La identidad de Lagrange

Sobre productos de sumas de cuadrados

En álgebra , la identidad de Lagrange , llamada así en honor a Joseph Louis Lagrange , es: ^{[1] [2]} que se aplica a dos conjuntos cualesquiera { a ₁ , a ₂ , ..., a _n } y { b ₁ , b ₂ , ..., b _n } de números reales o complejos (o, de manera más general, elementos de un anillo conmutativo ). Esta identidad es una generalización de la identidad de Brahmagupta-Fibonacci y una forma especial de la identidad de Binet-Cauchy . $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)-\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}&=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\\&\left(={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}\right),\end{aligned}}}$$

En una notación vectorial más compacta, la identidad de Lagrange se expresa como: ^[3] donde a y b son vectores n -dimensionales con componentes que son números reales. La extensión a números complejos requiere la interpretación del producto escalar como un producto interno o producto escalar hermítico. Explícitamente, para números complejos, la identidad de Lagrange se puede escribir en la forma: ^[4] involucrando el valor absoluto . ^{[5] [6]} $${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\,,}$$ $${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{2}\right)-\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}\left|a_{i}{\overline {b}}_{j}-a_{j}{\overline {b}}_{i}\right|^{2}}$$

Dado que el lado derecho de la identidad es claramente no negativo, implica la desigualdad de Cauchy en el espacio de coordenadas reales de dimensión finita R ⁿ y su contraparte compleja C ⁿ .

Geométricamente, la identidad afirma que el cuadrado del volumen del paralelepípedo abarcado por un conjunto de vectores es el determinante de Gram de los vectores.

Identidad de Lagrange y álgebra exterior

En términos del producto de cuña , la identidad de Lagrange se puede escribir $${\displaystyle (a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b).}$$

Por lo tanto, puede verse como una fórmula que da la longitud del producto de cuña de dos vectores, que es el área del paralelogramo que definen, en términos de los productos escalares de los dos vectores, como $${\displaystyle \|a\wedge b\|={\sqrt {(a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}}}={\sqrt {\|a\|^{2}\|b\|^{2}-(a\cdot b)^{2}}}.}$$

Identidad de Lagrange y cálculo vectorial

En tres dimensiones, la identidad de Lagrange afirma que si a y b son vectores en R ³ con longitudes | a | y | b |, entonces la identidad de Lagrange puede escribirse en términos del producto vectorial y del producto escalar : ^{[7] [8]} $${\displaystyle |\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}}$$

Usando la definición de ángulo basada en el producto escalar (ver también desigualdad de Cauchy–Schwarz ), el lado izquierdo es donde θ es el ángulo formado por los vectores a y b . El área de un paralelogramo con lados | a | y | b | y ángulo θ se sabe en geometría elemental que es por lo que el lado izquierdo de la identidad de Lagrange es el área al cuadrado del paralelogramo. El producto vectorial que aparece en el lado derecho se define por que es un vector cuyos componentes son iguales en magnitud a las áreas de las proyecciones del paralelogramo sobre los planos yz , zx y xy , respectivamente. $${\displaystyle \left|\mathbf {a} \right|^{2}\left|\mathbf {b} \right|^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right)=\left|\mathbf {a} \right|^{2}\left|\mathbf {b} \right|^{2}\sin ^{2}\theta }$$ $${\displaystyle \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\left|\sin \theta \right|,}$$ $${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)\mathbf {i} +\left(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\right)\mathbf {j} +\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)\mathbf {k} }$$

Siete dimensiones

Para a y b como vectores en R ⁷ , la identidad de Lagrange toma la misma forma que en el caso de R ^{3 [9]} $${\displaystyle |\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-|\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}\ ,}$$

Sin embargo, el producto vectorial en siete dimensiones no comparte todas las propiedades del producto vectorial en tres dimensiones. Por ejemplo, la dirección de a × b en siete dimensiones puede ser la misma que la de c × d, aunque c y d sean linealmente independientes de a y b . Además, el producto vectorial en siete dimensiones no es compatible con la identidad de Jacobi . ^[9]

Cuaterniones

Un cuaternión p se define como la suma de un escalar t y un vector v : $${\displaystyle p=t+\mathbf {v} =t+x\ \mathbf {i} +y\ \mathbf {j} +z\ \mathbf {k} .}$$

El producto de dos cuaterniones p = t + v y q = s + w se define por $${\displaystyle pq=(st-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )+s\ \mathbf {v} +t\ \mathbf {w} +\mathbf {v} \times \mathbf {w} .}$$

