Identidad Brahmagupta-Fibonacci

Expresión de un producto de sumas de cuadrados como suma de cuadrados

En álgebra , la identidad Brahmagupta-Fibonacci ^{[1] [2]} expresa el producto de dos sumas de dos cuadrados como suma de dos cuadrados de dos maneras diferentes. Por tanto, el conjunto de todas las sumas de dos cuadrados es cerrado bajo la multiplicación. Específicamente, la identidad dice

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}&&(1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.&&(2)\end{aligned}}}$

Por ejemplo,

${\displaystyle (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}.}$

La identidad también se conoce como identidad de Diofanto , ^{[3] [4]} como lo demostró por primera vez Diofanto de Alejandría . Es un caso especial de la identidad cuadrangular de Euler , y también de la identidad de Lagrange .

Brahmagupta demostró y utilizó una identidad Brahmagupta más general , afirmando

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&(3)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2}.&&(4)\end{aligned}}}$

Esto muestra que, para cualquier A fija , el conjunto de todos los números de la forma x ²  +  Ay ² es cerrado bajo multiplicación.

Estas identidades son válidas para todos los números enteros , así como para todos los números racionales ; De manera más general, son verdaderas en cualquier anillo conmutativo . Las cuatro formas de identidad se pueden verificar expandiendo cada lado de la ecuación. Además, (2) se puede obtener de (1), o (1) de (2), cambiando b por − b , y lo mismo con (3) y (4).

Historia

La identidad apareció por primera vez en Arithmetica de Diofanto (III, 19), del siglo III d. C. Fue redescubierta por Brahmagupta (598-668), un matemático y astrónomo indio , quien la generalizó a la identidad de Brahmagupta y la utilizó en su estudio de lo que ahora se llama ecuación de Pell . Su Brahmasphutasiddhanta fue traducida del sánscrito al árabe por Mohammad al-Fazari , y posteriormente fue traducida al latín en 1126. ^[5] La identidad fue introducida en Europa occidental en 1225 por Fibonacci , en El Libro de las Cuadradas , y, por tanto, la identidad A menudo se le ha atribuido.

Identidades relacionadas

Identidades análogas son el cuadrado de Euler relacionado con los cuaterniones , y el cuadrado de Degen derivado de los octoniones que tiene conexiones con la periodicidad de Bott . También existe la identidad de dieciséis cuadrados de Pfister , aunque ya no es bilineal.

Estas identidades están fuertemente relacionadas con la clasificación de álgebras de composición de Hurwitz .

La identidad Brahmagupta-Fibonacci es una forma especial de la identidad de Lagrange , que es a su vez una forma especial de la identidad Binet-Cauchy , a su vez una forma especial de la fórmula Cauchy-Binet para determinantes matriciales.

Multiplicación de números complejos

Si a , b , c y d son números reales , la identidad de Brahmagupta-Fibonacci es equivalente a la propiedad multiplicativa de valores absolutos de números complejos :

${\displaystyle |a+bi|\cdot |c+di|=|(a+bi)(c+di)|.}$

Esto se puede ver de la siguiente manera: expandiendo el lado derecho y elevando al cuadrado ambos lados, la propiedad de multiplicación es equivalente a

${\displaystyle |a+bi|^{2}\cdot |c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},}$

y por la definición de valor absoluto esto a su vez es equivalente a

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.}$

Un cálculo equivalente en el caso de que las variables a , b , c y d sean números racionales muestra que la identidad puede interpretarse como la afirmación de que la norma en el campo Q ( i ) es multiplicativa: la norma está dada por

${\displaystyle N(a+bi)=a^{2}+b^{2},}$

y el cálculo de la multiplicatividad es el mismo que el anterior.

Aplicación a la ecuación de Pell

En su contexto original, Brahmagupta aplicó su descubrimiento de esta identidad a la solución de la ecuación de Pell x ²  −  Ay ²  = 1. Usando la identidad en la forma más general

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ay_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ay_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$

pudo "componer" tripletas ( x ₁ ,  y ₁ ,  k ₁ ) y ( x ₂ ,  y ₂ ,  k ₂ ) que eran soluciones de x ²  −  Ay ²  =  k , para generar la nueva tripleta

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2}).}$

Esto no sólo dio una manera de generar infinitas soluciones para x ²  −  Ay ²  = 1 comenzando con una solución, sino que también, al dividir dicha composición por k ₁ k ₂ , a menudo se podían obtener soluciones enteras o "casi enteras". . El método general para resolver la ecuación de Pell dado por Bhaskara II en 1150, concretamente el método chakravala (cíclico) , también se basó en esta identidad. ^[6]

Escribir números enteros como suma de dos cuadrados

Cuando se usa junto con uno de los teoremas de Fermat , la identidad Brahmagupta-Fibonacci demuestra que el producto de un cuadrado y cualquier número de primos de la forma 4 n  + 1 es una suma de dos cuadrados.

Ver también

• matriz brahmagupta
• matemáticas indias
• Polinomios de Brahmagupta
• Lista de matemáticos indios
• Teorema de la suma de dos cuadrados

Notas

1. "Identidad Brahmagupta-Fibonacci".
2. Marc Chamberland: Un solo dígito: elogio de los números pequeños . Prensa de la Universidad de Princeton, 2015, ISBN 9781400865697 , pág. 60 
3. Stillwell 2002, pag. 76
4. Daniel Shanks , Problemas resueltos y no resueltos en teoría de números, p.209, American Mathematical Society, cuarta edición, 1993.
5. José 2000, pag. 306
6. Stillwell 2002, págs. 72–76

Referencias

• Joseph, George G. (2000), La cresta del pavo real: las raíces no europeas de las matemáticas (2ª ed.), Princeton University Press , pág. 306, ISBN 978-0-691-00659-8
• Stillwell, John (2002), Las matemáticas y su historia (2ª ed.), Springer , págs. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6

enlaces externos

• La identidad de Brahmagupta en PlanetMath
• Identidad Brahmagupta en MathWorld
• Una colección de identidades algebraicas Archivado el 6 de marzo de 2012 en la Wayback Machine.