pueden derivarse de principios y definiciones puramente lógicas. El logicismo enfrentó desafíos, particularmente con los axiomas russilianos, el axioma multiplicativo (ahora llamado axioma de elección ) y su axioma de infinito , y más tarde con el descubrimiento de los teoremas de incompletitud de Gödel , que mostraron que cualquier sistema formal suficientemente poderoso (como los utilizados para expresar la aritmética ) no puede ser completo y consistente . Esto significaba que no todas las verdades matemáticas podían derivarse puramente de un sistema lógico, lo que socavaba el programa logicista. [16]

Algunos logicistas notables incluyen:

Formalismo

El formalismo matemático trata los objetos como símbolos dentro de un sistema formal . El enfoque se centra en la manipulación de estos símbolos según reglas específicas, más que en los objetos mismos. Una comprensión común del formalismo considera que las matemáticas no son un cuerpo de proposiciones que representan una parte abstracta de la realidad, sino que se asemejan más a un juego, que no conlleva un compromiso ontológico de objetos o propiedades mayor que el de jugar al parchís o al ajedrez . En esta perspectiva, las matemáticas tratan de la consistencia de los sistemas formales, más que del descubrimiento de objetos preexistentes. Algunos filósofos consideran que el logicismo es un tipo de formalismo. [19]

Algunos formalistas notables incluyen:

Constructivismo

El constructivismo matemático afirma que es necesario encontrar (o "construir") un ejemplo específico de un objeto matemático para probar que existe un ejemplo. En contraste, en las matemáticas clásicas, uno puede probar la existencia de un objeto matemático sin "encontrar" ese objeto explícitamente, asumiendo su no existencia y luego derivando una contradicción de esa suposición. Tal prueba por contradicción podría llamarse no constructiva, y un constructivista podría rechazarla. El punto de vista constructivista implica una interpretación verificacional del cuantificador existencial , que está en desacuerdo con su interpretación clásica. [22] Hay muchas formas de constructivismo. [23] Estas incluyen el programa del intuicionismo fundado por Brouwer , el finitismo de Hilbert y Bernays , las matemáticas recursivas constructivas de los matemáticos Shanin y Markov , y el programa de análisis constructivo de Bishop . [24] El constructivismo también incluye el estudio de teorías de conjuntos constructivos como la teoría constructivista de Zermelo-Fraenkel y el estudio de la filosofía.

Estructuralismo

El estructuralismo sugiere que los objetos matemáticos se definen por su lugar dentro de una estructura o sistema. La naturaleza de un número, por ejemplo, no está ligada a ninguna cosa en particular, sino a su papel dentro del sistema de la aritmética . En cierto sentido, la tesis es que los objetos matemáticos (si existen tales objetos) simplemente no tienen naturaleza intrínseca. [25] [26]

Algunos estructuralistas notables incluyen:

Objetos versus asignaciones

En matemáticas, un mapa o mapeo es una función en sentido general; aquí como en la asociación de cualquiera de las cuatro formas coloreadas en X con su color en Y. [28]

Frege distinguió entre funciones y objetos . [29] Según su punto de vista, una función es un tipo de entidad "incompleta" que asigna argumentos a valores y se denota por una expresión incompleta, mientras que un objeto es una entidad "completa" y puede denotarse por un término singular. Frege redujo las propiedades y relaciones a funciones y, por lo tanto, estas entidades no se incluyen entre los objetos. Algunos autores hacen uso de la noción de "objeto" de Frege cuando discuten objetos abstractos. [30] Pero aunque el sentido de "objeto" de Frege es importante, no es la única forma de usar el término. Otros filósofos incluyen propiedades y relaciones entre los objetos abstractos. Y cuando el contexto de fondo para discutir objetos es la teoría de tipos , las propiedades y relaciones de tipo superior (por ejemplo, propiedades de propiedades y propiedades de relaciones) pueden considerarse todas "objetos". Este último uso de "objeto" es intercambiable con "entidad". Es esta interpretación más amplia a la que se refieren los matemáticos cuando usan el término "objeto". [31]