El conjugado cuaterniónico de q se define por y la norma al cuadrado es $${\displaystyle {\overline {q}}=t-\mathbf {v} ,}$$ $${\displaystyle |q|^{2}=q{\overline {q}}=t^{2}\ +\ x^{2}+\ y^{2}\ +\ z^{2}.}$$

La multiplicidad de la norma en el álgebra de cuaterniones proporciona, para los cuaterniones p y q : ^[10] $${\displaystyle \left|pq\right|=\left|p\right|\left|q\right|.}$$

Los cuaterniones p y q se llaman imaginarios si su parte escalar es cero; equivalentemente, si $${\displaystyle p=\mathbf {v} ,\quad q=\mathbf {w} .}$$

La identidad de Lagrange no es más que la multiplicidad de la norma de los cuaterniones imaginarios, ya que, por definición, $${\displaystyle |\mathbf {v} \mathbf {w} |^{2}=|\mathbf {v} |^{2}|\mathbf {w} |^{2},}$$ $${\displaystyle |\mathbf {v} \mathbf {w} |^{2}=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )^{2}+|\mathbf {v} \times \mathbf {w} |^{2}.}$$

Prueba de la forma algebraica

La forma vectorial se deduce de la identidad de Binet-Cauchy al establecer c _i  =  a _i y d _i  =  b _i . La segunda versión se deduce al hacer que c _i y d _i denoten los conjugados complejos de a _i y b _i , respectivamente,

Aquí también hay una prueba directa. ^[11] La expansión del primer término del lado izquierdo es:

lo que significa que el producto de una columna de a s y una fila de b s produce (una suma de elementos de) un cuadrado de ab s , que se puede dividir en una diagonal y un par de triángulos a cada lado de la diagonal.

El segundo término del lado izquierdo de la identidad de Lagrange se puede expandir como:

lo que significa que un cuadrado simétrico se puede dividir en su diagonal y un par de triángulos iguales a cada lado de la diagonal.

Para expandir la suma en el lado derecho de la identidad de Lagrange, primero expanda el cuadrado dentro de la suma: $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}\left(a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}-2a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}\right).}$$

Distribuye la suma en el lado derecho, $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}b_{i}^{2}-2\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}.}$$

Ahora intercambiamos los índices i y j del segundo término del lado derecho, y permutamos los b factores del tercer término, obteniendo:

Volvamos al lado izquierdo de la identidad de Lagrange: tiene dos términos, dados en forma expandida por las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ). El primer término del lado derecho de la ecuación ( 2 ) termina cancelando el primer término del lado derecho de la ecuación ( 1 ), lo que da como resultado

que es lo mismo que la ecuación ( 3 ), por lo que la identidad de Lagrange es de hecho una identidad, QED

Prueba de la identidad de Lagrange para números complejos

Las álgebras de división normadas requieren que la norma del producto sea igual al producto de las normas. La identidad de Lagrange muestra esta igualdad. La identidad del producto utilizada como punto de partida aquí es una consecuencia de la igualdad de la norma del producto con el producto de la norma para las álgebras de escatores. Esta propuesta, presentada originalmente en el contexto de una métrica de Lorentz deformada, se basa en una transformación derivada de la operación del producto y la definición de magnitud en el álgebra de escatores hiperbólicos. ^[12] La identidad de Lagrange puede demostrarse de diversas maneras. ^[4]

Sean números complejos y la barra superior representa el conjugado complejo. ${\displaystyle a_{i},b_{i}\in \mathbb {C} }$

La identidad del producto se reduce a la identidad de Lagrange compleja cuando se consideran términos de cuarto orden en una expansión en serie. $${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}-b_{i}{\bar {b}}_{i}+a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}\left(1-b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)}$$

Para demostrarlo, desarrolle el producto por el lado izquierdo de la identidad del producto en términos de series hasta el cuarto orden. Para ello, recuerde que los productos de la forma pueden desarrollarse en términos de sumas como donde significa términos de orden tres o superior en . ${\displaystyle \left(1+x_{i}\right)}$ $${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(1+x_{i}\right)=1+\sum _{i=1}^{n}x_{i}+\sum _{i<j}^{n}x_{i}x_{j}+{\mathcal {O}}^{3+}(x),}$$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{3+}(x)}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}-b_{i}{\bar {b}}_{i}+a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=1-\sum _{i=1}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}+b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)+\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}a_{j}{\bar {a}}_{j}+b_{i}{\bar {b}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)+{\mathcal {O}}^{5+}.}$$

Los dos factores del lado derecho también se escriben en términos de series. $${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}\left(1-b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\left(1-\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}a_{j}{\bar {a}}_{j}+{\mathcal {O}}^{5+}\right)\left(1-\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+{\mathcal {O}}^{5+}\right).}$$

