Objeto matemático adicional
En matemáticas , una estructura es un conjunto provisto de algunas características adicionales sobre el conjunto (por ejemplo, una operación , relación , métrica o topología ). A menudo, las características adicionales están adjuntas o relacionadas con el conjunto, para proporcionarle algún significado o importancia adicional.
Una lista parcial de estructuras posibles son medidas , estructuras algebraicas ( grupos , campos , etc.), topologías , estructuras métricas ( geometrías ), órdenes , gráficas , eventos , relaciones de equivalencia , estructuras diferenciales y categorías .
A veces, un conjunto está dotado de más de una característica simultáneamente, lo que permite a los matemáticos estudiar más ricamente la interacción entre las diferentes estructuras. Por ejemplo, un ordenamiento impone una forma o topología rígida al conjunto, y si un conjunto tiene tanto una característica topológica como una característica de grupo, de manera que estas dos características están relacionadas de cierta manera, entonces la estructura se convierte en una estructura topológica . grupo . [1]
Las asignaciones entre conjuntos que preservan estructuras (es decir, las estructuras en el dominio se asignan a estructuras equivalentes en el codominio ) son de especial interés en muchos campos de las matemáticas. Ejemplos de ello son los homomorfismos , que preservan las estructuras algebraicas; homeomorfismos , que preservan las estructuras topológicas; [2] y difeomorfismos , que preservan estructuras diferenciales.
Historia
En 1939, el grupo francés con el seudónimo de Nicolas Bourbaki vio las estructuras como la raíz de las matemáticas. Los mencionaron por primera vez en su "Fascículo" de Teoría de conjuntos y lo ampliaron al Capítulo IV de la edición de 1957. [3] Identificaron tres estructuras madre : algebraica, topológica y de orden. [3] [4]
Ejemplo: los números reales
El conjunto de los números reales tiene varias estructuras estándar:
- Un orden: cada número es menor o mayor que cualquier otro número.
- Estructura algebraica: existen operaciones de suma y multiplicación, la primera de las cuales forma un grupo y el par de las cuales juntas forman un cuerpo .
- Una medida: los intervalos de la recta real tienen una longitud determinada , que puede extenderse a la medida de Lebesgue en muchos de sus subconjuntos .
- Una métrica: existe una noción de distancia entre puntos.
- Una geometría: está dotada de una métrica y es plana .
- Una topología: existe una noción de conjuntos abiertos .
Hay interfaces entre estas:
- Su orden e, independientemente, su estructura métrica inducen su topología.
- Su orden y estructura algebraica lo convierten en un campo ordenado .
- Su estructura algebraica y topología lo convierten en un grupo de Lie , un tipo de grupo topológico .
Ver también
Referencias
- ^ Saunders, Mac Lane (1996). «Estructura en Matemáticas» (PDF) . Filosofía1A Matemática1Ca . 4 (3): 176.
- ^ Christiansen, Jacob Stordal (2015). «Estructuras matemáticas» (PDF) . matemáticas.lth.se . Consultado el 9 de diciembre de 2019 .
- ^ ab Corry, Leo (septiembre de 1992). "Nicolas Bourbaki y el concepto de estructura matemática". Síntesis . 92 (3): 315–348. doi :10.1007/bf00414286. JSTOR 20117057. S2CID 16981077.
- ^ Wells, Richard B. (2010). Procesamiento de señales biológicas y neurociencia computacional (PDF) . págs. 296–335 . Consultado el 7 de abril de 2016 .
Otras lecturas
- Foldes, Stephan (1994). Estructuras fundamentales de Álgebra y Matemática Discreta . Hoboken: John Wiley e hijos. ISBN 9781118031438.
- Hegedus, Stephen John; Moreno-Armella, Luis (2011). "El surgimiento de estructuras matemáticas". Estudios Educativos en Matemáticas . 77 (2): 369–388. doi :10.1007/s10649-010-9297-7. S2CID 119981368.
- Kolman, Bernardo; Busby, Robert C.; Ross, Sharon Cutler (2000). Estructuras matemáticas discretas (4ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-083143-9.
- Malik, DS; Sen, MK (2004). Estructuras matemáticas discretas: teoría y aplicaciones . Australia: Thomson/Course Technology. ISBN 978-0-619-21558-3.
- Pudlák, Pavel (2013). "Mathematical structures". Logical foundations of mathematics and computational complexity a gentle introduction. Cham: Springer. pp. 2–24. ISBN 9783319001197.
- Senechal, M. (21 May 1993). "Mathematical Structures". Science. 260 (5111): 1170–1173. doi:10.1126/science.260.5111.1170. PMID 17806355.
External links
- "Structure". PlanetMath. (provides a model theoretic definition.)
- Mathematical structures in computer science (journal)
