En matemáticas , la aritmética de variedades abelianas es el estudio de la teoría de números de una variedad abeliana , o de una familia de variedades abelianas. Se remonta a los estudios de Pierre de Fermat sobre lo que hoy se reconocen como curvas elípticas ; y se ha convertido en un área muy importante de la geometría aritmética tanto en términos de resultados como de conjeturas. La mayoría de estos pueden plantearse para una variedad abeliana A sobre un campo numérico K ; o de manera más general (para campos globales o anillos o campos más generales generados finitamente).
Aquí hay cierta tensión entre conceptos: el punto entero pertenece en cierto sentido a la geometría afín , mientras que la variedad abeliana está inherentemente definida en la geometría proyectiva . Los resultados básicos, como el teorema de Siegel sobre los puntos integrales , provienen de la teoría de la aproximación diofántica .
El resultado básico, el teorema de Mordell-Weil en geometría diofántica , dice que A ( K ), el grupo de puntos de A sobre K , es un grupo abeliano generado finitamente . Se conoce una gran cantidad de información sobre sus posibles subgrupos de torsión , al menos cuando A es una curva elíptica. Se cree que la cuestión del rango está ligada a las funciones L (ver más abajo).
La teoría de Torsor aquí conduce al grupo Selmer y al grupo Tate-Shafarevich , siendo este último (conjeturalmente finito) difícil de estudiar.
La teoría de las alturas juega un papel destacado en la aritmética de variedades abelianas. Por ejemplo, la altura canónica de Néron-Tate es una forma cuadrática con propiedades notables que aparecen en el enunciado de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer .
La reducción de una variedad abeliana A módulo de un ideal primo de (los enteros de) K (digamos, un número primo p ) para obtener una variedad abeliana Ap sobre un cuerpo finito es posible para casi todos los p . Se sabe que los primos "malos", cuya reducción degenera adquiriendo puntos singulares , revelan información muy interesante. Como suele ocurrir en la teoría de números, los primos "malos" desempeñan un papel bastante activo en la teoría.
Aquí no siempre se puede evitar una teoría refinada de (en efecto) un adjunto derecho a la reducción mod p : el modelo de Néron . En el caso de una curva elíptica existe un algoritmo de John Tate que la describe.
Para variedades abelianas como Ap , existe una definición de función zeta local disponible. Para obtener una función L para A, se toma un producto de Euler adecuado de tales funciones locales; para entender el número finito de factores para los primos 'malos' uno tiene que referirse al módulo Tate de A, que es (doble con) el grupo de cohomología étale H 1 (A), y la acción del grupo de Galois sobre él. De esta manera se obtiene una definición respetable de la función L de Hasse-Weil para A. En general, sus propiedades, como la ecuación funcional , siguen siendo conjeturales: la conjetura de Taniyama-Shimura (que se demostró en 2001) fue solo un caso especial. así que no es de extrañar.
Es en términos de esta función L que se plantea la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer . Es sólo un aspecto particularmente interesante de la teoría general sobre los valores de las funciones L L( s ) en valores enteros de s , y hay mucha evidencia empírica que lo respalda.
Desde la época de Carl Friedrich Gauss (que conocía el caso de la función lemniscata ), se conoce el papel especial de aquellas variedades abelianas con automorfismos adicionales y, más generalmente, endomorfismos. En términos del anillo , existe una definición de variedad abeliana de tipo CM que distingue a la clase más rica. Estos son especiales en su aritmética. Esto se ve en sus funciones L en términos bastante favorables: el análisis armónico requerido es todo del tipo de dualidad de Pontryagin , en lugar de necesitar representaciones automórficas más generales . Esto refleja una buena comprensión de sus módulos Tate como módulos Galois . También los hace más difíciles de abordar en términos de geometría algebraica conjetural ( conjetura de Hodge y conjetura de Tate ). En esos problemas la situación especial es más exigente que la general.
En el caso de las curvas elípticas, el Kronecker Jugendtraum fue el programa que propuso Leopold Kronecker , para usar curvas elípticas de tipo CM para hacer teoría de campos de clases explícitamente para campos cuadráticos imaginarios , de la misma manera que las raíces de la unidad permiten hacer esto para los campos cuadráticos imaginarios. campo de los números racionales. Esto se generaliza, pero en cierto sentido con pérdida de información explícita (como es típico de varias variables complejas ).
La conjetura de Manin-Mumford de Yuri Manin y David Mumford , probada por Michel Raynaud , [1] [2] establece que una curva C en su variedad jacobiana J sólo puede contener un número finito de puntos que sean de orden finito (un punto de torsión ) en J , a menos que C = J . Existen otras versiones más generales, como la conjetura de Bogomolov que generaliza el enunciado a puntos que no son de torsión.