El producto de esta expresión hasta el cuarto orden es La sustitución de estos dos resulta en la identidad del producto. $${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}\left(1-b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=1-\sum _{i=1}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}+b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}a_{j}{\bar {a}}_{j}+b_{i}{\bar {b}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}\right)+{\mathcal {O}}^{5+}.}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right).}$$

El producto de dos series conjugadas se puede expresar como una serie que comprende el producto de términos conjugados. El producto de la serie conjugada es, por tanto: $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bar {x}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}\left(x_{i}{\bar {x}}_{j}+{\bar {x}}_{i}x_{j}\right),}$$ $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\overline {a_{i}b_{i}}}\right)-\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}b_{i}{\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{j}+{\bar {a}}_{i}{\bar {b}}_{i}a_{j}b_{j}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right).}$$

Los términos de las dos últimas series del LHS se agrupan de la siguiente manera para obtener la identidad de Lagrange compleja: $${\displaystyle a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}-a_{i}b_{i}{\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{j}-{\bar {a}}_{i}{\bar {b}}_{i}a_{j}b_{j}=\left(a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}\right)\left({\bar {a}}_{i}b_{j}-{\bar {a}}_{j}b_{i}\right),}$$ $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\overline {a_{i}b_{i}}}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}\right)\left({\overline {a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}}}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right).}$$

En términos de los módulos, $${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|^{2}+\sum _{i<j}^{n}\left|a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}\right|^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}\left|b_{i}\right|^{2}\right).}$$

La identidad de Lagrange para números complejos se ha obtenido a partir de una identidad de producto simple. Obviamente, una derivación para los números reales es aún más sucinta. Dado que la desigualdad de Cauchy-Schwarz es un caso particular de la identidad de Lagrange, ^[4] esta prueba es otra forma de obtener la desigualdad CS. Los términos de orden superior en la serie producen identidades novedosas.

Véase también

• Identidad de Brahmagupta-Fibonacci
• Identidad de Lagrange (problema de valor en la frontera)
• Identidad Binet-Cauchy

Referencias

1. Eric W. Weisstein (2003). Enciclopedia concisa de matemáticas del CRC (2.ª edición). CRC Press. ISBN 1-58488-347-2.
2. Robert E Greene ; Steven G Krantz (2006). "Ejercicio 16". Teoría de funciones de una variable compleja (3.ª ed.). American Mathematical Society. pág. 22. ISBN 0-8218-3962-4.
3. Vladimir A. Boichenko; Gennadiĭ Alekseevich Leonov; Volker Reitmann (2005). Teoría de dimensiones para ecuaciones diferenciales ordinarias. Vieweg+Teubner Verlag. pag. 26.ISBN​ 3-519-00437-2.
4. J. Michael Steele (2004). "Ejercicio 4.4: Identidad de Lagrange para números complejos". La clase magistral de Cauchy-Schwarz: una introducción al arte de las desigualdades matemáticas . Cambridge University Press. págs. 68-69. ISBN 0-521-54677-X.
5. Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Teoría de funciones de una variable compleja . Providence, RI: American Mathematical Society . pág. 22, Ejercicio 16. ISBN. 978-0-8218-2905-9.
6. Palka, Bruce P. (1991). Introducción a la teoría de funciones complejas . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . pág. 27, Ejercicio 4.22. ISBN 978-0-387-97427-9..
7. Howard Anton; Chris Rorres (2010). "Relaciones entre productos escalares y vectoriales". Álgebra lineal elemental: versión para aplicaciones (10.ª ed.). John Wiley and Sons. pág. 162. ISBN 978-0-470-43205-1.
8. Pertti Lounesto (2001). Álgebras y espinores de Clifford (2.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 94. ISBN 0-521-00551-5.
9. Door Pertti Lounesto (2001). Álgebras y espinores de Clifford (2.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00551-5.Véase en particular § 7.4 Productos cruzados en R7, pág. 96.
10. Jack B. Kuipers (2002). "§5.6 La norma". Cuaterniones y secuencias de rotación: una introducción con aplicaciones a las órbitas . Princeton University Press. pág. 111. ISBN 0-691-10298-8.
11. Véase, por ejemplo, Frank Jones, Rice University, página 4 del capítulo 7 de un libro que aún se publicará.
12. M. Fernández-Guasti, Realización alternativa para la composición de velocidades relativistas , Óptica y Fotónica 2011, vol. 8121 de La naturaleza de la luz: ¿Qué son los fotones? IV, pp. 812108–1–11. SPIE, 2011.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "La identidad de Lagrange". MundoMatemático .