Véase también

Referencias

Fuentes citadas

  1. ^ Oxford English Dictionary , sv “Matemático (adj.), sentido 2”, septiembre de 2024. " Que designa o se relaciona con objetos aprehendidos no por la percepción sensorial sino por el pensamiento o la abstracción ".
  2. ^ Rettler, Bradley; Bailey, Andrew M. (2024), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Object", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de verano de 2024), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 28 de agosto de 2024
  3. ^ Carroll, John W.; Markosian, Ned (2010). Introducción a la metafísica . Cambridge Introductions to Philosophy (1.ª edición). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82629-7.
  4. ^ Burgess, John y Rosen, Gideon, 1997. Un sujeto sin objeto: estrategias para la reconstrucción nominalista de las matemáticas . Oxford University Press . ISBN 0198236158 
  5. ^ Falguera, José L.; Martínez-Vidal, Concha; Rosen, Gideon (2022), Zalta, Edward N. (ed.), "Abstract Objects", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de verano de 2022), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 28 de agosto de 2024
  6. ^ Horsten, Leon (2023), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Filosofía de las matemáticas", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2023), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 29 de agosto de 2024
  7. ^ Colyvan, Mark (2024), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Argumentos de indispensabilidad en la filosofía de las matemáticas", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de verano de 2024), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 28 de agosto de 2024
  8. ^ Paseau, Alexander (2016), Zalta, Edward N. (ed.), "Naturalismo en la filosofía de las matemáticas", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2016), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 28 de agosto de 2024
  9. ^ Horsten, Leon (2023), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Filosofía de las matemáticas", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2023), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 28 de agosto de 2024
  10. ^ Linnebo, Øystein (2024), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Platonism in the Philosophy of Mathematics", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de verano de 2024), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 27 de agosto de 2024
  11. ^ "Platonismo matemático | Enciclopedia de filosofía en Internet" . Consultado el 28 de agosto de 2024 .
  12. ^ Roibu, Tib (11 de julio de 2023). "Sir Roger Penrose". Geometry Matters . Consultado el 27 de agosto de 2024 .
  13. ^ Bueno, Otávio (2020), Zalta, Edward N. (ed.), "Nominalism in the Philosophy of Mathematics", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de otoño de 2020), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 27 de agosto de 2024
  14. ^ "Nominalismo matemático | Enciclopedia de filosofía en Internet" . Consultado el 28 de agosto de 2024 .
  15. ^ Field, Hartry (27 de octubre de 2016). Ciencia sin números. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-877791-5.
  16. ^ Tennant, Neil (2023), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Logicism and Neologicism", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2023), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 27 de agosto de 2024
  17. ^ "Frege, Gottlob | Enciclopedia de Filosofía en Internet" . Consultado el 29 de agosto de 2024 .
  18. ^ Glock, HJ (2008). ¿Qué es la filosofía analítica?. Cambridge University Press. pág. 1. ISBN 978-0-521-87267-6. Consultado el 28 de agosto de 2023 .
  19. ^ Weir, Alan (2024), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Formalismo en la filosofía de las matemáticas", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de primavera de 2024), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 28 de agosto de 2024
  20. ^ Simons, Peter (2009). "Formalismo". Filosofía de las matemáticas. Elsevier. pág. 292. ISBN 9780080930589.
  21. ^ Bell, John L.; Korté, Herbert (2024), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Hermann Weyl", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de verano de 2024), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 28 de agosto de 2024
  22. ^ Bridges, Douglas; Palmgren, Erik; Ishihara, Hajime (2022), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Constructive Mathematics", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de otoño de 2022), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 28 de agosto de 2024
  23. ^ Troelstra, Anne Sjerp (1977a). "Aspectos de las matemáticas constructivas". Manual de lógica matemática . 90 : 973–1052. doi :10.1016/S0049-237X(08)71127-3
  24. ^ Bishop, Errett (1967). Fundamentos del análisis constructivo . Nueva York: Academic Press. ISBN 4-87187-714-0.
  25. ^ "Estructuralismo matemático | Enciclopedia de filosofía en Internet" . Consultado el 28 de agosto de 2024 .
  26. ^ Reck, Erich; Schiemer, Georg (2023), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "El estructuralismo en la filosofía de las matemáticas", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de primavera de 2023), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 28 de agosto de 2024
  27. ^ Filosofía de las matemáticas: estructura y ontología . Oxford University Press, 1997. ISBN 0-19-513930-5
  28. ^ Halmos, Paul R. (1974). Teoría de conjuntos ingenua. Textos de pregrado en matemáticas. Nueva York: Springer-Verlag. pag. 30.ISBN​ 978-0-387-90092-6.
  29. ^ Marshall, William (1953). "Teoría de funciones y objetos de Frege". The Philosophical Review . 62 (3): 374–390. doi :10.2307/2182877. ISSN  0031-8108.
  30. ^ Hale, Bob, "Objetos abstractos", Routledge Encyclopedia of Philosophy , Londres: Routledge , consultado el 28 de agosto de 2024
  31. ^ Falguera, José L.; Martínez-Vidal, Concha; Rosen, Gideon (2022), Zalta, Edward N. (ed.), "Abstract Objects", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de verano de 2022), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 28 de agosto de 2024

Lectura adicional

Enlaces externos